§8.2 函数的单调性

设函数 $f\in C(I)$，在 $I$ 的内点处处可微，则有以下结论．

$1$. $f$ 为区间 $I$ 上的单调函数的充分必要条件是导函数不变号．

$2$. $f$ 为区间 $I$ 上的严格单调函数的充分必要条件是除了导函数不变号外，还在集合 $\{x\in I\mid f^{\prime }(x)=0\}$ 中不包含任何长度大于零的区间．

证明的方法是用 $Lagrange$ 中值定理．这在教科书中都有，不再重复．

从数列极限和函数极限的学习开始，单调性就一直起着重要的作用．现在以导数为工具，给出了判定单调性的新的有效方法，可以说解决了函数研究中的一个基本问题．搞清了函数的不同单调区间，也就知道了函数图像的上升与下降，这对解决许多问题都是有帮助的．

8.2.1 例题

虽然函数的单调性与导数有如上所说的密切关系，但仅仅由一个点上的导数符号不能得出单调性．请将下一个例题与命题 $\mathrm{7.1.1}$ 联系起来考虑这个问题．

例8.2.1

问：由函数在一个点上的导数符号大于(小于)$0$能否推出函数在该点的一个充分小的邻域上为单调？

解

答案是不能．举例如下: 令

f (x) = { l l x + 2 x ^ 2 sin frac 1x, & x ≠ 0, 0, & x = 0. .$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2x^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

则易求出 $f^{\prime }(0)=1>0$．又可以求出当 $x\ne 0$ 时的导函数表达式为

f ^ prime (x) = 1 + 4 x sin frac 1x - 2 cos frac 1x.$$f^{\prime }(x)=1+4x\sin \frac{1}{x}-2\cos \frac{1}{x}.$$

取 $x=\frac{1}{n\pi }$ ，则有

f ^ prime (frac 1n π) = 1 - 2 (- 1) ^ n,$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)=1-2(-1{)}^n,$$

可见在 $x=0$ 的任意邻近导函数 $f^{\prime }(x)$ 都不保号．因此在 $x=0$ 的每个邻域上 $f$ 都不是单调的 (该函数在 $x>0$ 部分的图像见图 $8.2$($a$)).

图 8.28.2

在任何一个区间上不单调的连续函数和可微函数都是存在的 (见 [$57$]).

例8.2.2

问：函数在其极值点的每一侧邻近是否一定具有单调性？

解

答案是不一定．举例如下: 令

f (x) = { l l 0, & x = 0, - x ^ 2 (2 + sin frac 1x), & x ≠ 0, .$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0,\\ -x^2\left(2+\sin \frac{1}{x}\right),& x\ne 0,\end{array}$$

则 $f$ 在 $x=0$ 处取到极大值 $0$．从不等式

- 3 x ^ 2 ≤slant f (x) ≤slant - x ^ 2$$-3x^2⩽f(x)⩽-x^2$$

即可求出 $f^{\prime }(0)=0$．但当 $x\ne 0$ 时

f ^ prime (x) = - 4 x - 2 x sin frac 1x + cos frac 1x,$$f^{\prime }(x)=-4x-2x\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x},$$

因此在极值点 $x=0$ 两侧的任意邻近都不可能是单调的 (见图 $8.2$($b$)).

例8.2.3

设函数 $f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+\alpha }$ ，证明：当 $\alpha ⩾\frac{1}{2}$ 时， $f$ 于 $x>0$ 时严格单调减少；而当 $\alpha <\frac{1}{2}$ 时，则 $f$ 于 $x$ 充分大时严格单调增加。

证明

用对数求导法，可以写出

f ^ prime (x) = f (x) [ ln (1 + frac 1x) - frac x + αx ^ 2 + x ].$$f^{\prime }(x)=f(x)\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+\alpha }{x^2+x}\right].$$

将上式右边记为 $f(x)\cdot u(x)$，则 $f^{\prime }$ 与 $u$ 同号．由于有

lim _ x → + ∞ u (x) = 0,$$\underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)=0,$$

只要观察 $u$ 是否单调即可判定其符号．计算得到

u ^ prime (x) = frac α + (2 α - 1) xx ^ 2 (1 + x) ^ 2.$$u^{\prime }(x)=\frac{\alpha +(2\alpha -1)x}{x^2(1+x{)}^2}.$$

