§19.3 复合函数求导 (链式法则)

19.3.1 复合函数偏导数的链式法则

若 $z=f(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 在点 $(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 可微， $u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ $(i=1,2,\cdots ,m)$ 在点 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 有关于 $x_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 的偏导数，则复合函数

$$z=f\left[g_1\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right),g_2\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right),\dots ,g_m\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\right]$$

关于自变量 $x_j$ 的偏导数存在且

$$\frac{\partial z}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}\cdot \frac{\partial u_i}{\partial x_j},j=1,2,\dots ,n.\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

写成矩阵的形式为

$$\left(\frac{\partial z}{\partial x_1},\frac{\partial z}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_n}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial u_1},\frac{\partial f}{\partial u_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial u_m}\right)\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \frac{\partial u_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial u_2}{\partial x_1}& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}& \frac{\partial u_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_m}{\partial x_n}\end{array}\right).$$

链式法则特款

特款$1$ 若 $z=f(x,y)$ ，而 $x=\phi (t),y=\psi (t)$ ，则

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}{\phi }^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}{\psi }^{\prime }(t).\text{\hspace{1em}(19.3)}$$

特款$2$ 若 $z=f(x,y,t)$ ，而 $x=\phi (s,t),y=\psi (s,t)$ ，则

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial s},\text{\hspace{1em}(19.4)}$$$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}.\text{\hspace{1em}(19.5)}$$

注意

最后一个等式左边的 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 与等式右边的 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 不一样, $\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示函数

$$z=f[\phi (s,t),\psi (s,t),t]$$

对 $t$ 求偏导, 此时视 $s$ 为常数, 而 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 是 $z=f(x,y,t)$ 对 $t$ 求偏导, 把 $x,y$ 视为常数. 为了避免混乱, 有时引入下面的记号

$$f_1=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,t),f_2=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,t),f_3=\frac{\partial f}{\partial t}(x,y,t),$$

其中下标 $i$ $(i=1,2,3)$ 表示对第 $i$ 个自变量求偏导，于是可将 $(19.4)$ ， $(19.5)$ 写为

$$z_s=f_1{\phi }_s+f_2{\psi }_s,z_t=f_1{\phi }_t+f_2{\psi }_t+f_3.$$

写成矩阵的形式为

$$(z_s,z_t)=(f_1,f_2,f_3)\left(\begin{array}{cc}{\phi }_s& {\phi }_t\\ {\psi }_s& {\psi }_t\\ 0& 1\end{array}\right).$$

19.3.2 例题

例题 19.3.1

对于幂指函数 $u=x^y$ ，令 $x=\phi (t)$ ， $y=\psi (t)$ ，求 $\frac{du}{dt}$ .

解

由 $(19.3)$ 得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}& =\frac{\partial u}{\partial x}{\phi }^{\prime }(t)+\frac{\partial u}{\partial y}{\psi }^{\prime }(t)\\ & =y{x}^{y-1}{\phi }^{\prime }(t)+x^y\ln x{\psi }^{\prime }(t)=x^y\left(\frac{y}{x}{\phi }^{\prime }(t)+\ln x{\psi }^{\prime }(t)\right)\\ & =[\phi (t){]}^{\psi (t)}\left\{\frac{\psi (t)}{\phi (t)}{\phi }^{\prime }(t)+[\ln \psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\right\}.\end{array}$$

(以前我们曾用另外的方法证明过它, 参见上册 $165-166$ 页的对数求导法.)

作为公式 $(19.3)$ 的另一个应用, 讨论行列式

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

的求导, 其中假定元素 $a_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ 都是 $t$ 的一元函数, 它们关于 $t$ 的导数 $\frac{d{a}_{ij}}{dt}$ 都存在.

例题 19.3.2

证明: 行列式 $\Delta$ 的导数等于把 $\Delta$ 内的第 $1$ 行直到第 $n$ 行的元素依次换成它们的导数而得出的 $n$ 个行列式之和.

