$14.2$ 和函数与极限函数的性质

$\mathrm{14.2.1}$ 三分法与极限顺序交换原理

这里的基本问题是从函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 中的 $\{u_n(x)\}$ (或函数列 $\{S_n(x)\}$ ) 出发去研究级数的和函数 (或函数列的极限函数) 的性质以及进行各种分析运算。

由于所关心的性质和运算本身都涉及极限运算， 因此就必然遇到两个 (或两个以上) 极限过程的顺序交换问题。实际上在上册 $\mathrm{10.2.3}$ 小节的对积分求极限中已经遇到这类问题， 但那时还不能进行一般性讨论。

在学了函数项级数的基础上， 就可以比较系统地研究极限顺序交换问题。大致来说， 对于本节所提出的问题， 最基本的概念就是一致收敛性。有关的基本结论在教科书中均已有详细叙述， 这里不必重复。本节主要是指出其中的一些重要问题， 以作为教科书的补充。

从极限顺序交换角度出发， 下列命题看似平淡， 实际上具有很基本的意义。我们将从方法的角度来分析它的证明， 而不是简单地重复教科书中的证明。

命题 $14.2.1$

设函数列 $\{S_n(x)\}$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 上一致收敛于函数 $S(x)$ ，且对每个正整数 $n$ ，极限 ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)$ 存在且有限，则 ${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)$ 与 ${\lim }_{x\to x_0}S(x)$ 都存在且两者相等，这就是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{S}_n(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x).\text{\hspace{1em}(14.3)}$$

分析与证明

引入记号 ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)=a_n,n=1,2,\cdots .$

(1) 先证明 $(14.3)$ 左边的 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ 收敛。 因为 $\{S_n(x)\}$ 在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 上一致收敛于函数 $S(x)$ , 所以由 $Cauchy$ 一致收敛准则知， 对每个给定的 $\epsilon >0$ , 存在 $N$ , 使得对于任意的 $n,m>N$ 和所有的 $x\in U(x_0)$ , 同时成立

$$\left|S_n(x)-S_m(x)\right|<\epsilon .$$

在此不等式中令 $x\to x_0$ 就有

$$\left|a_n-a_m\right|⩽\epsilon .$$

这表明数列 $\{a_n\}$ 满足 $Cauchy$ 收敛准则，因此极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ 存在

(2) 记 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)=A.$ 下面证明 $(14.3)$ 右边的 ${\lim }_{x\to x_0}S(x)=A.$ 然而如何去估计 $|S(x)-A|$ ? 从条件可见我们无法直接估计它， 而必须采取间接的 (或者说曲折的) 方法进行估计。 这就是在分析中常用的三分法 (也称为 $\epsilon /3$ 法或 $3\epsilon$ 法)， 即为了估计 $|S(x)-A|$ 而作以下插项和分拆：

$$\begin{array}{rl}|S(x)-A|& =|S(x)-S_n(x)+S_n(x)-a_n+a_n-A|\\ & ⩽|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-a_n|+|a_n-A|.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.4)}$$

我们的目的是要证明：对于每个给定的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时上式左边小于 $\epsilon$ ，而 $(14.4)$ 使我们只需分别估计右边的三项。

右边第一项由于 $\{S_n(x)\}$ 在邻域 $U(x_0)$ 上一致收敛，因此只要 $n$ 足够大，就可以对该邻域中的所有 $x$ 满足该项小于 $\frac{\epsilon }{2}$ 的要求。

对于 $(14.4)$ 右边的第二项则似乎只要利用 ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)=a_n$ ：当 $x$ 与 $x_0$ 充分接近时，这一项就可小于 $\frac{\epsilon }{3}$ .但这里的 $n$ 取什么？是否存在 $\delta >0$ ，使得

$$0<|x-x_0|<\delta ⟹|S_n(x)-a_n|<\frac{\epsilon }{3}\text{\hspace{1em}(14.5)}$$

对于一切 $n$ 成立？在题设中显然没有这样的一致性条件（但是参看下面的命题 $\mathrm{14.2.2}$）。

再观察 $(14.4)$ 的第三项。 由于 $a_n\to A$ , 因此对于 $\epsilon$ , 存在 $N$ , 当 $n>N$ 时， 就有 $|a_n-A|<\frac{\epsilon }{3}$ 成立。

