§17.1 点与点集的定义及其基本性质

17.1.1 点的分类及其性质

1. 内点、外点、边界点 先回忆一下 $R^n$ 中的距离与邻域的定义. 我们知道点 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n$ 的 $Euclid$ 范数（又称模） $|x|$ 定义为 $|x|={\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\right)}^{1/2}$ . 由此可引进 $R^n$ 中任意两点 $x$ 与 $y$ 的 $Euclid$ 距离为

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|={\left[\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}.$$

与距离有关的最重要的不等式是三角形不等式(参见上册第 $6$ 页):

$$|x-z|⩽|x-y|+|y-z|.$$

和 $R$ 中的邻域定义相仿, 可通过距离定义 $R^n$ 中的邻域. 设点 $a\in R^n,\delta >0$ , 称

$$O_{\delta }(\mathbf{a})=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n\mid |\mathbf{x}-\mathbf{a}|<\delta \right\}$$

是点 $a$ 的 $\delta$ 邻域, 也称其为以点 $a$ 为中心, 以 $\delta$ 为半径的 $n$ 维开球.

在 ${\mathbf{R}}^n$ 中给定一个集合 $S$ , 按照点与集合 $S$ 的位置关系可将 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点分为三类: $S$ 的内点、外点、边界点. 具体地说, 对于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的某一点 $x$ , 若存在它的一个邻域 $O_{\delta }(x)\subset S$ , 则称 $x$ 为 $S$ 的内点; 若存在 $x$ 的一个邻域 $O_{\delta }(x)\cap S=\varnothing$ , 则称 $x$ 为 $S$ 的外点; 若在 $x$ 的任一邻域中既有属于 $S$ 的点, 又有不属于 $S$ 的点, 则称 $x$ 为 $S$ 的边界点.

$S$ 的全体内点组成的集合称为 $S$ 的内部, 记为 $\mathrm{int}S$ 或 $S^{\circ }$ .

$S$ 的全体边界点组成的集合称为 $S$ 的边界, 记为 $\partial S$ .

2. 聚点 上述分类是按照任一点 $x\in {\mathbf{R}}^n$ 的邻域内的点是否属于 $S$ 来进行的。如果按照去心邻域进行分类，则可将 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点分为 $S$ 的聚点与非聚点两大类。确切地说，对于点 $x\in {\mathbf{R}}^n$ ，如果在 $x$ 的任一去心邻域中总有 $S$ 的点，则称 $x$ 为 $S$ 的聚点。 $S$ 的全体聚点组成的集合记为 $S^d$ ，称为 $S$ 的导集。显然内点一定是聚点，外点一定不是聚点。

如果点 $x\in S$ ，且存在 $x$ 的一个邻域 $O_{\delta }(x)\cap S=\{x\}$ ，则称 $x$ 为 $S$ 的孤立点。孤立点一定不是聚点，而边界点有可能是聚点也有可能是孤立点。

聚点是一个重要概念, 它的下述两个等价定义是经常要用到的.

定义 $1$ 设点 $x\in {\mathbf{R}}^n$ , 如果在它的任何邻域 $O_{\delta }(x)$ 内总会有 $S$ 中的无穷多个点, 则称 $x$ 是 $S$ 的一个聚点.

定义 $2$ 设点 $x\in R^n$ ，如果存在由相异点组成的一个点列 $\{x_n\}\subset S,x_n\ne x(n=1,2,\cdots )$ ，使得 $x_n\to x$ ，则称 $x$ 为 $S$ 的一个聚点，这里 $x_n\to x$ 的含义是 $d(x_n,x)\to 0$ .

例题 17.1.1

证明: 集合 $S$ 的导集的聚点是 $S$ 的聚点, 即 $(S^d{)}^d\subset S^d$ .