证

回忆行列式关于第 $i$ 行元素的展开式

$$\Delta =\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{a}_{ij},$$

其中 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式. 容易看出 $A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{in}$ 中不含有元素 $a_{ij},1⩽j⩽n$ , 于是

$$\frac{\partial \Delta }{\partial a_{ij}}=A_{ij}.$$

按照公式 $(19.3)$ 有

$$\frac{\mathrm{d}\Delta }{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial \Delta }{\partial a_{ij}}\cdot \frac{\mathrm{d}{a}_{ij}}{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}\frac{\mathrm{d}{a}_{ij}}{\mathrm{d}t}.$$

注意到 ${\sum }_{j=1}^n{A}_{ij}\frac{d{a}_{ij}}{dt}$ 也表示一个行列式的展开式, 它同已知行列式 $\Delta$ 的差别仅在于把 $\Delta$ 中第 $i$ 行的元素 $a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}$ 换成它们的导数 $\frac{d{a}_{i1}}{dt},\frac{d{a}_{i2}}{dt},\cdots ,\frac{d{a}_{in}}{dt}$ , 由此可知结论成立.

注

在使用链式法则 $(19.2)$ 时, 要求 $f(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 在点 $(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 可微, 否则公式 $(19.2)$ 有可能失效, 请看下面的例子:

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0).\end{array}$$

由于

$$f_x(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x{y}^3}{(x^2+y^2{)}^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0),\end{array}$$$$f_y(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2{)}^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0),\end{array}$$

可以看出 $f_x$ 与 $f_y$ 都在 $(0,0)$ 点不连续，容易证明 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微.令 $x=y=t$ ，则 $f(t,t)=\frac{1}{2}t$ ，从而 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}$ .如果用链式法则，有

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=f_x{x}_t^{\prime }+f_y{y}_t^{\prime }.$$

当 $(x,y)=(0,0)$ 时， $\frac{df}{dt}=0.$

问题出在 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 不可微，也就是不满足链式法则的条件.

例题 19.3.3

设 $f(x,y)$ 在 $R^2$ 上有连续偏导数，且 $f(x,x^2)\equiv 1$ .

(1) 若 $f_x(x,x^2)=x$ , 求 $f_y(x,x^2)$ ;

(2) 若 $f_y(x,y)=x^2+2y$ , 求 $f(x,y)$ .

解

(1) 对 $f(x,x^2)\equiv 1$ 两边求导得

$$f_x+2x{f}_y=0.$$

由条件得

$$x+2x{f}_y=0,$$

所以当 $x\ne 0$ 时, $f_y(x,x^2)=-\frac{1}{2}$ . 由 $f_y$ 的连续性知, 当 $x=0$ 时也有 $f_y(x,x^2)=-\frac{1}{2}$ .

(2) 令 $F(x,y)=f(x,y)-(x^{2}y+y^2)$ ，则 $F(x,y)$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上连续可微，且

$$F_y(x,y)=0.$$

于是 $F(x,y)$ 只是 $x$ 的函数，即 $F(x,y)=\phi (x)$ ，从而

$$f(x,y)=x^{2}y+y^2+\phi (x).$$

再由 $f(x,x^2)\equiv 1$ 得 $\phi (x)=1-2x^4$ ，所以

$$f(x,y)=x^{2}y+y^2+1-2x^4.$$

例题 19.3.4

设 $u=f(x,y)$ ， $v=g(x,y,u)$ ， $w=h(x,u,v)$ ，求 $\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y}.$

解

复合这几个函数得到

$$w=h[x,f(x,y),g(x,y,f(x,y))].$$

从而

$$\frac{\partial w}{\partial x}=h_1+h_2\frac{\partial f}{\partial x}+h_3\left(g_1+g_3\frac{\partial f}{\partial x}\right),$$$$\frac{\partial w}{\partial y}=h_2\frac{\partial f}{\partial y}+h_3\left(g_2+g_3\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

例题 19.3.5

设二元连续可微函数 $F$ 在直角坐标下可写为 $F(x,y)=f(x)g(y)$ ，在极坐标系中可写为 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(r)$ 。若 $F(x,y)$ 无零点，求 $F(x,y)$ 。

解

注意

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial F}{\partial \theta }& =\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }\\ & =f^{\prime }(x)g(y)(-r\sin \theta )+f(x)g^{\prime }(y)r\cos \theta \\ & =-y{f}^{\prime }(x)g(y)+xf(x)g^{\prime }(y).\end{array}$$

