§5.3 有界性定理与最值定理

命题 5.3.1 (有界性定理)

有界闭区间上的连续函数一定有界.

命题 5.3.2 (最值定理)

有界闭区间上的连续函数一定取到最大值和最小值.

容易看出最值定理蕴涵有界性定理. 因此如果能直接证明最值定理的话, 则同时也就证明了有界性定理. 容易举出例子说明, 如果将这两个定理中的有界闭区间换成其他区间, 则结论都不再成立. 因此这两个定理是有界闭区间上连续函数才具有的性质. 由于有界闭区间与覆盖定理的紧密联系 (参见第三章 §$3.5$ 关于覆盖定理的介绍), 因此可以看出, 要证明这两个定理也需要实数系的基本定理. 由连续函数的局部有界性定理知, 当 $f\in C[a,b]$ 时, $f$ 在区间 $[a,b]$ 的每一点的一个邻域上有界. 联系到 $\mathrm{3.7.2}$ 小节中的内容, 可见我们已经对有界性定理作出了六个不同的证明. 但是本节还将给出对这个定理的新证明. 由最值定理再加上介值定理就得到有界闭区间上的连续函数的值域一定是闭区间的结论, 这就是连续函数的值域定理: 若 $f\in C[a,b]$ , $M$, $m$ 是 $f$ 的最大值和最小值, 则有

$$f([a,b])=[m,M].$$

(当 $m=M$ 时值域 $[m,M]$ 退化成一点, $f$ 为常值函数.)

$\mathrm{5.3.1}$ 定理的证明

最值定理的证明往往是以有界性定理为基础, 但下面的第一个证明却不是如此, 因此它同时也可以看成是有界性定理的新证明 (见 [$42$]).

例 $5.3.1$

用确界定理和凝聚定理同时证明有界性定理和最值定理.

证明

由于值域 $f([a,b])$ 非空, 因此可取

$$M=\sup f([a,b]),m=\inf f([a,b]).$$

这里并未假定 $M$, $m$ 是有限数。我们的目的是证明 $M$, $m\in f([a,b])$ 。以下只写出 $M\in f([a,b])$ 的证明，它同时说明 $f$ 在 $[a,b]$ 上有上界。

从上确界的性质, 在 $[a,b]$ 中存在数列 $\{x_n\}$ , 使得 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=M$ . (对 $M$ 为有限数的情况, 见例题 $\mathrm{3.1.3}$; 对 $M=+\infty$ , 请读者完成.) 对 $\{x_n\}$ 用凝聚定理, 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ . 记该子列的极限为 $\xi$ , 则点 $\xi \in [a,b]$ . 由 $f$ 在 $\xi$ 处的连续性, 就有

$$f(\xi )=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=M.$$

这就表示 $M\in f([a,b])$ .

注 1

请读者回答: 上述证明中, 闭区间的”闭”这个关键条件用在哪里?

注 2

实际上用覆盖定理或闭区间套定理都不难同时证明有界性定理与最值定理. 这是实数系基本定理的很好的练习题. 请读者试之.

下一个证明说明从有界性定理到最值定理只是一步之遥.

例 $5.3.2$

用两次有界性定理就可以证明最值定理, 关键是设计一个适当的辅助函数 (见 [$14$]).

证明

只证明其中的最大值部分. 由有界性定理知道, 若 $f\in C[a,b]$ , 则 $f$ 有上界. 因此值域的上确界 $M=\sup f([a,b])$ 是有限数. 我们断言 $M\in f([a,b])$ .

反证法. 若 $M\notin f([a,b])$ , 则有 $f(x)<M$, $\forall x\in [a,b]$ . 构造辅助函数

$$g(x)=\frac{1}{M-f(x)}.$$

由于 $f\in C[a,b]$ , 且 $f$ 的取值始终小于 $M$ , 因此从连续函数的除法运算法则知道, 函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上处处连续, 即也有 $g\in C[a,b]$ . 而且有 $g(x)>0$, $x\in [a,b]$ .