如何将以上的分析综合起来以写出一个正确的证明？对于 $(14.4)$ 中的第一项和第三项，可以分别取出 $N_1$ 和 $N_2$ ，使得当 $n>N_1$ 和 $n>N_2$ 时它们分别小于 $\frac{\epsilon }{3}$ 。 由于这两步是独立的，从而只要取 $N=\max \{N_1,N_2\}$ ，就可以使得当 $n>N$ 时对这两项的估计都满足要求。

最后， 取定一个 $n$^① , 例如令 $n=N+1$ , 然后如前面所分析的那样， 存在 $\delta >0$ , 使得 $(14.5)$ 成立。 这样就使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时 $(14.4)$ 的左边小于 $\epsilon$ 。

对于命题 $\mathrm{14.2.1}$ 的以上分析可以使我们接触到极限顺序交换的基本原理。 这里不准备详细写出这个原理， 而是只讲一个大意， 然后举出与命题 $\mathrm{14.2.1}$ 对偶的但不很常见的结论。

这个原理就是：设有在集合 $X\times Y$ 上定义的二元函数 $f(x,y)$ ，同时存在 $x_0\in X$ 和 $y_0\in Y$ ，使得对于每个 $x\in X$ 存在极限 ${\lim }_{y\to y_0}f(x,y)$ ，又对于每个 $y\in Y$ 存在极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x,y)$ ，并且这两个极限过程之一对于另一个变量具有一致性，则就保证以下两边的二次极限存在且相等：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y).$$

注意: 这里的二元函数以及所涉及的极限过程可以很广泛， 因此我们将它称为极限顺序交换的基本原理。 命题 $\mathrm{14.2.1}$ 只是它的一个特例。 这个原理的证明见后面 $\mathrm{18.1.5}$ 小节的命题 $\mathrm{18.1.2}$。 下面举出使得 $(14.3)$ 成立的对偶命题。

命题 $14.2.2$

设函数列 $\{S_n(x)\}$ 在点 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 上收敛于函数 $S(x)$ ，又设对每个正整数 $n$ ，极限 ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)$ 存在且有限，而且这个极限过程对 $n$ 一致，则 ${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)$ 与 ${\lim }_{x\to x_0}S(x)$ 都存在且两者相等，即有 $(14.3)$ 成立。

证明

这个命题的证明不难， 留作练习。 这里只指出， 题意中的一致性是如何严格定义的。 称 ${\lim }_{x\to x_0}{S}_n(x)=a_n$ 关于 $n$ 一致， 如果对每个 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时不等式 $|S_n(x)-a_n|<\epsilon$ 对一切 $n$ 同时成立。 当然这里的 $\delta$ 与 $n$ 无关。

虽然用命题 $\mathrm{14.2.2}$ 的机会不多， 但是这里所包含的基本方法还是很有教益的。 如果初学者通过努力能够完成命题 $\mathrm{14.2.2}$ 的证明， 则可以认为已经对于三分法和上述极限顺序交换原理有了较好的理解。 这对于今后的学习很有帮助。

$\mathrm{14.2.2}$ 例题

本小节就和函数与极限函数的连续性、可微性和可积性举一些有助于理解基本概念和基本工具的例题。

首先， 对函数项级数或函数列来说， 若除了点态收敛之外不补充条件， 则不可能将级数通项或函数列所具有的这三种性质自动地“传递”给和函数或极限函数。 下面我们分别举出支持上述论点的例子。

例题 $14.2.1$（连续性）

在一个区间上的连续函数列收敛于有间断点的极限函数的例子很多。最常见的例子就是幂函数列

$$\{x^n\},x\in [0,1],$$

它的极限函数为 $S(x)=0,x\in [0,1),S(1)=1.$ $S(x)$ 在点 $1$ 处左侧不连续。

类似的例子在上册第十章中已经见到， 例题 $\mathrm{10.2.4}$ (参见上册 $310$ 页的图 $10.3$) 中的函数列

$$\{{\sin }^{n}x\},x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right],$$

其极限函数为 $S(x)=0,x\in [0,\pi /2),S(\pi /2)=1$ 。 $S(x)$ 在点 $\pi /2$ 处左侧不连续。

由此出发， 当然容易找出极限函数有有限个间断点的连续函数列。 考虑到上册例题 $\mathrm{5.1.4}$ 中的 $Riemann$ 函数的间断点集合为处处稠密的有理数全体， 要构造以这样的函数为极限函数的连续函数列也是可能的 (参见 [21])。

