§19.4 向量值函数的微分学定理

19.4.1 无穷小增量公式与拟微分平均值定理

设 $D$ 是 $R^n$ 中的一个开集，$f:D\to R^m$ 是一个向量值函数，即

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),\dots ,f_m(\mathbf{x})\right),\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right),$$

其中 $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ 均是 $n$ 元实函数。当 $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ 均是 $D$ 上的可微函数时，称 $f$ 是 $D$ 上的可微向量值函数，或者是 $D$ 上的可微映射。当 $f$ 在点 $x_0\in D$ 处可微时，称 $Jacobi$ (雅可比) 矩阵

$${\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\left({\mathbf{x}}_0\right)\right)}_{m\times n}$$

为 $f$ 在点 $x_0$ 处的全导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ （又记为 $Jf(x_0)$ ），它表示了一个自 $R^n$ 到 $R^m$ 的线性变换。当 $f$ 在点 $x_0$ 处可微时，我们有如下无穷小增量公式，它给出了向量值函数的差的局部估计。

命题 $19.4.1$

设开区域 $D\subset R^n$，$f:D\to R^m$ 在 $D$ 上可微，点 $x_0,x\in D$，则

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)+J\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)\left(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\right)+o\left(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\right).$$

其中 $o(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0)$ 表示当 $|x-x_0|\to 0$ 时模为高阶无穷小量的向量。

所以，可微映射在局部可以线性化，它是一个常值映射与一个线性变换的和。例题 $\mathrm{19.2.2}$ 说明偏导数存在还不足以保证无穷小增量公式成立。

在一元微分学中，$Lagrange$ 中值定理给出了一元函数的差(即增量)的大范围估计。对于定义在凸区域 $D\subset {\mathbf{R}}^n$ 上的 $n$ 元可微函数 $f(x)$，也有类似的微分中值定理，即当 $a,b\in D$ 时，$\exists \theta \in (0,1)$，使

$$f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a}+\theta (\mathbf{b}-\mathbf{a}))\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a}),$$

其中 $\nabla f(\mathbf{x})=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$，“.”表示内积。事实上我们可以证明：

例题 $19.4.1$

设 $F$ 是 $R^n$ 的开集 $G$ 到 $R^m$ 的可微映射 (向量值函数)，$x,y\in G$，$x\ne y$，证明：若线段 $\overline{xy}\in G$，则 $\forall a\in R^m,\exists z\in \overline{xy}$，使得

$$\mathbf{a}\cdot [F(\mathbf{y})-F(\mathbf{x})]=\mathbf{a}\cdot JF(\mathbf{z})(\mathbf{y}-\mathbf{x}).\text{\hspace{1em}(19.18)}$$

证明

定义一元函数

$$f(\lambda )=\mathbf{a}\cdot [\mathbf{F}(\mathbf{x}+\lambda (\mathbf{y}-\mathbf{x}))-\mathbf{F}(\mathbf{x})],$$

则 $f(1)=a\cdot [F(y)-F(x)]$，$f(0)=0$，由一元函数的中值定理得

$$\mathbf{a}\cdot [\mathbf{F}(\mathbf{y})-\mathbf{F}(\mathbf{x})]=f(1)-f(0)=f^{\prime }(\xi )=\mathbf{a}\cdot J\mathbf{F}(\mathbf{x}+\xi (\mathbf{y}-\mathbf{x}))(\mathbf{y}-\mathbf{x}),$$

其中 $0<\xi <1$。令 $z=x+\xi (y-x)$，则 $z\in \overline{xy}$，(19.18) 得证。

但不含内积的向量值函数的中值定理是不成立的，下面是一个反例。

例题 $19.4.2$

设 $f(t)=(\cos t,\sin t)$，$t\in [0,2\pi ]$，则 $Jf(t)=(-\sin t,\cos t)$。注意到 $f(0)=f(2\pi )$，故不存在 $\theta \in (0,1)$，使 $f(2\pi )-f(0)=Jf(\theta \cdot 2\pi )(2\pi -0)$。事实上，$Jf(t)$ 恒不为零向量。

