§$3.7$ 对于教学的建议

$\mathrm{3.7.1}$ 学习要点

1. 本章中相当多的内容都是为数学分析的整个理论展开做准备工作的。对初次接触实数系基本定理的读者来说，应当脚踏实地将每一个定理的条件、结论搞清楚，并至少对每个定理能独立用于证明一个常见的命题或习题。与其他内容的学习一样，看别人的十个现成的题解还不如自己动手做一个题。当然，一开始时不看书上的题解而能将它正确地复述出来也是学习的一种方法。但在这个基础上还是需要自己动手做题。

2. 另一种方法也可以用, 这就是先重点学会其中的一个定理. 例如闭区间套定理, 由于有 $Bolzano$ 的二分法等方法可用, 下手比较容易. 初学者可以尝试用它去解决几个问题, 如在后面连续函数理论中的许多命题, 或用于证明其他基本定理等. 在比较熟悉之后再换一个工具. 这样分段学习往往比较切合实际, 有些教材就是如此进行安排的.

3. 本章的另一个内容是上、下极限。由于这是数列极限理论中最为精细的部分，又有三个等价定义从不同角度进行刻画，因此对初学者是比较困难的。这方面较难的题很多，除了特别有价值的例题$\mathrm{3.6.4}$外，本书均未收入。读者如在这方面有进一步的需要，可以从[$8$, $44$, $56$]中找到更多的材料。应当指出，没有上、下极限的极限理论是不完整的。从例题$\mathrm{3.6.1}$、$\mathrm{3.6.2}$和$\mathrm{3.6.3}$可见，上极限和下极限为很多问题提供了全新的方法，很有价值。

4. 对习题课的建议 如前所述, 在整个数学分析的内容中, 本章是理论性最强的一章, 因此对于初学者来说会有很大的困难. 如何进行有良好效果的教学乃是教师和学生共同面临的问题. 容易理解, 教学中的系统性和可接受性有时难以两全. 因此, 除了少数教材外 (例如 [$14$, $73$] 等), 在大多数教材中都采取了分散难点的安排方法. 本书将它们集中在一章里, 便于参考, 但应当按照初学者接受知识的规律来使用这些材料.

$\mathrm{3.7.2}$ 一题多解

在本节中举一个非常简单的例题, 但尝试用每一个基本定理对它作出证明 (其中的方法均已出现过), 供读者比较.

例 $3.7.1$

如函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上处处局部有界(它的确切含义在证1中写出)，则函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界.

证$1$（用覆盖定理为工具）

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上处处局部有界是指：对每个 $x\in [a,b]$ ，存在邻域 $O(x)$ 和常数 $M_x$ ，使得

$$|f(x)|<M_x,\forall x\in O(x)\cap [a,b].$$

对每个 $x\in [a,b]$ 取定一个 $O(x)$ 和相应的常数 $M_x$ ，就得到了闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖。用覆盖定理，在上述开覆盖中存在有限子覆盖，不妨记为 $O_1,O_2,\cdots ,O_n$ ，与它们相应的常数记为 $M_1,M_2,\cdots ,M_n$ 。取 $M=\max \{M_1,M_2,\cdots ,M_n\}$ ，由于

$$[a,b]\subset \bigcup _{i=1}^n{O}_i,$$

可见对于每个 $x\in [a,b]$ 都成立 $|f(x)|<M$ , 即函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界.

证$2$（用闭区间套定理和$Bolzano$二分法为工具）

用反证法.设 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界．记 $a_1=a,b_1=b$ ，在 $[a_1,b_1]$ 中取中点 $c_1=(a_1+b_1)/2,$ 得到两个子区间 $[a_1,c_1]$ 和 $[c_1,b_1]$ .函数 $f$ 至少在这两个子区间中的某一个上无界，将它取为 $[a_2,b_2]$ (若两个子区间上 $f$ 均无界则任取其一).这是构造的第一步.

继续这样做下去, 归纳地得到一个闭区间套 $\{[a_n,b_n]\}$ , 它具有两个特性: (1) 区间长度所成的数列收敛于 $0$ ; (2) 每个区间 $[a_n,b_n]$ 上 $f$ 都是无界的.