但是应当指出， 可以证明: 区间上的连续函数列的极限函数必有处处稠密的连续点， 因此要想构造极限函数处处不连续的连续函数列是不可能的 (参见 [3] 第五章)。 但是从 $Dirichlet$ 函数的极限表达式 (上册 $123$ 页题 $8$) 出发， 就有

$$D(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{D}_n(x),\text{\hspace{1em}(14.6)}$$

其中 $D_n(x)={\lim }_{m\to \infty }[\cos (\pi n!x){]}^{2m}$ 是在 $1/n!$ 的整倍数点上等于 $1$， 而在其他点均等于 $0$ 的函数。若限制在 $[0,1]$ 上，则 $D_n(x)$ 恰有 $n!+1$ 个间断点，但极限函数 $D(x)$ 则处处不连续。

从例题 $\mathrm{14.1.1}$ 又可以知道， 一致收敛性并不是保证极限函数或和函数的连续性的必要条件。 这里的理论问题见 $\mathrm{14.2.3}$ 小节。

例题 $14.2.2$（可微性）

上一个例题中的前两个例子已经表明，函数列可微不保证极限函数可微 ^① 。但是这里与连续性不同，可以说有两个问题：即不仅要关心和函数（或极限函数）是否可微，而且更要关心在可微时它们的导函数是否是级数逐项求导后的级数的和函数（或函数列求导后的极限函数），如果是的话，则就有了计算它们的导函数的有力方法。

因此自然要关心以下的极限交换， 即逐项求导运算和求导与极限交换

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{u}_n(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\text{与}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{S}_n(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}S(x)$$

是否成立， 其中 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=S(x)$ , ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x)=S(x)$ 在某个区间上已有定义。

容易举出不能逐项可微的例子。 例如， 在例题 $\mathrm{14.1.7}$ 中的级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上处处收敛， 对其逐项求导得到的级数为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\cos nx.$$

不难证明这个级数处处发散: 从 $\cos 2nx=2{\cos }^{2}nx-1$ 可见， 若 ${\lim }_{n\to \infty }\cos nx=0$ , 就会得到 $0=-1$ 的矛盾。 因此级数的通项一定不收敛于 $0$。

在下一章知道这个例子中的和函数 $S(x)$ 很简单，它是周期 $2\pi$ 的函数，在 $(0,2\pi )$ 上等于 $\frac{\pi -x}{2}$ ，在 $2\pi$ 的整倍数处为 $0$。因此除了在这些点处不连续（因而不可微）之外，在其他点上处处可微，且导数值等于 $-\frac{1}{2}$ 。这个例子表明，若不另加条件，则利用导数所成的无穷级数来计算和函数的导数是没有根据的。

例题 $14.2.3$（可积性）

从 $(14.6)$ 可见，从函数列 $\{u_n(x)\}$ 或 $\{S_n(x)\}$ 的可积性不能保证和函数或极限函数的可积性。这里我们更关心的是在可积的前提下，可否用逐项积分的方法来计算极限函数或和函数的积分，即是否有

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{u}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left[\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\right]\mathrm{d}x\text{与}\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{S}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)\right)\mathrm{d}x.$$

容易举例说明不加条件是不行的。 在例题 $\mathrm{14.1.1}$ 中的三个例子表明: 在例 $(1)$、例 $(2)$ 中可交换积分与极限的顺序， 但例 $(3)$ 则不行。 与此类似的更简单例子为

$$S_n(x)=\{\begin{array}{ll}n,& 0<x<\frac{1}{n},\\ 0,& x\text{为区间}[0,1]\text{中的其他值}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.7)}$$

易见在区间 $[0,1]$ 上极限函数 $S(x)$ 处处为 $0$，因此 ${\int }_0^{1}S(x)\mathrm{d}x=0.$ 同时对每个 $n$ 有 ${\int }_0^1{S}_n(x)\mathrm{d}x=1.$

例题 $\mathrm{14.1.1}$ 之 $(2)$ 又表明， 一致收敛性并不是使逐项积分 (或积分与极限交换顺序) 成立的必要条件。 这里的理论问题将于下一小节讨论。

$\mathrm{14.2.3}$ 准一致收敛与控制收敛定理

如前所说， 在保证和函数或极限函数的连续性、可微性和可积性方面一致收敛性都是充分而非必要的条件。 为了叙述在连续性方面的充分必要条件， 我们需要新的概念: 准一致收敛 ^① (参见 [3, 31, 53, 58])。 下面我们只对于区间 $[a,b]$ 上的函数列叙述有关定义和结果。