对 $g$ 再次应用有界性定理, 知道它有上界, 将它记为 $M^{\prime }$ , 则有

$$g(x)=\frac{1}{M-f(x)}⩽M^{\prime },\forall x\in [a,b].$$

这就导致

$$f(x)⩽M-\frac{1}{M^{\prime }},\forall x\in [a,b].$$

因此 $M-\frac{1}{M^{\prime }}$ 是值域 $f([a,b])$ 的上界. 这与 $M$ 是值域的最小上界矛盾. ☐

$\mathrm{5.3.2}$ 例题

例 $5.3.3$

设 $f\in C(a,b)$ , $f(a^{+})$ 和 $f(b^{-})$ 有限. 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上有界.

证 $1$

在闭区间 $[a,b]$ 上构造辅助函数

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in (a,b),\\ f(a^{+}),& x=a,\\ f(b^{-}),& x=b.\end{array}$$

则可以看出 $F\in C[a,b]$ . 对 $F$ 应用连续函数的有界性定理, 可见 $F$ 在 $[a,b]$ 上有界. 因此 $f$ 在 $(a,b)$ 上也有界.

证 $2$

根据函数极限的局部有界性定理, 存在 $\delta >0$ , 使得函数 $f$ 在 $(a,a+\delta )$ 和 $(b-\delta ,b)$ 上有界. 这里假定有 $a+\delta <b-\delta$ 成立. 然后在闭区间 $[a+\delta ,b-\delta ]$ 上可以用有界性定理. 这样就得到所要的结论.

注

证 $2$ 对 $a=-\infty$ 和 $b=+\infty$ 的情况同样有效.

用同样的方法可以解决下面的例题, 证明从略.

例 $5.3.4$

设 $f\in C(a,b)$ ，极限 $f(a^{+})$ 和 $f(b^{-})$ 有限. 若存在 $\xi \in (a,b)$ 使

$$f(\xi )⩾\max \{f(a^{+}),f(b^{-})\},$$

证明 $f$ 在 $(a,b)$ 上有最大值.

用最值定理可以对于例题 $\mathrm{5.2.5}$ 给出简单得多的证明.

例 $5.3.5$

若 $f\in C[a,b]$ ，且对每一个 $x\in [a,b]$ 存在 $y\in [a,b]$ ，使得 $|f(y)|⩽\frac{1}{2}|f(x)|$ 证明 $f$ 在 $[a,b]$ 中有零点.

证明

这时也有 $|f|\in C[a,b]$ , 对 $|f|$ 用最值定理, 在题设条件下可见最小值只能是 $0$. 这时的最小值点就是 $|f|$ 的零点, 当然也是 $f$ 的零点. □

$\mathrm{5.3.3}$ 练习题

1. 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 中只有第一类间断点, 证明: $f$ 在 $[a,b]$ 上有界.

2. 若 $f\in C[a,+\infty )$ ，且存在有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ . 证明： $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界.

3. 问：是否存在从区间 (1) $(0,1)$ , (2) $[0,1]$ , (3) $(0,1]$ 映射到整个实数集 $\mathbf{R}$ 的连续函数？(如果存在, 请举出例子; 如果不存在, 请作出证明.)

4. 问: 若函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的值域为闭区间, 则 $f$ 是否在 $[a,b]$ 上连续?

5. 若 $f\in C[a,+\infty )$ ，且存在有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ . 证明: $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上至少可以取到最大值或最小值中的一个.

6. 若 $f\in C(a,b)$ , 且 $f(a^{+})=f(b^{-})=+\infty$ , 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上有最小值.

7. 若 $f\in C(a,b)$ , 且 $f(a^{+})=f(b^{-})$ , 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上至少可以取到最大值或最小值中的一个.

8. 若 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ , ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$ , 且 $f(x)$ 的最小值 $f(a)<a$ . 证明: 复合函数 $f(f(x))$ 至少在两个点上取到它的最小值.

9. 求出 $Dirichlet$ 函数和 $Riemann$ 函数的所有极值点和最值点.

(关于极值与极值点的定义见 $\mathrm{7.1.1}$ 小节.)