证明

设点 $\mathbf{x}\in (S^d{)}^d$ ，则 $\exists S$ 的相异聚点 ${\mathbf{x}}_n(n=1,2,\cdots )$ ， $x_n\ne x$ ，且 $x_n\to x$ 。从而 $\forall \delta >0,\exists N$ ，当 $n>N$ 时， ${\mathbf{x}}_n\in O_{\delta }(\mathbf{x})$ 。设 $n_0>N$ ，由于 $x_{n_0}$ 为 $S$ 的聚点，于是在 $O_{\delta -|x-x_{n_0}|}(x_{n_0})$ 中含有无穷多个 $S$ 中异于 $x_{n_0}$ 的点。显然 $O_{\delta -|x-x_{n_0}|}(x_{n_0})\subset O_{\delta }(\mathbf{x})$ ，所以 $O_{\delta }(\mathbf{x})$ 中有无穷多个异于 $x$ 的 $S$ 中的点，由等价定义 $1$ 知 $x$ 为 $S$ 的聚点。

17.1.2 集合的分类及其性质

1. 开集、闭集 如果 $\mathrm{int}S=S$ ，则称 $S$ 为开集。开集有如下重要性质：

(1) 任意多个开集的并集是开集;

(2) 有限多个开集的交集是开集;

(3) 全空间 $R^n$ 和空集 $\varnothing$ 都是开集.

开集的余集定义为闭集. 又定义 $S$ 的闭包 $\overline{S}$ 为 $\overline{S}=S\cup S^d$ . 易证 $\overline{S}$ 为闭集, 且 $\overline{S}=S\cup \partial S$ . 关于闭集, 下列条件等价:

(1) $S$ 是闭集;

(2) $S^d\subset S$ (即 $S=\overline{S}$ );

(3) $\partial S\subset S$ (即 $S=\overline{S}$ ).

例题 17.1.2

设 $S$ 为 $R^n$ 中的一个集合，则 $\partial S$ 为闭集.

证明1

假设点 $x\in (\partial S{)}^c$ ，即 $\partial S$ 的余集，则 $x$ 只能是 $S$ 的内点或外点.

若点 $x\in \mathrm{int}S$ ，则 $\exists \delta >0$ ，使得 $O_{\delta }(\mathbf{x})\subset S$ ，由内点定义知 $O_{\delta }(\mathbf{x})\subset \mathrm{int}S$ ，从而 $O_{\delta }(\mathbf{x})\subset (\partial S{)}^c$ ;

若 $x$ 是 $S$ 的外点，则 $\exists \delta >0$ ，使得 $O_{\delta }(x)\cap S=\varnothing$ ，因此 $O_{\delta }(x)\subset S^c$ ，而 $O_{\delta }(x)$ 本身是开集，这说明 $O_{\delta }(x)$ 中的点都不是 $S$ 的边界点，即 $O_{\delta }(x)\subset (\partial S{)}^c$ .

由定义知 $(\partial S{)}^c$ 为开集, 即 $\partial S$ 为闭集.

证明2

设点 $x\in (\partial S{)}^d$ ，由聚点的等价定义 $2$ 知存在相异的点列 $\{x_n\}\subset \partial S,x_n\ne x,n=1,2,\cdots$ ，使得 $x_n\to x$ ，于是 $\forall \delta >0,\exists N$ ，当 $n>N$ 时点 $x_n\in O_{\delta }(x)$ ，取 $n_0>N$ ，由于点 $x_{n_0}\in \partial S$ ，则由边界点的定义知 $O_{\delta -|x_{n_0}-x|}(x_{n_0})\subset O_{\delta }(x)$ 中有 $S$ 中的点，也有不在 $S$ 中的点，所以 $x\in \partial S$ .