定义

称函数列 $\{S_n(x)\}$ 在区间 $[a,b]$ 上为准一致收敛， 如果该函数列于 $[a,b]$ 上收敛于极限函数 $S(x)$ ， 且对每个 $\epsilon >0$ 和每个 $N$ , 存在 $N^{\prime }>N$ , 使得对于每个 $x\in [a,b]$ , 有正整数 $n_x\in [N,N^{\prime }]$ , 满足 $|S_{n_x}(x)-S(x)|<\epsilon$ 。

若函数列 $\{S_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，则必准一致收敛，但反之不真。

命题 $14.2.3$ ($Arzelà$ (阿尔泽拉)-$Borel$ 定理)

在区间 $[a,b]$ 上的连续函数列的极限函数在 $[a,b]$ 上连续的充分必要条件是函数列在 $[a,b]$ 上准一致收敛。

证

设连续函数列 $\{S_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上收敛于极限函数 $S(x)$ 。

先证必要性。 任取 $x_0\in [a,b]$ , 则从 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n(x_0)=S(x_0)$ 知， 对于给定的 $\epsilon >0$ 和 $N$ , 存在一个确定的正整数 $n_0>N$ , 使得 $|S_{n_0}(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$ 。 利用 $S_{n_0}(x)$ 和 $S(x)$ 的连续性， 存在 ${\delta }_0>0$ , 使得当 $x\in U_{{\delta }_0}(x_0)\cap [a,b]$ 时， 成立不等式 $|S_{n_0}(x)-S(x)|<\epsilon$ 。 对于 $[a,b]$ 中每个点都如此做， 然后用覆盖定理 (见上册 §3.5) 就得到有限个正整数 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ , 取其中最大的为 $N^{\prime }$ 即可验证函数列 $\{S_n(x)\}$ 准一致收敛于 $S(x)$ 。

再证充分性。 对于任意一点 $x_0\in [a,b]$ 用三分法。 考虑分拆

$$\left|S(x)-S\left(x_0\right)\right|⩽\left|S(x)-S_n(x)\right|+\left|S_n(x)-S_n\left(x_0\right)\right|+\left|S_n\left(x_0\right)-S\left(x_0\right)\right|.\text{\hspace{1em}(14.8)}$$

由于 $\{S_n(x_0)\}$ 收敛于 $S(x_0)$ ，因此对于 $\epsilon >0$ ，存在 $N$ ，使得当 $n⩾N$ 时 $(14.8)$ 右边的第三项小于 $\epsilon /3$ 。利用准一致收敛条件，对于 $N$ 和 $\epsilon /3$ 存在满足条件的 $N^{\prime }$ 。由于 $[N,N^{\prime }]$ 中只有有限个正整数，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 且 $x\in [a,b]$ 时，$(14.8)$ 右边的第二项对于每个 $n\in [N,N^{\prime }]$ 都小于 $\epsilon /3$ 。

最后， 对于每个 $x$ , 只要 $0<|x-x_0|<\delta$ 和 $x\in [a,b]$ , 就存在 $n_x\in [N,N^{\prime }]$ , 使得当 $n=n_x$ 时， $(14.8)$ 右边的第一项以及其他两项同时小于 $\epsilon /3$ 。

合并以上分析， 可见对 $0<|x-x_0|<\delta$ 和 $x\in [a,b]$ , $(14.8)$ 的左边 $|S(x)-S(x_0)|<\epsilon$ , 因此 $S(x)$ 于点 $x_0$ 连续。

由上可见， 准一致收敛条件虽然是充分必要条件， 但比较复杂， 因此其应用有限。 但在逐项积分问题中则有一个非常好的结果:

命题 $14.2.4$ ($Arzelà$ 控制收敛定理)

设 $\{f_n\}$ 是在 $[a,b]$ 上收敛于极限函数 $f$ 的可积函数列．若 $f$ 也在 $[a,b]$ 上可积，且 $\{f_n\}$ 于 $[a,b]$ 上一致有界，即存在 $M>0$ ，使得对于每个 $n$ 和每个 $x\in [a,b]$ 同时满足 $|f_n(x)|⩽M$ ，则成立