另一方面有

$$\frac{\partial F}{\partial \theta }=\frac{\partial h(r)}{\partial \theta }=0.$$

于是 $-y{f}^{\prime }(x)g(y)+xf(x)g^{\prime }(y)=0.$ 当 $x\ne 0,y\ne 0$ 时有

$$\frac{f^{\prime }(x)}{xf(x)}=\frac{g^{\prime }(y)}{yg(y)}.\text{\hspace{1em}(19.6)}$$

由于上式对任意的 $x\ne 0,y\ne 0$ 恒成立，于是

$$\frac{f^{\prime }(x)}{xf(x)}=\frac{g^{\prime }(y)}{yg(y)}=\lambda ,\text{\hspace{1em}(19.7)}$$

其中 $\lambda$ 为任一常数. 由 $(19.7)$ 得

$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\lambda x,$$

即 $(\ln f{)}^{\prime }={\left(\frac{\lambda }{2}{x}^2\right)}^{\prime }$ , 所以

$$\ln f(x)=\frac{\lambda }{2}{x}^2+C,\text{\hspace{1em}(19.8)}$$

其中 $C$ 为任意常数. 由 $(19.8)$ 得到

$$f(x)=C_1{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda x^2}{2}},$$

其中 $C_1$ 为任意常数. 由 $(19.7)$ 还可得到

$$g(y)=C_2{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda y^2}{2}},$$

其中 $C_2$ 为任意常数. 最后得到

$$F(x,y)=C{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda \left(x^2+y^2\right)}{2}},$$

其中 $C,\lambda$ 为任意常数. $F(x,y)$ 在 $x=0$ 或 $y=0$ 的值由连续性得到.

例题 19.3.6

设 $a,b\ne 0,f$ 具有二阶连续偏导数，且

$$a^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+b^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0,\text{\hspace{1em}(19.9)}$$$$f(ax,bx)=ax,\text{\hspace{1em}(19.10)}$$$$f_x(ax,bx)=b{x}^2.\text{\hspace{1em}(19.11)}$$

求 $f_{xx}(ax,bx),f_{xy}(ax,bx),f_{yy}(ax,bx)$ .

解

对 $(19.10)$ 两边求导, 得

$$a{f}_x(ax,bx)+b{f}_y(ax,bx)=a.\text{\hspace{1em}(19.12)}$$

对 $(19.11)$ ， $(19.12)$ 两边求导得

$$a{f}_{xx}(ax,bx)+b{f}_{xy}(ax,bx)=2bx,\text{\hspace{1em}(19.13)}$$$$a^2{f}_{xx}(ax,bx)+2ab{f}_{xy}(ax,bx)+b^2{f}_{yy}(ax,bx)=0.\text{\hspace{1em}(19.14)}$$

由 $(19.9)$ ， $(19.14)$ 得

$$f_{xy}(ax,bx)=0.\text{\hspace{1em}(19.15)}$$

将 $(19.15)$ 代入 $(19.13)$ 得

$$f_{xx}(ax,bx)=\frac{2b}{a}x.$$

最后将 $(19.16)$ 代入 $(19.9)$ 得

$$f_{yy}(ax,bx)=-\frac{2a}{b}x.\text{\hspace{1em}(19.16)}$$

19.3.3 齐次函数

定义 如果函数 $f(x,y)$ 满足 $f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$ ，其中 $t>0$，则称 $f$ 是 $n$ 次齐次函数。齐次函数有如下性质：

命题 19.3.1

设 $f$ 有连续偏导数, 则 $f$ 是 $n$ 次齐次函数的充分必要条件是

$$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=nf(x,y).$$

命题 19.3.2

设 $f(x,y)$ 是二次连续可微的 $n$ 次齐次函数，则

$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x,y)=n(n-1)f(x,y),$$

这里 ${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2=x^2{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^2+2xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)+y^2{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2$ 是一种缩写的形式记号，即把 $x,y,\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}$ 都看成为常数后按二项式展开，但并不是将算子 $x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$ 对 $f(x,y)$ 接连作用两次.