用闭区间套定理于上述 $\{[a_n,b_n]\}$ , 知有 $\xi \in [a,b]$ , 成立

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi .$$

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上的局部有界性，对 $\xi$ 存在邻域 $O(\xi )$ ，使 $f$ 在 $O(\xi )\cap [a,b]$ 上有界。将这个邻域的半径记为 $\epsilon$ ，就可以写出 $O(\xi )=(\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon )$ 。但由于 $\xi$ 是闭区间套的端点所成数列的极限，存在 $N$ ，使得 $[a_N,b_N]\subset (\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon )$ 。由于 $f$ 在 $[a_N,b_N]$ 上无界，引出矛盾。 $\square$

证$3$（用$Cauchy$收敛准则为工具）

这个方法的第一步与用闭区间套定理的证明相同. 用反证法，构造 $\{[a_n,b_n]\}$ ，因为 $f$ 在每个 $[a_n,b_n]$ 上无界，存在 $x_n\in [a_n,b_n]$ ，使得 $|f(x_n)|>n$ . 由于 $x_n$ 和 $x_{n+p}(p\in {\mathbf{N}}_{+})$ 都属于 $[a_n,b_n]$ ，因此有估计

$$\left|x_n-x_{n+p}\right|<\frac{1}{2^{n-1}}(b-a).$$

这表明 $\{x_n\}$ 是基本数列. 由 $Cauchy$ 收敛准则知 $\{x_n\}$ 收敛, 记其极限为 $\xi$ .

由于 $f$ 的局部有界性, 存在 $\epsilon >0$ 和 $M>0$ , 当 $x\in (\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon )\cap [a,b]$ 时成立 $|f(x)|<M$ . 又因 $\{x_n\}$ 收敛于 $\xi$ , 对上述 $\epsilon >0$ , 有 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立 $|x_n-\xi |<\epsilon$ .

于是当 $n>N$ 时有 $|f(x_n)|<M$ , 又对每个 $n$ 有 $|f(x_n)|>n$ , 引出矛盾. $\square$

证$4$（用单调有界数列的收敛定理为工具）

用反证法．设 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界，则对每个 $n$ ，存在 $x_n\in [a,b]$ ，使 $|f(x_n)|>n$ .这样得到一个有界数列 $\{x_n\}$ .利用例题$\mathrm{3.3.1}$，在 $\{x_n\}$ 中有单调子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛，记其极限为 $\xi$ ，即有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=\xi .$$

由于 $f$ 的局部有界性, 存在 $\epsilon >0$ 和 $M>0$ , 当 $x\in (\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon )\cap [a,b]$ 时成立 $|f(x)|<M$ .

由于 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $\xi$ , 对上述 $\epsilon >0$ , 有 $K$ , 当 $k>K$ 时, 成立 $|x_{n_k}-\xi |<\epsilon$ .

于是, 一方面, 对所有 $k>K$ 有 $|f(x_{n_k})|<M$ ; 另一方面, 又有 $|f(x_{n_k})|>n_k⩾k$ , 这在取 $k=\max \{K+1,[M]+1\}$ 时就不能相容, 引出矛盾.

证$5$（用凝聚定理为工具）

这个证明与上一个证明几乎相同, 只是在用例题 $\mathrm{3.3.1}$ 时改用凝聚定理而已, 细节从略. $\square$

证$6$（用确界存在定理和$Lebesgue$方法为工具）

定义数集

$A=\{x\in [a,b]\mid$ 在区间 $[a,x]$ 上函数$f$有界 $\}$ .

由于 $a\in A$ , 所以 $A$ 非空. 由于 $A\subset [a,b]$ , 因此 $\xi =\sup A⩽b$ .

从数集 $A$ 的定义可以看出, 它有个明显的特点, 即如果有 $y>a$ 使 $y\in A$ , 那么 $[a,y]\subset A$ . 于是当 $a<z<\xi =\sup A$ 时, 就可以证明 $[a,z]\in A$ . 实际上, 因为 $\xi =\sup A$ , 而 $z<\xi$ , 因此存在某个 $y\in A$ , 使 $z<y<\xi$ . 再结合前面所说的特点, 可知 $[a,z]\subset A$ 成立.