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

这个引人注目的定理是 $Arzel\grave{a}$ 于 $1885$ 年发表的。 $Osgood$ (奥斯古德) 又于 $1897$ 年在连续情况下重新发现了这个结果 (称为 $Osgood$ 定理)。 毫无疑问， $Arzel\grave{a}$ 定理比传统的逐项积分定理要强得多， 根本无需一致收敛条件。 由此可见， 例题 $\mathrm{10.2.4}$ 和例题 $\mathrm{14.1.1}$ 之 $(2)$ 都是它的特例。 同时也使我们明白， 使得逐项积分不成立的例题 $\mathrm{14.1.1}$ 之 $(3)$ 和 $(14.7)$ 也只能在无界情况下存在。

由于这个定理的魅力非凡， 引得许多第一流的分析学家为之折腰 (其中包括 $Riesz$ (里斯)， $Bieberbach$ (比伯巴赫)， $Landau$， $Hausdorff$ (豪斯多夫) 等)， 在几乎一个世纪中致力于寻找其初等证明。 这类证明目前已超过 $10$ 个。 应该说这些证明还不能令人非常满意。 一个标志就是除了 [18] 第二卷的第 $14$ 章 §4 之外， 绝大多数教科书中均未收入 $Arzel\grave{a}$ 定理及其证明， 最多只是提到该定理， 而且总是抱歉说证明太难了， 无法写入等等。

就我们所见， $1986$ 年由 $Lewin$ (莱温) 提出的一个初等证明比以前的那些要好得多， 也许有可能为低年级大学生所理解， 并被收入今后的某些分析教科书中。 下面就是根据《美国数学月刊》(1986) 第 $93$ 卷 $395-396$ 页改写的证明。 对此前的历史情况和发展请看该刊 (1971) 第 $78$ 卷 $970-979$ 页及其中的丰富文献， 还可参看 [45]。

在进入证明之前需要作些准备：其中包括技术和心理两方面的准备。

$1$. 若 $f\in R[a,b]$ ， $s$ 为 $[a,b]$ 上的阶梯函数 (即分段常值函数)， 则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{s⩽f}{\sup }\left\{{\int }_a^{b}s(x)\mathrm{d}x\right\}.\text{\hspace{1em}(14.9)}$$

其中记号 $s⩽f$ 是指满足条件 $s(x)⩽f(x),\forall x\in [a,b]$ 。 学过 $Darboux$ 积分理论的读者知道右边就是 $Darboux$ 下积分的值。 直接从定积分的定义 (§10.1) 出发证明这个等式也是很容易的。 这里从略。

$2$. 要将 §3.2 的闭区间套定理推广为非空有界闭集下降序列之交非空:

定理

设 $\{A_n\}$ 是区间 $[a,b]$ 内的非空有界闭集序列， 且单调下降， 即 $A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \cdots$ ， 则它们的交非空: ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n\ne \varnothing$ 。

这里的概念和证明都没有多少新意。 首先要给出实数集合 $A$ 为闭集的定义: 如果点 $a$ 的每个邻域中含有 $A$ 中的点， 就有 $a\in A$ 。 然后用实数系中的某个基本定理就可以证明所需的结论。 还可参见第十七章的例题 $\mathrm{17.2.1}$ 闭集套定理。

$3$. 在下面的初等证明中需要克服的主要难点是如何处理诸如

$$\{x\in [a,b]\mid f(x)<\epsilon \}\text{\hspace{1em}(14.10)}$$

这样的实数集合。 这里所用的方法是考虑该集合中的特殊类型的子集合， 它们是区间或有限个区间之并， 然后用区间长度或长度之和来刻画集合 $(14.10)$。 为此需要引入定义: 称有限个不交的有界区间的并集为初等集， 又称初等集 $E$ 中的区间长度之和为 $E$ 的测度 $m(E)$ 。

就区间 $[a,b]$ 内的初等集而言， 它们的并、交与差仍为初等集。 又若 $E$ 和 $F$ 为初等集， 则 $m(E\cup F)⩽m(E)+m(F)$ ， 且当 $E$ 与 $F$ 不交时成立等号。 这些都可以推广到有限个初等集上去。 此外， 还需要闭初等集的概念， 它是有限个不交的有界闭区间的并集。 不难证明：对于一个初等集 $E$ 以及给定的 $\epsilon >0$ ， 存在一个闭初等集 $F\subset E$ ， 满足条件 $m(F)>m(E)-\epsilon$ 。