可见当 $\alpha ⩾\frac{1}{2}$ 和 $x>0$ 时有 $u^{\prime }(x)>0$，因此 $u$ 为严格单调增加函数，所以当 $x>0$ 时 $u(x)<0$ 成立．这保证了 $f$ 在 $x>0$ 时严格单调减少．当 $\alpha <\frac{1}{2}$ 时，则至少在 $x$ 充分大时 $u^{\prime }(x)<0$，所以有 $u(x)>0$．这保证了函数 $f$ 在 $x$ 充分大时严格单调增加．

例8.2.4

证明: 对每个正整数 $n$，方程 $x^{n+2}-2x^n-1=0$ 只有唯一正根．

证明

记方程左边的表达式为 $f(x)$．从 $f(\sqrt{2})=-1$ 和 $f(+\infty )=+\infty$ 可见方程有大于 $\sqrt{2}$ 的正根．为了知道 $f$ 的单调性，求导后得到

f ^ prime (x) = (n + 2) x ^ n + 1 - 2 n x ^ n - 1 = (n + 2) x ^ n - 1 (x ^ 2 - frac 2 nn + 2).$$f^{\prime }(x)=(n+2)x^{n+1}-2n{x}^{n-1}=(n+2)x^{n-1}\left(x^2-\frac{2n}{n+2}\right).$$

因此函数 $f$ 在点

ξ = sqrt frac 2 nn + 2 (< sqrt 2)$$\xi =\sqrt{\frac{2n}{n+2}}(<\sqrt{2})$$

的导数值为 $0$．函数 $f$ 在区间 $[0,\xi ]$ 上严格单调减少，而在区间 $[\xi ,+\infty )$ 上严格单调增加。又从 $f(0)=-1$ ，就知道 $f(x)=0$ 除了上述大于 $\sqrt{2}$ 的一个正根外没有其他正根。

例8.2.5

设 $a>0$，确定方程 $f(x)=ax-\ln x=0$ 恰有两个正根的条件．

解

从 $f^{\prime }(x)=a-1/x$ 可见在 $(0,a^{-1}]$ 上 $f$ 严格单调减少，而在 $[a^{-1},+\infty )$ 上 $f$ 严格单调增加。又由于

f (0 ^ +) = + ∞ , f (+ ∞) = lim _ x → + ∞ x (a - frac ln xx) = + ∞ ,$$f(0^{+})=+\infty ,f(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(a-\frac{\ln x}{x}\right)=+\infty ,$$

可见方程 $f(x)=0$ 有两个正根的条件是

f (frac 1a) = 1 - ln frac 1a < 0.$$f\left(\frac{1}{a}\right)=1-\ln \frac{1}{a}<0.$$

由此可以确定 $a$ 应当满足条件 $a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ .

8.2.2 练习题

练习题

$1$．问: 单调函数若可微，则其导函数是否也单调? 反之又如何? 请举例说明．

$2$．证明: 函数 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 在区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调增加．

$3$．设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微，$f(0)=0$ 且 $f^{\prime }$ 严格单调增加，证明: $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上也严格单调增加．

$4$．设 $f,g$ 在 $[0,a]$ 上连续，在 $(0,a)$ 上可微，$f(0)=g(0)=0$ , $f^{\prime },g^{\prime }>0$，证明: 如果 $f^{\prime }/g^{\prime }$ 单调增加，则 $f/g$ 也单调增加．

$5$．设 $f$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上二阶可微，并且满足条件: ($1$) $f(a)>0$ ; ($2$) $f^{\prime }(a)<0$ ; ($3$) 在 $x>a$ 时 $f^{\prime \prime }(x)⩽0$，证明: $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 内有且只有一个零点．

$6$．设 $f\in C[a,+\infty )$，且当 $x>a$ 时成立 $f^{\prime }(x)>k>0$，其中 $k$ 为常数，证明: 若 $f(a)<0$，则于区间 $(a,a-f(a)/k)$ 内方程 $f(x)=0$ 有且只有一个实根．

$7$．设 $a>0$，证明: 方程 $a{\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}$ 只有一个实根．

$8$．证明: 方程 $f(x)=\left(\frac{2}{\pi }-1\right)\ln x-\ln 2+\ln (1+x^2)=0$ 在开区间 $(0,1)$ 内只有一个实根．