证明3

设点 $x\in \partial (\partial S)$ ，则 $\forall \delta >0$ ，在 $O_{\delta /2}(x)$ 中有 $\partial S$ 的点 $y$ 又由边界点定义，在 $O_{\delta /2}(y)$ 中既有属于 $S$ 的点，也有不属于 $S$ 的点．由于 $O_{\delta /2}(y)\subset O_{\delta }(x)$ ，因此 $O_{\delta }(x)$ 中既有属于 $S$ 的点，也有不属于 $S$ 的点，于是 $x\in \partial S.$

2. 紧集、凸集 设 $S$ 是 $R^n$ 的一个集合, 如果在 $S$ 的任何一个无限开覆盖 $\{O_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 中总可以找出有限个开集 $O_1,O_2,\cdots ,O_k$ , 同样可以覆盖 $S$, 即 ${\bigcup }_{i=1}^k{O}_i\supset S$ , 则称 $S$ 是 $R^n$ 的一个紧集. 容易证明紧集一定是有界闭集, 而且我们将会看到, 在 $R^n$ 中紧集与有界闭集的定义是等价的 (紧性定理).

设 $E$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个集合, 若 $\forall x_1,x_2\in E$ , 有 $x=t{x}_1+(1-t)x_2\in E(0⩽t⩽1)$ , 则称 $E$ 为凸集. 从几何上看, 以 $x_1,x_2$ 为端点的直线段位于 $E$ 内.

例题 17.1.3

紧集的闭子集是紧集.

证明

设 $E$ 是一个紧集, $F$ 是 $E$ 的闭子集. 设 $\{O_{\lambda }{\}}_{\lambda \in I}$ 是 $F$ 的任一开覆盖, 由于 $F^c=R^n-F$ 是开集, 则 $\{O_{\lambda }{\}}_{\lambda \in I}$ 与 $F^c$ 一起形成紧集 $E$ 的一个开覆盖. 由紧集的定义知在 $\{O_{\lambda }{\}}_{\lambda \in I}$ 与 $F^c$ 中存在有限个开集形成 $E$ 的一个有限覆盖, 记这有限个开集为 $O_1,O_2,\cdots ,O_k$ , 不妨设 $F^c=O_k$ . 由于 $F\subset E$ , 则

$$\left(\bigcup _{i=1}^{k-1}{O}_i\right)\cup F^c\supset E\supset F.$$

但 $F^{\mathrm{c}}\cap F=\varnothing$ ，所以

$$\bigcup _{i=1}^{k-1}{O}_i\supset F,$$

由紧集的定义知 $F$ 为紧集.

3. 连通集、区域 设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个集合, 如果当 $D$ 分解为两个不相交的非空子集的并集 $A\cup B$ 时, 有 $A^d\cap B\ne \varnothing$ 或者 $A\cap B^d\ne \varnothing$ , 则称 $D$ 为连通集. 当 $D$ 是开集时, 我们有: 开集 $D$ 是连通集的充分必要条件是 $D$ 不能分解为两个不相交的非空子开集的并 (第二组参考题1). 在 $\mathbf{R}$ 中, 连通集有特别直观的描述: $\mathbf{R}$ 中集合 $D$ 是连通集的充分必要条件是 $D$ 为区间 (第二组参考题2).

连通的开集称为区域或开区域. 开区域的闭包称为闭区域.

更为直观并易于判断的概念是道路连通集. 设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个集合, 如果当 $D$ 内任何两点 $p,q$ , 都可以找到连续曲线 $l\subset D$ 将 $p$ 和 $q$ 联结, 则称 $D$ 为道路连通集. 这里的连续曲线是指 $l$ 可以表示为参数方程

$$x_i={\phi }_i(t),i=1,2,\dots ,n,$$

其中诸 ${\phi }_i$ 是区间 $[0,1]$ 上的连续函数，并且 $\mathbf{p}=({\phi }_1(0),{\phi }_2(0),\cdots ,{\phi }_n(0))$ ， $\mathbf{q}=({\phi }_1(1),{\phi }_2(1),\cdots ,{\phi }_n(1))$ 。可以证明道路连通集一定是连通集，但连通集未必是道路连通集（第二组参考题5）。下面的命题说明了区域的道路连通性。

命题 17.1.1

$R^n$ 中的区域都是道路连通的.

