§12.4 广义积分的特殊性质

这方面只提出需要注意的两点. 第一点是: 对广义积分, 绝对可积必可积, 但反之未必; 对定积分, 可积必绝对可积, 但反之未必. 两者恰恰相反. 就此点而言, 广义积分与其说像定积分, 倒不如说更像数项级数 (见下册命题$\mathrm{13.3.1}$). 第二点是无穷限广义积分所特有的性质, 将在本节讨论.

12.4.1 收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质

由例题$\mathrm{2.2.9}$及其注知道, 如果无穷级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$ . 与之类比, 初学者容易认为对无穷限广义积分应当成立以下结论:

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x\text{收敛}⟹\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$

但是从例题 $\mathrm{12.2.5}$ 和图 $12.1$ 中我们知道极限 $f(+\infty )$ 完全可以不存在.

首先建立以下基本结论:

例 12.4.1

设无穷限广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 有意义，则它一定等于$0$.

证明

证 若 $f(+\infty )$ 为有限正数或正无穷大, 则都存在 $x_0>a$ 和 $c>0$ , 使得当 $x>x_0$ 时成立 $f(x)>c$ . 因此对于 $A>x_0$ , 有

$$\begin{array}{l}{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{x_0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{x_0}^{A}f(x)\mathrm{d}x\\ >{\int }_a^{x_0}f(x)\mathrm{d}x+c(A-x_0)\to +\infty (A\to +\infty ).\end{array}$$

这与无穷限积分收敛的条件矛盾, 可见 $f(+\infty )$ 不可能是有限正数或正无穷大. 同样地可以证明 $f(+\infty )$ 也不可能是负数或负无穷大, 因此得到 $f(+\infty )=0$ . $\square$

若 $f$ 单调, 则 $f(+\infty )$ 一定有意义, 从而有 $f(+\infty )=0$ . 但是实际上这时还有更强的结论.

例 12.4.2

若无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 且 $f$ 单调, 则有

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=0.$$

证明

证 不妨设 $f$ 单调减少. 与例题$\mathrm{12.4.1}$的证明类似, 可以知道 $f$ 非负. 由于广义积分收敛, 对于 $\epsilon >0$ , 有正数 $M>a$ , 使得对于任何一对 $A_1,A_2>M$ , 成立不等式

$$\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(t)\mathrm{d}t\right|<\epsilon .$$

取 $A_1=x,A_2=2x$ ，则当 $x>M$ 时，就有

$$0⩽xf(2x)⩽{\int }_x^{2x}f(t)\mathrm{d}t<\epsilon ,$$

即已经得到 ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=0.$

下面是无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛时使 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ 成立的主要结果.

命题 12.4.1

设无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 且被积函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续, 则

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$

证明

证 用反证法. 假设 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ 不成立, 则 $\exists {\epsilon }_0>0$ , 使 $\forall A>a$ , $\exists x_0>A$ , 满足 $|f(x_0)|⩾2{\epsilon }_0$ .

因为 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，因此对 ${\epsilon }_0>0,\exists \delta >0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,+\infty )$ ( $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta )$ ，成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<{\epsilon }_0$ 。所以当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，有

$$|f(x)|⩾|f(x_0)|-|f(x_0)-f(x)|>{\epsilon }_0,$$

并且 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 同号. 因此就有

$$\left|{\int }_{x_0}^{x_0+\delta }f(x)\mathrm{d}x\right|⩾{\epsilon }_0{\int }_{x_0}^{x_0+\delta }\mathrm{d}x={\epsilon }_0\delta .\text{\hspace{1em}(12.9)}$$

由于这个不等式右边的 ${\epsilon }_0\delta$ 是一个固定的正数, 而对于每个 $A>a$ , 都存在 $x_0>A$ 满足 $(12.9)$, 因此与无穷限积分的 $Cauchy$ 收敛准则矛盾.

在无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛时, 我们不知道保证 $f(+\infty )=0$ 的充分必要条件是什么. 但若有 $f\in C[a,+\infty )$ , 则在积分收敛时, 条件 $f(+\infty )=0$ 等价于 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续 (参见例题$\mathrm{5.4.6}$).

此外下面的一个结论也是基本的, 它表明虽然极限 $f(+\infty )$ 不一定存在, 但若将数列的极限点概念 ($\mathrm{3.6.1}$ 小节) 推广到函数极限, 则当连续被积函数的无穷限广义积分收敛时, 必有一个极限点是 $0$.

例 12.4.3

设 $f\in C[a,+\infty )$ , 且 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$ , 满足条件

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty ,\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0.$$

证明

证 根据广义积分收敛的条件得到

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x=0.$$

对上面的积分用积分第一中值定理, 并且用 $x_n$ 记其中的中值, 就有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0,$$

这时 $x_n\in (n,n+1)$ .因此 $\{f(x_n)\}$ 是无穷小量，而 $\{x_n\}$ 是正无穷大量. $\square$

可以进一步证明存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$ , 满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ , ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n}f(x_n)=0$ . 见下面的练习题$6$.

12.4.2 练习题

1. 设 $f$ 于 $[a,+\infty )$ 上可导, $f^{\prime }$ 内闭可积, 且广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_a^{+\infty }{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 都收敛, 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ .

2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上有有界的导函数且无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ .

3. 举例说明例题$\mathrm{12.4.2}$之逆不成立, 也就是说, 当函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调, 且满足条件 ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=0$ 时, 广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 仍可能发散.

4. 若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 且 $xf(x)$ 单调, 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)\ln x=0$ .

5. 设函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上可微且无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 证明: 存在数列 $\{x_n\}$ , 使 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ , ${\lim }_{n\to \infty }{f}^{\prime }(x_n)=0$ .

6. (1) 设 $f\in C[a,+\infty )$ ，且 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，证明存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$ ，满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ ， ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n}f(x_n)=0;$

(2) 证明在 $f\in C[a,+\infty )$ , 且 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的广义积分为条件收敛时有与 (1) 同样的结论;

(3) 问: 在 $f$ 不满足连续条件时结论是否成立? 根据 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的广义积分为绝对收敛和条件收敛分别讨论.