以上的概念和结论都是非常简单和直观的， 证明从略。

$4$. 在以下证明中需要一个关于初等集的引理， 我们将在先承认它的前提下给出 $Arzel\grave{a}$ 定理的证明， 然后再补充给出该引理的证明。 就前者而言思路很容易理解， 但后者则涉及集合运算中的一系列细节。

$Arzelà$ 定理的证明

对于给定的正数 $\epsilon >0$ ，定义集合序列

$$A_n=\{x\in [a,b]|\exists i⩾n\text{使得}|f_i(x)-f(x)|⩾\epsilon \},$$

则从 $f_n$ 于 $[a,b]$ 上处处收敛于 $f$ 可知 $\{A_n\}$ 为单调下降的有界数集序列，且有：

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n=\varnothing .\text{\hspace{1em}(14.11)}$$

利用初等集的概念定义数列:

${\alpha }_n=\sup \{m(E)\mid E$ 为含于 $A_n$ 中的初等集 $\},n=1,2,\cdots .$

显然数列 $\{{\alpha }_n\}$ 为单调下降的非负数列。 从下面的引理 (命题 $\mathrm{14.2.5}$) 知 ${\alpha }_n\to 0$ 。 因此存在 $N$ , 使得对 $n>N$ 和 $A_n$ 中的每个初等集 $E$ , 成立 $m(E)<\epsilon$ 。

以下只需要证明对于 $n>N$ 的每个 $n$ , 积分 ${\int }_a^b|f_n-f|⩽K\epsilon$ , 其中 $K$ 是一个确定常数。

利用 $(14.9)$， 只需要对 $n>N$ 和在 $[a,b]$ 上满足条件 $0⩽s(x)⩽|f_n(x)-f(x)|$ 的每个阶梯函数 $s(x)$ ，证明积分 ${\int }_a^{b}s(x)\mathrm{d}x<K\epsilon$ 即可。

对于满足这个条件的阶梯函数 $s$， 定义两个集合

$$E=\{x\in [a,b]\mid s(x)⩾\epsilon \},F=[a,b]-E,$$

显然 $E$ 与 $F$ 都是初等集。

由于 $E\subset A_n$ ，因此 $m(E)<\epsilon$ 。 而对于 $x\in F$ ，则有 $s(x)<\epsilon$ 。 再利用 $\{f_n\}$ 为一致有界就得到

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}s(x)\mathrm{d}x& ={\int }_{E}s(x)\mathrm{d}x+{\int }_{F}s(x)\mathrm{d}x\\ & ⩽2M\cdot m(E)+\epsilon \cdot (b-a)⩽\epsilon (2M+b-a).\end{array}$$

从 $(14.9)$ 知对 $n>N$ 有

${\int }_a^b|f_n-f|⩽\epsilon (2M+b-a).$ 利用 $\epsilon$ 的任意性和不等式 $\left|{\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}f\right|⩽{\int }_a^b|f_n-f|,$ 可见已经得到所要的结论： ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$

在 $Arzel\grave{a}$ 定理的条件中必须假定极限函数的可积性， 这一点在一致收敛条件下的逐项积分定理中是不需要的， 一致收敛条件可以将函数列的可积性“传递”给极限函数。 但是只要略微修改上述证明中的集合 $A_n$ 的定义就可以证明， 即使没有极限函数 $f$ 的可积条件， 积分值所成的数列 $\left\{{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x\right\}$ 必是基本数列 (见上册 $74$ 页)， 因此一定收敛 (留作第二组参考题 $1$)。 这强烈地表明: 逐项积分不能进行的原因是积分定义不够广泛。 由此即可引向实变函数论中的 $Lebesgue$ 积分定义和 $Lebesgue$ 控制积分收敛定理， 在那里不需要事先假定极限函数的可积性。

命题 $14.2.5$ ($Lewin$ 引理)

设 $\{A_n\}$ 为单调下降的有界数集序列， 且其交为空集 (见 $(14.11)$)， 又定义数列

${\alpha }_n=\sup \{m(E)\mid E$ 为含于 $A_n$ 中的初等集 $\},n=1,2,\cdots ,$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=0.$

证

用反证法。 设结论不真， 则单调减少的正数数列 $\{{\alpha }_n\}$ 的极限大于 $0$ ， 因此存在 $\delta >0$ , 使得对于每个 $n$ 成立 ${\alpha }_n>\delta$ 。

