§$11.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{11.5.1}$ 学习要点

1. 在第一节中所说的“微元法”虽然不是一种严格的数学方法, 但是在学习多元微积分以前, 对于一些利用定积分进行计算的几何与物理问题, 我们还经常要利用它. 在教学上, 对这种方法不作严格论证, 只要使学生在一些具体计算问题中能够使用就行了.

2. 本章分各个专题介绍积分学的应用, 与上一章一起组成积分学的比较完整的内容. 本章的取材是围绕积分学中的基本内容来选取的, 其中考虑到了本科和考研两方面的需要. 由于篇幅所限, 没有能够收入积分学在力学和物理学等方面的应用, 在数值积分方面也未作更多的介绍. 在这些方面 [27, 59] 的第四章提供了一定的补充材料, 可供读者选用.

3. 对习题课的建议 本章除了积分学在几何上的应用之外, 对于本科学习来说, 至少需要学习利用定积分计算某些数列的极限 ($\mathrm{11.4.1}$ 小节) 和 $Stirling$ 公式 ($11.32$). 这些内容对于前面的数列极限内容也是重要的补充和发展. 至于其他内容, 则机动余地较大, 教师可以根据教材和学生情况来决定取舍.

$\mathrm{11.5.2}$ 参考题

第一组参考题

1. 设 $f\in C^1[0,1]$ , 且 $f(0)=0$ , $f(1)=1$ , 证明:

$${\int }_0^1|f(x)-f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩾\frac{1}{\mathrm{e}}.$$

2. 设 $a>0$ , 证明:

$${\int }_0^{\pi }x{a}^{\sin x}\mathrm{d}x{\int }_0^{\pi /2}{a}^{-\cos x}\mathrm{d}x⩾\frac{{\pi }^3}{4}.$$

3. ( $Tchebycheff$ (切比雪夫) 不等式) (1) 设 $F\in C[a,b]$ , 处处大于 0, 且单调减少, 证明:

$${\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}x{F}^2(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^b{F}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}xF(x)\mathrm{d}x;$$

(2) 设 $f,g$ 在区间 $[a,b]$ 上可积, 且对于任何 $x<y$ 具有性质 $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))⩾0$ , 又设 $p\in R[a,b]$ , 且处处大于 0, 证明:

$${\int }_a^{b}p(x)f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}p(x)g(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}p(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}p(x)f(x)g(x)\mathrm{d}x.$$

4. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $0⩽f(x)<1$ , 证明:

$${\int }_0^1\frac{f(x)}{1-f(x)}\mathrm{d}x⩾\frac{{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}{1-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}.$$

5. 证明不等式:

$${\int }_0^1\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x⩾{\int }_0^1\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x.$$

6. 设 $f^{(2n)}\in C[a,b]$ ，且 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,k=0,1,2,\cdots ,n-1$ ，证明：

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{(n!{)}^2(b-a{)}^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)!}\cdot \underset{a⩽x⩽b}{\max }\{|f^{(2n)}(x)|\}.$$

7. 设函数 $f,g\in C[a,b]$ , 且 $f(x)\ne 0$ , $g(x)$ 处处大于 0. 记

$$d_n={\int }_a^b|f(x){|}^{n}g(x)\mathrm{d}x,n=1,2,\dots ,$$

证明: 数列 $\left\{\frac{d_{n+1}}{d_n}\right\}$ 收敛, 并求出其极限.

8. 计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{\sin (\pi /n)}{n+1}+\frac{\sin (2\pi /n)}{n+1/2}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+1/n}\right]$ .

9. 对任意实数 $a$ , 证明: ${\lim }_{n\to \infty }{\prod }_{k=1}^{n+1}\cos \left(\frac{\sqrt{2k-1}}{n}{a}^2\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{a^4}{2}}$ .

10. 设 $f$ 是 $[1,+\infty )$ 上的非负单调减少函数, 令

$$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x,n\in {\mathbf{N}}_{+},$$

证明: 数列 $\{a_n\}$ 收敛.

(这是“面积原理”的一种简单情况 (参见 $[26]$). 取 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，就得到关于 $Euler$ 常数的命题 $\mathrm{2.5.6}$; 取 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，就是第二章第一组参考题 $14$.)