现在我们证明有 $\xi =b$ 。反证法。如有 $\xi <b$ ，则从 $f$ 的局部有界性知，存在 $\epsilon >0$ ，使 $f$ 在 $[\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon ](\subset [a,b])$ 上有界。可以不妨设已有 $a<\xi -\epsilon$ 成立，从上面的讨论知道 $[a,\xi -\epsilon ]\subset A$ 。这样一来可以看出， $f$ 在区间 $[a,\xi +\epsilon ]=[a,\xi -\epsilon ]\cup [\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon ]$ 上也有界，因此 $\xi +\epsilon \in A$ 。这与 $\xi =\sup A$ 矛盾。

由于 $f$ 在点 $b$ 局部有界, 有 ${\epsilon }^{\prime }>0$ , 使 $f$ 在 $[b-{\epsilon }^{\prime },b]$ 上有界. 由上又知 $f$ 在 $[a,b-{\epsilon }^{\prime }]$ 上有界, 因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界 (同时也证明了 $b=\sup A\in A$ ).

评注

可以看出, 由于几个基本定理彼此等价, 因此对本题都有效. 但又由于各个基本定理的内容和角度都不一样, 因此所作出的证明可以很不相同.

对比前两个证明是很有教益的。覆盖定理在从局部性质推出整体性质时的运用非常自然；但闭区间套定理恰恰相反，它是通过构造闭区间套的方法从某种整体性质推出在某个点附近有某种局部性质(请参考例题$\mathrm{3.2.2}$后的注)，这与本例题中的要求方向相反。因此只能是用反证法。

还应看到, 即使用同一个基本定理, 也可能有不同的方法. 即使方法相同也还可以有不同的细节. 可以认为: 数学分析与大千世界一样, 在其中的发现也是无穷尽的. 有志的初学者也可能作出新的发现.

$\mathrm{3.7.3}$ 参考题

第一组参考题

1. 证明：数列有界的充分必要条件是它的每个子列有收敛子列.

2. 证明: 数列收敛的充分必要条件是存在一个数 $a$ , 使数列的每个子列有收敛于 $a$ 的子列.

3. 证明：在有界闭区间上的无界函数一定在这个区间的某一点的每一个邻域上无界。又问：在开区间上的无界函数是否有与此类似的性质？

4. 设函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上定义, 对区间 $(a,b)$ 的每一个点 $\xi$ , 存在 $\delta >0$ , 当 $x\in (\xi -\delta ,\xi +\delta )\cap (a,b)$ 时, 如 $x<\xi$ , 则 $f(x)<f(\xi )$ ; 如 $x>\xi$ , 则 $f(x)>f(\xi )$ . 证明: 函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上严格单调增加.

5. 试用上、下极限的工具证明第二章 $\mathrm{2.4.1}$ 小节中的 $Stolz$ 定理.

(参考 $\mathrm{3.6.4}$ 小节的题 $3$.)

6. 设 $\{x_n\},\{y_n\}$ 是非负数列. 在以下乘积均有意义时证明:

$$\begin{array}{rl}{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n& ⩽{\underline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n{y}_n)⩽{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n\\ & ⩽{\overline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n{y}_n)⩽{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n.\end{array}$$

7. 设 $\{x_n\}$ 为正数列. 用上、下极限证明: 若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_n}=l,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{x_n}=l.$

8. 若对于数列 $\{a_n\}$ 的每个子列 $\{a_{n_k}\}$ 都有 ${\lim }_{k\to \infty }\frac{a_{n_1}+a_{n_2}+\cdots +a_{n_k}}{k}=a,$ 证明: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a.$

9. 设 $\{x_n\}$ 为正数列, 证明 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }n\left(\frac{1+x_{n+1}}{x_n}-1\right)⩾1,$ 且右边的$1$为最佳值.

10. 设 $\{x_n\}$ 为正数列, 证明 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{\left(\frac{x_1+x_{n+1}}{x_n}\right)}^n⩾\mathrm{e},$ 且右边的 $\mathbf{e}$ 为最佳值.

