10.5.2 参考题

例 10.5.1

证明: ${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=0$ .

证明

因为 $x^2=x\cdot x$ ，因此由积分第一中值定理，存在 $\xi \in (-1,1)$ ，使

$${\int }_{-1}^1{x}^2\mathrm{d}x=\xi {\int }_{-1}^{1}x\mathrm{d}x={\frac{1}{2}\xi \cdot x^2|}_{-1}^1=0.$$

错误分析 应用第一中值定理的必要前提是被积函数的两个因子之一在积分区间上不变号, 而本题的上述做法不满足这个条件.

例 10.5.2

设 $f$ 是周期为 $T$ 的可积函数, 证明: 对于任意实数 $a$, 成立

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x.$$

证明

定义函数 $F(a)={\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x,a\in (-\infty ,+\infty )$ .则

$$F^{\prime }(a)={\left({\int }_0^{a+T}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=f(a+T)-f(a)=0.$$

因此 $F(a)\equiv C$ ( $C$ 为常数), 又 $C=F(0)={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x$ , 所以

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=C={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x.$$

错误分析 本题只假定 $f$ 可积, 因此不能在函数 $F(a)={\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x$ 中对变动积分限求导.

例 10.5.3

计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos 2x}$ .

解

先求不定积分, 得

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{2+\cos 2x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{3}}\right)+C.$$

然后用 $Newton-Leibniz$ 公式, 可以得到

$${\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos 2x}={\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{3}}\right)|}_0^{\pi }=0.$$

错误分析 由于 $\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{3}}\right)$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上有间断点 $x=\frac{\pi }{2}$ ，因此不能用 $Newton-Leibniz$ 公式.

第一组参考题

1. 设 $m$ 为正整数, $0<a<b$ , 试从定积分的定义出发计算 ${\int }_a^b{x}^m\mathrm{d}x$ .

2. (1) 举例: 从 $|f|\in R[a,b]$ 未必能推出 $f\in R[a,b]$ ;

(2) 证明: 若 $f$ 是导函数, 则当 $|f|\in R[a,b]$ 时, 就一定有 $f\in R[a,b]$ .

3. 设 $f,g\in R[a,b]$ , $\xi$ 和 ${\xi }^{\prime }$ 是从属于分划 $P$ 的两个不同介点集, 证明:

$$\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)g\left({\xi }_k^{\prime }\right)\Delta x_k={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx.$$

4. 设 $f$ 在区间 $I=(a,b)$ 上为下凸函数, 证明: $f$ 的两个单侧导函数 $f_{-}^{\prime }(x)$ 和 $f_{+}^{\prime }(x)$ 在 $I$ 中的任意有界闭区间 $[c,d]$ 上可积, 且成立 $Newton-Leibniz$ 公式:

$$f(d)-f(c)={\int }_c^d{f}_{-}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_c^d{f}_{+}^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

5. 设 $f\in R[a,b]$ , 证明: 对于每一个给定的 $\epsilon >0$ , 存在函数 $g$ , 使得

$${\int }_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\epsilon ,$$

其中的 $g$ 是: (1) 阶梯函数; (2) 折线函数; (3) 连续函数; (4) 连续可微函数.

6. 证明积分的连续性命题: 设 $f\in R[a-\delta ,b+\delta ]$ , 其中 $\delta >0$ , 则有

$$\underset{h\to 0}{\lim }{\int }_a^b|f(x+h)-f(x)|\mathrm{d}x=0.$$

7. 设 $f\in R[a,b]$ , 证明: $\forall \epsilon >0$ , $\exists [c,d]\subseteq [a,b]$ , 使 $f$ 在子区间 $[c,d]$ 上的振幅 ${\omega }_{f[c,d]}<\epsilon$ .

8. 设 $f\in R[a,b]$ , 证明: $f$ 的连续点在 $[a,b]$ 中稠密 (即 $f$ 在 $[a,b]$ 的每个子区间 $(c,d)$ 中有连续点).

9. 设非负函数 $f\in R[a,b]$ ，求证：积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$ 的充分必要条件是 $f$ 在所有连续点处的值都等于 0.

10. 设 $f,g\in R[a,b]$ , 且在 $[a,b]$ 的每个子区间中有 $x$ 使 $f(x)=g(x)$ , 证明:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

11. (积分第一中值定理的一种推广) 证明: 设 $f,g\in R[a,b]$ , 其中 $f$ 在 $[a,b]$ 上有原函数, $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号, 则存在 $\xi \in (a,b)$ , 使

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

12. 计算以下渐近等式

$${\int }_0^1\frac{x^{n-1}}{1+x}\mathrm{d}x=\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)(n\to \infty )$$

中的待定常数 $a,b$.

13. 设非负严格单调增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续. 由积分中值定理, 对于每个 $p>0$ , 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$ , 使

$$f^p(x_p)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{f}^p(t)\mathrm{d}t.$$

试求 ${\lim }_{p\to +\infty }{x}_p$

14. 设 $f\in C[0,+\infty )$ , $a>0$ , 且存在有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\left(f(x)+a{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\right)$ , 证明: $f(+\infty )=0$ .

15. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ , 定义 $F(x)={\int }_a^{b}f(x+t)\cos t\mathrm{d}t,a⩽x⩽b$ .