对每个 $n$ ，根据 ${\alpha }_n$ 的定义， 存在闭初等集 $E_n\subset A_n$ ，使得

$$m(E_n)>{\alpha }_n-\frac{\delta }{2^n}.$$

这样得到的有界闭集序列 $\{E_n\}$ 未必单调下降， 为此再令

$$H_n=\bigcap _{k=1}^n{E}_k,n=1,2,\dots ,$$

就得到单调下降的有界闭集序列 $\{H_n\}$ 。 从 $H_n\subset E_n\subset A_n,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 就有

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n\supset \bigcap _{n=1}^{\infty }{H}_n.\text{\hspace{1em}(14.12)}$$

引理的条件是上式左边为空集 $\varnothing$ ，因此只要证明每个 $H_n$ 非空， 然后从非空有界闭集的下降序列有非空交的定理知 $(14.12)$ 的右边非空， 就引出矛盾。

考虑 $A_n-H_n$ 中的任一初等集 $E$， 则从 $H_n$ 为 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 之交知道有

$$E=E-H_n=E-\bigcap _{k=1}^n{E}_k=\bigcup _{k=1}^n(E-E_k).\text{\hspace{1em}(14.13)}$$

记 $F_i=E-E_i,i=1,2,\cdots ,n.$ 则对于每个 $i$ 有

$$m(F_i)+m(E_i)=m(F_i\cup E_i)⩽{\alpha }_i,$$

利用 $m(E_i)>{\alpha }_i-\frac{\delta }{2^i}$ 可知

$$m(F_i)<\frac{\delta }{2^i},\forall i=1,2,\dots ,n.$$

将这个结果代入 $(14.13)$ 就得到 $m(E)<\delta$ 。 这表明 $A_n-H_n$ 中的任一初等集的测度小于 $\delta$ 。

从 ${\alpha }_n$ 的定义和 ${\alpha }_n>\delta ,\forall n$ 可见， 如果 $H_n=\varnothing$ ，则就可以取到一个初等集 $E\subset A_n$ ，使得 $m(E)>\delta$ 。由此推出每个 $H_n\ne \varnothing$ ，从而在 $(14.12)$ 中引出矛盾。这表明一开始的假设错了，只能有 ${\lim }_{n\to \infty }{\alpha }_n=0$ 。

这个引理与 $Arzel\grave{a}$ 原来的引理比较， 可以认为有了很大的改进 (参见 [18] 第二卷的 $525$ 小节)。 从概念上看， 初等集只是有限个区间的并， 这在数学分析中是容易接受的。 此外， 还可以将引理的结论等价地叙述为更容易理解的事实: 若单调下降的有界数集之交为空集， 则其中所含的任意初等集的长度一定趋于 $0$。

$\mathrm{14.2.4}$ 练习题

1. 计算 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n{n}^x}.$

2. 确定函数 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(x+\frac{1}{n}\right)}^n$ 的定义域，并讨论其连续性与可微性。

3. 证明: 函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x+n(-1{)}^n}{x^2+n^2}$ 在任意有界闭区间上一致收敛， 并且它的和函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 上可导。

4. 设 $\{S_n(x)\}$ 是在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续的函数列，且已知它在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛于函数 $S(x)$ ，证明：函数 $S(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续。

5. 设连续函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上收敛，且 $\forall \epsilon \in (0,b-a),\{f_n\}$ 在 $[a,b-\epsilon ]$ 上一致收敛。如果存在 $g\in R[a,b]$ ，使

$$\left|f_n(x)\right|⩽g(x),x\in [a,b],n=1,2,\dots ,$$

证明：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)\mathrm{d}x.$$

6. 设函数列 $\{f_n\}$ 于点 $x_0$ 的某邻域 $O(x_0)$ 中收敛于函数 $f$ ，又设每个 $f_n$ 于点 $x_0$ 连续，证明： $f$ 在点 $x_0$ 连续的充分必要条件是 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\exists N$ ，使得对于每个 $x\in O_{\delta }(x_0)$ ，成立 $|f_N(x)-f(x)|<\epsilon$ 。

7. 设函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $[a,b]$ 上收敛于函数 $f\in C[a,b]$ ，证明： $\{f_n\}$ 于 $[a,b]$ 上一致收敛的充分必要条件是对于 $[a,b]$ 中的每个收敛数列 $\{x_n\}$ ， ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$ ，有 ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x_n)=f(x_0)$ 。

8. 设可积函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于函数 $f$ ，且已知每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上有原函数，证明： $f$ 在 $[a,b]$ 上也有原函数。