证明

设 $D$ 是 $R^n$ 中的一个非空连通开集. 取点 $x\in D$ , 设 $U(x)$ 为 $D$ 中所有与 $x$ 有 $D$ 中连续曲线相联结的点的集合. 容易看到 $U(x)$ 是一个道路连通集. 我们证明 $U(x)=D$ . 设 $y\in U(x)$ , 并取 $\delta >0$ 使 $O_{\delta }(y)\subset D$ . $\forall z\in O_{\delta }(y)$ 存在 $O_{\delta }(y)$ 中的直线段联结 $z$ 到 $y$, 从而存在 $D$ 中的连续曲线联结 $z$ 到 $x$, 所以 $O_{\delta }(y)\subset U(x)$ . 因而 $U(x)$ 是包含 $x$ 的开集. 如 $D-U(x)\ne \varnothing$ , 则 $D-U(x)=\bigcup U(y^{\prime })$ , 其中 $y^{\prime }$ 取遍 $D-U(x)$ 中的点. 按前面的证明, 每个 $U(y^{\prime })$ 都是开集, 因此 $D-U(x)$ 也是开集. $D$ 有开集分解式 $D=U(x)\cup (D-U(x))$ , 与 $D$ 是连通开集矛盾. 这就证明了 $D-U(x)=\varnothing$ , 所以 $D=U(x)$ 是道路连通集. □

4. 距离概念的推广 点与点的距离概念可推广到点 $x$ 与集合 $S$, 集合 $S_1$ 与集合 $S_2$ 之间的距离:

$$\begin{array}{c}d(\mathbf{x},S)={\inf }_{\mathbf{y}\in S}\{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\};\\ d(S_1,S_2)={\inf }_{\mathbf{x}\in S_1,\mathbf{y}\in S_2}\{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\}={\inf }_{\mathbf{x}\in S_1}\{d(\mathbf{x},S_2)\}={\inf }_{\mathbf{y}\in S_2}\{d(\mathbf{y},S_1)\}.\end{array}$$

点与集合的距离可以看作是两个集合之间的距离的特殊情况. 同时还可以定义一个集合 $S$ 的直径 $d_S$ 为

$$d_S=\underset{\mathbf{x},\mathbf{y}\in S}{\sup }\left\{\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right|\right\}.$$

关于集合的运算有下列命题:

命题 17.1.2 (De Morgan 法则)

设 $A_{\alpha }(\alpha \in I)$ 为一族集合, 则有

$${\left(\bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }\right)}^c=\bigcap _{\alpha \in I}(A_{\alpha }{)}^c,{\left(\bigcap _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }\right)}^c=\bigcup _{\alpha \in I}(A_{\alpha }{)}^c.$$

由命题17.1.2 易证下述结论: 任意多个闭集的交集仍是闭集; 有限多个闭集的并集仍是闭集.

17.1.3 思考题

1. 按定义证明闭集的如下重要性质：

(1) 任意多个闭集的交集是闭集; (2) 有限多个闭集的并集是闭集.

2. 证明聚点定义 (1), (2) 的等价性.

3. 在例题17.1.1 的证明中, 我们使用的是聚点等价定义 (1). 若使用原始定义, 证明是否能通过? 若不能, 应如何修改?

4. 无限多个开集的交是否一定是开集？

17.1.4 练习题

1. 证明: $\overline{S}=S\cup \partial S$ .

2. 证明: $\partial S=\overline{S}-\mathrm{int}S$ .

3. 若 $A\cap B=\varnothing$ , 则 $\overline{A}\cap (\mathrm{int}B)=\varnothing$ .

4. 证明: $S=S^d⟺S$ 闭, 且 $S$ 无孤立点.

5. $S$ 为 $R^n$ 中的点集, 证明: $\overline{S}=\{x\in R^n\mid d(x,S)=0\}$ .

6. 若 $S$ 为凸集, 则 $\overline{S}$ 也是凸集.

7. 对于集合 $S$ 与任一组集合 $A_{\alpha },\alpha \in I$ , 恒有分配律:

$$S\cap \left(\bigcup _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }\right)=\bigcup _{\alpha \in I}(S\cap A_{\alpha }).$$