(1) 证明 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F^{\prime }(x)$ .

16. 设 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 计算积分 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin nx}{\sin x}\mathrm{d}x$ .

17. 令 $B(m,n)={\sum }_{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k\frac{(-1{)}^k}{m+k+1},m,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

(1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$ ; (2) 计算 $B(m,n)$ .

18. 证明: 当 $m<2$ 时, ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^m}{\int }_0^x\sin \frac{1}{t}\mathrm{d}t=0$ .

19. 证明: 当 $\lambda <1$ 时, ${\lim }_{R\to +\infty }{R}^{\lambda }{\int }_0^{\pi /2}{\mathrm{e}}^{-R\sin \theta }\mathrm{d}\theta =0$ .

20. 设 $f\in C^2[0,\pi ]$ ，且 $f(\pi )=2$ ， ${\int }_0^{\pi }(f(x)+f^{\prime \prime }(x))\sin x\mathrm{d}x=5$ ，求 $f(0)$ .

21. 寻找同时满足以下三个条件:

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=1,{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=a,{\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=a^2$$

的非负连续函数 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.

22. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $f(1)=3{\int }_0^{1/3}{\mathrm{e}}^{x-1}f(x)\mathrm{d}x,$ 证明: 存在 $\xi \in (0,1)$ , 使得 $f(\xi )+f^{\prime }(\xi )=0$ .

23. 设 $f$ 于 $[0,1]$ 上非负连续，且 $f^2(t)⩽1+2{\int }_0^{t}f(s)\mathrm{d}s,$ 证明： $f(t)⩽1+t.$

24. 设 $f\in C^1[1,+\infty )$ , $f(1)=1$ , 且当 $x⩾1$ 时有 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ , 证明: 存在有限极限 $f(+\infty )$ , 且 $f(+\infty )<1+\frac{1}{4}\pi$ . (本题与8.5.3小节题13相同, 当然这里可以用积分方法做.)

25. 证明: ${\int }_0^{2\pi }\left({\int }_x^{2\pi }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x=0.$

第二组参考题

1. (连续量的平均值) 设 $f$ 为 $[0,+\infty )$ 上的单调函数, 定义 $f$ 的平均值为

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(0^{+}),& x=0,\\ \frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t,& x>0.\end{array}$$

证明：(1) $F$ 在 $[0,+\infty )$ 上为单调连续函数，且与 $f$ 具有相同的单调性；(2) $F(+\infty )=f(+\infty )$ .

2. 证明: $f\in R[a,b]$ 且 ${\int }_a^{b}f=I$ 的充分必要条件是存在 $[a,b]$ 的一个分划序列 $\{P_k{\}}_{k\in {\mathbf{N}}_{+}}$ , 满足条件 ${\lim }_{k\to \infty }\Vert P_k\Vert =0$ , 使得 ${\lim }_{k\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n_k}f({\xi }_{k,i})\Delta x_{k,i}=I$ , 而且极限值不依赖于介点集的选取. (本题表明在 Riemann 积分的定义中分划的任意性要求可以降低. 例如用等距分划也是可以的.)

3. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界, 证明: 如果存在常数 $I$, 使对每个 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 对 $[a,b]$ 的任意分划 $P=\{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ , 只要 $\Vert P\Vert <\delta$ , 就有 $\left|{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i-I\right|<\epsilon$ , 则 $f\in R[a,b]$ 且 ${\int }_a^{b}f=I$ . (不引入介点集来定义的积分在历史上称为 $Cauchy$ 积分. 本题表明对于有界函数来说, $Cauchy$ 积分与 $Riemann$ 积分一致.)

4. ($Riemann$ 定理) 设 $f\in R[a,b]$ , $g$ 以 $T$ 为周期且在 $[0,T]$ 上可积, 证明:

$$\underset{p\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)g(px)\mathrm{d}x=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}g(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

5. 设 $f$ 是一个 $n$ 次多项式, 且满足条件 ${\int }_0^1{x}^{k}f(x)dx=0,k=1,2,\cdots ,n,$ 证明: ${\int }_0^1{f}^2(x)\mathrm{d}x=(n+1{)}^2{\left({\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\right)}^2.$

6. 计算下列积分: (1) ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\cos nxdx;$ (2) ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}x\sin nxdx.$

7. 证明: ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1{\cos }^n\frac{1}{x}\mathrm{d}x=0.$

8. 1996年发现了计算圆周率的全新算法, 它可以计算圆周率在任意指定位数上的数字, 而不必求出在这一位之前的每一位数字. 这种算法的基础是关于圆周率的新公式. 它涉及一个积分的两种计算方法. 下面的问题就是其中的前一半. 其余部分见下册的例题16.2.6.

证明：

$${\int }_0^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}{x}^4-8x^5}{1-x^8}\mathrm{d}x=\pi .$$

第十一章 积分学的应用

本章共有 5 节. §11.1 是积分学在几何计算中的应用. §11.2 介绍与积分有关的不等式. §11.3 是积分的估计和近似计算. §11.4 是积分学在分析中的其他应用, 其中包括数列极限计算、Wallis 公式、Stirling 公式、Taylor 公式的积分型余项和 $\pi$ 的无理性证明等. 最后一节为学习要点和两组参考题.