第二组参考题

1. 从确界存在定理出发, 证明: 对于 $\mathbf{R}$ 中的任何两个正数 $a,b$ , 存在正整数 $n$ , 使得 $na>b$ . (这个结论常称为 $Archimedes$ 公理或原理.)

2. 设有两个非空实数集 $A$ 和 $B$ , 满足条件: (1) $\mathbf{R}=A\cup B$ ; (2) 在 $A$ 中的每一个数都小于 $B$ 中的每一个数, 证明: 或者 $A$ 有最大数而 $B$ 无最小数, 或者 $B$ 有最小数而 $A$ 无最大数. (这就是 $Dedekind$ (戴德金) 的连续性定理或公理, 它与实数系的每一个基本定理等价.)

3. 证明: 将实数 $\mathbf{R}$ 分成两个非空集合 $A$ 和 $B$ , 则或者 $A$ 中有数列收敛于 $B$ 中的点, 或者 $B$ 中有数列收敛于 $A$ 中的点. (这个结论称为实数的连通性, 它与实数系的每一个基本定理等价.)

4. 试用压缩映射原理证明数列

$$\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\dots$$

收敛, 并计算其极限.

(即用压缩映射原理重做第二章的第二组参考题 $16$.)

5. 设有界数列 $\{x_n\}$ 具有如下性质：对于每个数列 $\{y_n\}$ ，成立 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n+y_n)={\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n+{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n$ 。证明 $\{x_n\}$ 收敛。

6. (1) 设 $\{x_n\}$ 为正数列, 且 $\underline{\lim }{x}_n=0$ . 证明: 存在无限多个 $n$ , 成立

$$x_n<x_k,k=1,2,\dots ,n-1.$$

(2) 设 $\{x_n\}$ 为正数列, 且有正下界. 证明: ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_n}⩾1.$

7. 设 $y_n=p{x}_n+q{x}_{n+1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，其中 $|p|<|q|$ . 证明: 若 $\{y_n\}$ 收敛, 则 $\{x_n\}$ 也收敛.

8. 设 $\{x_n\}$ 有界, 且 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{2n}+2x_n)=A$ . 证明 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

9. 设 $x_n=\sin n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明数列 $\{x_n\}$ 的极限点集合为 $[-1,1]$ .

10. 设 $\{x_n\}$ 有界, 且 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{n+1}-x_n)=0$ . 将 $\{x_n\}$ 的下极限和上极限分别记为 $l$ 和 $L$ . 证明: 在区间 $[l,L]$ 中的每一个点都是数列 $\{x_n\}$ 的极限点.

(众所周知, 本题的条件与基本数列的条件差得很远, 一般来说当然不能保证数列 $\{x_n\}$ 收敛. 但是 $1976$ 年有人发现, 如果 $\{x_n\}$ 是迭代生成数列, 则从 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{n+1}-x_n)=0$ , 差不多就可以推出 $\{x_n\}$ 收敛, 从而 $l=L$ . 确切内容请看第五章第二组参考题 $20$.)

第四章 函数极限

本章为一元函数的极限理论, 是数列极限的推广. 由于数列也可看成是以正整数集 ${\mathbf{N}}_{+}$ 为定义域的一元函数, 所以我们约定, 本章及以后凡讲到一元函数, 若不另作说明的话, 其定义域一般均为区间或区间的并. 按照流行的术语, 也就是说以下讨论的一元函数的自变量均为连续而不是离散的.

本章计算函数极限的方法只是在数列极限的基础上引申出来的一些基本方法. 计算函数极限最有力的方法, 即 $L^{\prime }Hospital$ (洛必达) 法则和 $Taylor$ (泰勒) 公式, 均以一元微分学为基础, 将在 §$8.1$ 和 §$8.2$ 中介绍.

本章的前三节依次为函数极限的定义、性质和两个重要极限。在 §$4.4$ 对无穷小量、有界量和无穷大量作一个小结，重点讨论等价量代换法，并指出乱用这个方法会造成的错误。最后一节为学习要点和参考题.