命题 19.3.3

若 $f(x,y)$ 是二次连续可微的 $n$ 次齐次函数, 则 $f_x(x,y),f_y(x,y)$ 是 $(n-1)$ 次齐次函数.

命题 19.3.4

若 $f(x,y)$ 是在 $R^2\setminus \{0\}$ 上连续的 $n$ 次齐次函数，则

$$|f(x,y)|⩽C(x^2+y^2{)}^{\frac{n}{2}},$$

其中 $C$ 为正常数.

以上命题都可以推广到任意个自变量的情形. 它们的证明都不难, 留给读者.

例题 19.3.7

证明： $u=\phi \left(\frac{y}{x}\right)+y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 满足方程

$$x^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2xy\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\text{\hspace{1em}(19.17)}$$

其中 $\phi ,\psi$ 均为二次连续可微函数.

分析

当然可以通过复合函数求导数来验证方程, 但观其特点, 首先是由 $\phi$ 和 $\psi$ 的任意性知 $\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 与 $y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 都应该满足方程. 又注意到 $\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 为零次齐次函数, $y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 为一次齐次函数, 且方程 $(19.17)$ 可写为

$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}u=0.$$

证

由命题 $\mathrm{19.3.2}$ 知

$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\phi \left(\frac{y}{x}\right)=0(0-1)\phi \left(\frac{y}{x}\right)=0,$$$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\left[y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=1\cdot 0\cdot \left[y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=0.$$

于是

$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\left[\phi \left(\frac{y}{x}\right)+y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=0.$$

这就是所要证明的.

19.3.4 练习题

1. 设 $u={\mathrm{e}}^x+\sin y+t,x=st,y=s+t,$ 求 $\frac{\partial u}{\partial t}$ .

2. 设 $u=f(s,t)$ , $s=\frac{x}{y}$ , $t=\frac{y}{z}$ , 求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}$ .

3. 设 $u=f(s,t,y)$ , $s=\phi (x,y)$ , $t=\psi (x,y)$ , 求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ .

4. 设 $u=e^x\sin y,x=2st,y=t+s^2$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial s},\frac{\partial u}{\partial t}$ .

5. 设 $u=f(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)$ , 求 $\mathrm{d}u$ .

6. 设 $f(x,y,z)={\left(\frac{x}{y}\right)}^{1/z}$ ，求 $\mathrm{d}f(1,1,1)$ .

7. 设 $w=F(xy,yz)$ , $F$ 为有连续偏导数的二元函数, 证明:

$$x\frac{\partial w}{\partial x}+z\frac{\partial w}{\partial z}=y\frac{\partial w}{\partial y}.$$

8. 设 $z=f(xy)$ , $f$ 为可微的一元函数, 证明:

$$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=0.$$

9. 设二元函数 $u=F(x,y)$ 满足方程

$$x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0,$$

证明： $F(x,y)$ 在极坐标系下只是 $\theta$ 的函数.

10. 设二元函数 $F$ 在直角坐标系中可写成 $F(x,y)=f(x)g(y)$ ，在极坐标中可写成 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(\theta )$ ，求 $F(x,y)$ .

11. 证明: $u=\phi (x+at)+\psi (x-at)$ 满足方程

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,$$

其中 $\phi ,\psi$ 为具有二阶连续导数的一元函数.

12. 设 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 满足

$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u},$$

又设 $w=w(x,y)$ 满足方程

$$\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0,$$

证明：

(1) $w=w(x(u,v),y(u,v))$ 满足方程 $\frac{{\partial }^{2}w}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial v^2}=0;$

(2) $\frac{{\partial }^2(xy)}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2(xy)}{\partial v^2}=0.$

13. 证明：可微函数 $z=f(x,y)$ 仅是 $ax+by(ab\ne 0)$ 的函数的充分必要条件是

$$b\frac{\partial z}{\partial x}=a\frac{\partial z}{\partial y}.$$

14. 设 $u(x,y)$ 有连续二阶偏导数, $F(s,t)$ 有连续一阶偏导数, 且满足

$$F(u_x,u_y)=0,F_s^2+F_t^2\ne 0,$$

证明： $u_{xx}{u}_{yy}-u_{xy}^2=0.$

15. 设 $u=f(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$ . 试求 $u(x,y)$ .