11. 计算积分 ${\int }_0^1\sin x^2\mathrm{d}x,$ 使得误差不超过 $0.001$ .

12. 证明: 函数 $F(x)={\int }_0^x\sin \frac{1}{t}\mathrm{d}t$ 在区间 $(0,1]$ 上有无穷多个零点.

13. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f^{\prime }$ 单调增加且有 $f^{\prime }(x)⩾m>0$ , 证明:

$$\left|{\int }_a^b\cos f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{2}{m}.$$

14. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, 且满足 $f^{\prime }(x)⩾m>0$ , $|f(x)|⩽\pi$ , 证明:

$$\left|{\int }_a^b\sin f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{2}{m}.$$

15. 对 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 定义

$$S_n=1+\frac{n-1}{n+2}+\frac{n-1}{n+2}\cdot \frac{n-2}{n+3}+\cdots +\frac{n-1}{n+2}\cdot \frac{n-2}{n+3}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2n},$$

证明： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

第二组参考题

1. 曲线 $K$ 的极坐标方程为 $\rho =\rho (\theta )$ , $0⩽\theta ⩽\pi$ , $\rho \in C[0,\pi ]$ , 且已知 $K$ 上任何两点之间的距离不超过 1, 证明: 由曲线 $K$ 与射线 $\theta =0$ , $\theta =\pi$ 围成的扇形面积

$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{\rho }^2(\theta )\mathrm{d}\theta ⩽\frac{\pi }{4}.$$

(由此可见, 直径不超过 1 的图形面积最多为 $\pi /4$ .)

2. 设 $f\in C[a,b]$ ，且处处大于 $0$。记 $f_{kn}=f(a+k{h}_n)$ ， $h_n=(b-a)/n$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 。证明：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{f_{1n}{f}_{2n}\cdots f_{nn}}=\exp \left[\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\ln f(x)\mathrm{d}x\right],$$

并用于证明 ( $Poisson$ 积分):

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\ln (1-2r\cos x+r^2)\mathrm{d}x=2\ln r,$$

其中 $r>1$

3. 设 $f\in C[0,1]$ , ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$ .

(1) 证明: ${\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}⩾3$ ;

(2) 又知 ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=0$ , 证明: ${\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}>10.2$ .

4. 设 $f\in C[0,1]$ , 如果对某个正整数 $n>1$ , 成立

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=\cdots ={\int }_0^1{x}^{n-1}f(x)\mathrm{d}x=0,{\int }_0^1{x}^{n}f(x)\mathrm{d}x=1,$$

求证: $M={\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}⩾2^n(n+1)$ .

5. 求出使不等式

$$c_1⩽{\int }_a^b\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x⩽c_2$$

成立的最佳常数 $c_1,c_2$ , 对其中的积分限分两种情况讨论: (1) $0⩽a<b$ ; (2) $a<b$ .

6. 在命题 $\mathrm{11.2.3}$ (即 $Young$ 不等式) 中的可微条件可以去掉, 此外还可以得到另一个方向的不等式. 设 $f\in C[0,+\infty )$ , 严格单调增加, 且 $f(0)=0$ , 记其反函数为 $g(y)$ . 对 $a,b>0$ , 证明下列不等式并解释其几何意义:

$$ab⩽{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{b}g(y)\mathrm{d}y⩽bg(b)+af(a)-f(a)g(b),$$

其中成立等号的充分必要条件是 $b=f(a)$ （即 $a=g(b)$ ）

7. 设 $f\in C(a,b)$ , 证明:

(1) 若对任何 $a<x_1<x_2<b$ 成立不等式

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)⩽\frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d}x,$$

则 $f$ 为下凸函数;

(2) 若对任何 $a<x_1<x_2<b$ 成立不等式

$$\frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则 $f$ 为下凸函数;

(3) 若以上两个不等式中的任何一个始终成立等号, 则 $f$ 只能是线性函数.

(因此 $Hadamard$ 不等式 ($11.7$) 中的每个不等式都是 $f$ 下凸的充分必要条件.)

