§$20.1$ 一个方程的情形

$\mathrm{20.1.1}$ 隐函数存在定理

命题 $20.1.1$ (隐函数存在定理)

设二元函数 $F(x,y)$ 满足下列条件:

(1) 在矩形区域 $D=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid |x-x_0|<a,|y-y_0|<b\}$ 上有关于 $x,y$ 的连续偏导数；

(2) $F(x_0,y_0)=0$ ; (3) $F_y(x_0,y_0)\ne 0$ ,

则有：

(1) 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内, 由方程 $F(x,y)=0$ 可以确定惟一的函数 $y=f(x)$ , 也就是说, 存在 $\eta >0$ , 当 $x\in O_{\eta }(x_0)$ 时有

$$F(x,f(x))=0,\text{ 并且 }{y}_0=f(x_0);$$

(2) $f(x)$ 在 $O_{\eta }(x_0)$ 上连续;

(3) $f(x)$ 在 $O_{\eta }(x_0)$ 上有连续的导数

$$f^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.\text{\hspace{1em}(20.1)}$$

称 $y=f(x)$ 为由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数.

注 1

视 $F(x,y)=0$ 为方程, 我们知道一个方程只能解出一个未知量, 若我们视 $x$ 为已知, $y$ 为未知, 隐函数存在定理就是告诉我们在什么条件下可解出 $y=f(x)$ . 但一般教科书上定理的证明是非构造性的, 只是证明了存在性, 并没有说明如何由 $F(x,y)$ 的表达式去得到 $f(x)$ 的表达式. 事实上, 即使 $F(x,y)$ 的表达式很简单, 也未必能将隐函数从 $F(x,y)=0$ 中具体解出来. 如天体力学中著名的 $Kepler$ 方程 (见上册 $80$, $146$, $172$ 页):

$$F(x,y)=y-x-\epsilon \sin y=0,0<\epsilon <1.$$

$F(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点附近满足定理所述条件，从而隐函数 $y=f(x)$ ($Kepler$ 函数)存在、连续、可导，且按上述公式 $(20.1)$ 可求出隐函数 $y=f(x)$ 的导数

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{1}{1-\epsilon \cos y}.\text{\hspace{1em}(20.2)}$$

然而 $F(x,y)=0$ 的隐函数不能解成初等函数.

注意在公式 $(20.1)$ 的右端的表达式中, 隐函数的导数同时含有 $x$ 与 $y$ . 这一点与显函数的导数是不相同的①. 它应该理解为 $f^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}{|}_{y=f(x)}$ . 但这并不妨碍我们研究隐函数的性质. 如根据 $(20.2)$ 可知 $Kepler$ 函数是单调增加的. 由 $y$ 的可导性还可推知 $y^{\prime \prime }$ 的存在性等. 一般地, 若 $F(x,y)$ 二阶连续可微, 且满足隐函数存在定理的条件, 则对 $(20.1)$ 两边对 $x$ 求导得

$$y^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{F_y^2}[(F_{xx}+F_{xy}{y}^{\prime })F_y-(F_{xy}+F_{yy}{y}^{\prime })F_x].$$

将 $(20.1)$ 代入得

$$y^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{F_y^3}\left(2F_x{F}_y{F}_{xy}-F_x^2{F}_{yy}-F_y^2{F}_{xx}\right).$$

注 2

定理的结论是局部的, 即在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内由方程 $F(x,y)=0$ 可以惟一确定一个可微的满足 $y_0=f(x_0)$ 的隐函数 $y=f(x)$ , 但定理并没有告诉我们这个邻域有多大.

注 3

对于方程 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n,u)=0$ 在某点 $(x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots ,x_n^{(0)},u_0)$ 附近确定一个 $n$ 元的隐函数 $u=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 也有类似的结果.

注 4

从一般教科书上给出的隐函数定理的证明中可以看出, 如果只要求隐函数连续, 则命题 $\mathrm{20.1.1}$ 的条件可减弱. 对此, 我们有下面的结论.

命题 $20.1.2$

如果

(1) $F(x,y)$ 在矩形 $D=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid |x-x_0|<a,|y-y_0|<b\}$ 上连续;

(2) $F(x_0,y_0)=0;$

(3) $F(x,y)$ 对每一个 $x\in (x_0-a,x_0+a)$ 关于 $y$ 严格单调，则有：

(1) 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内，由方程 $F(x,y)=0$ 可以确定惟一的函数

$y=f(x)$ ，也就是说，存在 $\eta >0$ ，当 $x\in O_{\eta }(x_0)$ 时有

$$F(x,f(x))=0,\text{ 并且 }{y}_0=f(x_0);$$

(2) $f(x)$ 在 $O_{\eta }(x_0)$ 上连续.

例题 $20.1.1$

证明：在点 $(1,1)$ 的某一邻域内存在惟一的连续可微函数 $y=f(x)$ ，满足 $f(1)=1$ ， $xf(x)+2\ln x+3\ln f(x)-1=0$ ，并求 $f^{\prime }(x)$ .

证明

令 $F(x,y)=xy+2\ln x+3\ln y-1$ ，则

(1) $F(x,y)$ 在点 $(1,1)$ 点的邻域内有关于 $x,y$ 的连续偏导数;

(2) $F(1,1)=0;$ (3) $F_y(1,1)=\left(x+\frac{3}{y}\right){|}_{(x,y)=(1,1)}\ne 0.$