不过我们仍然有如下的向量值函数的差的全局估计。

命题 $19.4.2$（拟微分平均值定理）

设凸区域 $D\subset R^n$，$f$ 在 $D$ 上可微，$a,b\in D$，则 $\exists \theta \in (0,1)$，使

$$|f(b)-f(a)|⩽\Vert Jf(a+\theta (b-a))\Vert \cdot |b-a|,$$

这里 $\Vert \cdot \Vert$ 表示矩阵的模，即 $\Vert A\Vert ={\max }_{|x|=1}|Ax|$。

证明

设

$$\phi (t)=⟨\mathbf{f}(\mathbf{a}+t(\mathbf{b}-\mathbf{a}))-\mathbf{f}(\mathbf{a}),\mathbf{f}(\mathbf{b})-\mathbf{f}(\mathbf{a})⟩,t\in [0,1].$$

由一元函数的微分中值定理和复合函数求导得到 $\theta \in (0,1)$，使

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{f}(b)-\mathbf{f}(a){|}^2& =\phi (1)-\phi (0)\\ & =⟨J\mathbf{f}(\mathbf{a}+\theta (\mathbf{b}-\mathbf{a}))(\mathbf{b}-\mathbf{a}),\mathbf{f}(\mathbf{b})-\mathbf{f}(\mathbf{a})⟩\end{array}$$

再由 $Cauchy$-$Schwarz$ 不等式有

$${\left|f(b)-f(a)\right|}^2⩽\Vert Jf(a+\theta (b-a))\Vert \cdot |b-a|\cdot |f(b)-f(a)|.$$

所以得到

$$|f(b)-f(a)|⩽\Vert Jf(a+\theta (b-a))\Vert \cdot |b-a|.$$

例题 $19.4.3$

设 $f$ 是凸区域 $D\subset R^n$ 上的可微映射，并且全导数 $Jf(x)$ 处处为 $0$（取值为零向量的零变换），则 $f$ 是 $D$ 上的常值映射。

证明

取定点 $x_0\in D$，任取另一点 $x\in D$，则由拟微分平均值定理有

$$\left|\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_0\right)\right|⩽\Vert 0\Vert \cdot |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0|=0.$$

由于 $f(x)=f(x_0),\forall x\in D,$ 所以 $f$ 是常值映射。

可以把凸区域 $D$ 的结论推广到一般的开区域 $D$。证明留给读者。

在第二十一章，我们还将介绍一些向量值函数中值定理的几何形式。

19.4.2 练习题

1. 设 $f:D\subset R^n\to R^m$，$x_0\in D$，且存在矩阵 $A$，使得在点 $x_0$ 的邻域上有

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)+\mathbf{A}(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0)+o(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0),$$

其中 $o(x-x_0)$ 表示当 $|x-x_0|\to 0$ 时，模为高阶无穷小量的向量。证明：$f$ 在点 $x_0$ 处可微，且 $Jf(x_0)=A$。

2. 设 $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ 是可微的向量值函数，满足条件 $|f(t)|=1,\forall t\in \mathbb{R}$。证明 $f^{\prime }(t)\cdot f(t)=0$，并对这个结果进行几何上的解释。

3. 设 $u(x,y),v(x,y)$ 在区域 ${\mathbf{R}}^2$ 上有一阶连续偏导数，且存在 $C>0$，对任意两点 $(x_i,y_i)\in {\mathbf{R}}^2(i=1,2)$ 均成立

$$(u_1-u_2{)}^2+(v_1-v_2{)}^2⩾C[(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2],$$

其中 $u_i=u(x_i,y_i)$，$v_i=v(x_i,y_i)(i=1,2)$，则 $\forall (x,y)\in {\mathbf{R}}^2$ 有

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\ne 0.$$