8. 设 $f\in C^1[0,a]$ , $f(0)=0$ .

(1) 证明:

$${\int }_0^a|f(x)f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩽\frac{a}{2}{\int }_0^a|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x,$$

且其中成立等号当且仅当 $f(x)=cx$ ;

(2) ( $Opial$ 不等式) 增加条件 $f(a)=0$ , $f$ 在 $(0,a)$ 上大于 0, 证明:

$${\int }_0^a|f(x)f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩽\frac{a}{4}{\int }_0^a|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x.$$

9. ( $Bellman-Gronwall$ 不等式) 设当 $x⩾0$ 时 $f(x),g(x)$ 为非负连续函数, 且有

$$f(x)⩽A+{\int }_0^{x}f(t)g(t)\mathrm{d}t,$$

其中 $A>0$ ，证明：当 $x⩾0$ 时

$$f(x)⩽A\exp \left({\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t\right).$$

10. 设 $f\in C^2[0,1]$ , $f(0)=f(1)=0$ , $f$ 在 $(0,1)$ 中无零点, 证明:

$${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x>4,$$

且其中 4 是最佳下界.

11. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积, 且有 $0<m⩽f(x)⩽M$ , 则有

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x⩽\frac{(m+M{)}^2}{4mM}.$$

(这是 $Cauchy-Schwarz$ 不等式的反向不等式, 也称为 $Kantorovich$ (康托罗维奇) 不等式.)

12. 设非常值函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可微, 且 $f(a)=f(b)=0$ , 证明: 在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使

$$\left|f^{\prime }(\xi )\right|>\frac{4}{(b-a{)}^2}{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x.$$

13. 设 $f\in C^2[0,1]$ , $f(0)=f(1)=f^{\prime }(0)=0$ , $f^{\prime }(1)=1$ , 证明:

$${\int }_0^1(f^{\prime \prime }(x){)}^2\mathrm{d}x⩾4,$$

且其中成立等式当且仅当 $f(x)=x^3-x^2$

14. 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上处处大于 $0$，且对于 $L>0$ 满足 $Lipschitz$ 条件 $|f(x_1)-f(x_2)|⩽L|x_1-x_2|$ ，又已知对于 $a⩽c⩽d⩽b$ 有

$${\int }_c^d\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\alpha ,{\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\beta ,$$

证明下列积分不等式:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{{\mathrm{e}}^{2L\beta }-1}{2L\alpha }{\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x.$$

15. 先用微分学或其他方法证明: 当 $0<x<1$ 时, 成立不等式

$$0<\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}-x<\frac{x^3}{3(1-x^2)},$$

并用 $x=1/(2n+1)$ 代入, 得到比 ($11.34$) 更强的不等式. 然后证明比 ($11.32$) 更为精细的 $Stirling$ 公式, 也就是一般性公式 ($11.31$) 中 $m=0$ 的情况:

$$\ln n!=\ln \sqrt{2\pi }+\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+\frac{{\theta }_n}{12n},$$

或者其等价形式:

$$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n{\mathrm{e}}^{\frac{{\theta }_n}{12n}},$$

其中 $0<{\theta }_n<1$ .

第十二章 广义积分

广义积分 (也称反常积分) 作为变限积分函数的极限, 其许多性质与定积分类似. 本章共分 $5$ 节. §$12.1$ 讨论广义积分的定义. §$12.2$ 与 §$12.3$ 分别讨论广义积分的敛散性判别与计算. §$12.4$ 讨论无穷限广义积分的一些特殊性质. 最后一节为学习要点和两组参考题.

广义积分与无穷级数之间有密切联系. 在各种数学分析教材中两者的教学顺序并不相同. 虽然本书在第二章中已经提到了无穷级数的概念 (见 $\mathrm{2.2.3}$ 小节末的注解以及例题 $\mathrm{2.2.6}$, $\mathrm{2.2.9}$, 命题 $\mathrm{2.5.2}$ 等), 但是要到下册中才有关于无穷级数的全面论述. 因此这方面的联系也要到后面介绍 (例如下册命题 $\mathrm{13.2.1}$ 等).