7.3 对于教学的建议

§7.3 对于教学的建议

7.3.1 学习要点

1. $Fermat$ 定理看似简单, 但却是求函数的极值和最值问题的理论基础.

2. 中值定理将函数在两个 (可以相距很远) 点上的函数值之差, 也就是函数的增量, 与函数在某点的导数值联系起来. 从上一章我们已经知道函数的导数是一个局部性的概念, 但通过中值定理, 就可以用导数研究函数在大范围上的性质. 用与不用中值定理是完全不一样的. 读者只要对比例题 $\mathrm{7.1.5}$ 的两个证明, 就可以明白这一点. 其中第二个证明的复杂恰好衬托出中值定理的有力.

3. $Taylor$ 公式是一元微分学的顶峰。公式表面上似乎复杂，但它所面对的问题却是重要的实际问题。这就是如何用多项式来逼近函数。这里只需要加、减、乘三种运算。实际上从中学开始就清楚，除了多项式以及开平方等运算之外，一般初等函数的计算都不可能直接手算，而是一定要用某些工具，如数学用表、计算器或计算机，才能实现。所有函数计算，在计算机中总是归结为多项式计算，而 $Taylor$ 公式就是这些计算的基础。

4. 两个带有不同余项形式的 $Taylor$ 公式 (即命题 $\mathrm{7.2.2}$ 和 $\mathrm{7.2.3}$)，分别是上一章的无穷小增量公式和本章的 $Lagrange$ 中值定理 (即有限增量公式) 的推广。注意它们分别代表了在微分学中两种基本的思想方法。前者注重于当 $x\to x_0$ 时余项作为无穷小量的阶的估计，后者则要将余项用高阶导数表示出来 (尽管其中仍有不确定的中值)。

5. 仅仅从所得到的结果就不难看出, 在多次应用中值定理的基础上所得到的 $Taylor$ 公式大大扩展了我们对可微函数的把握和使用. 这两个公式当然有极其广泛的应用. 本章的训练只是为理解公式本身而安排的.

6. 在教材 [8] 的第一册第 $230$ 页中作者有一段关于 $Taylor$ 定理的评价, 写得很出色. 我们原封不动地引在下面:

“我们不想把话说得太绝对, 但至少可以说: 凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题, 其中的大部分都可以用 $Taylor$ 定理来解决. 掌握了 $Taylor$ 定理之后, 回过头去看前面的那些理论, 似乎一切都在你的掌握之中, 使你有一种‘会当凌绝顶, 一览众山小’的意境. 从这个意义上说‘$Taylor$ 定理是一元微分学的顶峰’, 并不过分.”

7. 对习题课的建议 中值定理的基础是 $Fermat$ 定理与 $Rolle$ 定理, 包括它们的证明思想. 这在 §7.1 中已作了比较多的说明. 如何根据具体情况使用这些有力的工具, 例如什么时候用 $Lagrange$ 余项, 什么时候用 $Peano$ 余项等, 这应该作为习题课训练的一个重点.

应用中值定理的另一个难点是作适当的辅助函数, 这也能体现一个学生的数学综合能力. 第一组参考题 $4$ 是个很有启发性的题, 讲解此题后可进一步介绍下一个题.

例7.3.1

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上存在 $n+1$ 阶导数, 且满足

$$f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,k=0,1,2,\dots ,n,$$

其中 $f^{(0)}(a)=f(a)$, $f^{(0)}(b)=f(b)$ . 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $f(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )$ .

证明

(1) 当 $n=0$ 时, 令 $h(x)={\mathrm{e}}^{-x}f(x)$ , 则

$$h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}[f^{\prime }(x)-f(x)].$$

由于 $h(a)=h(b)=0$ ，故由 $Rolle$ 定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $h^{\prime }(\xi )={\mathrm{e}}^{-\xi }[f^{\prime }(\xi )-f(\xi )]=0.$ 由于 ${\mathrm{e}}^{-\xi }>0,$ 从而 $f(\xi )=f^{\prime }(\xi ).$

(2) 当 $n>0$ 时, 令 $g(x)={\sum }_{k=0}^n{f}^{(k)}(x)$ , 则 $g(a)=g(b)$ , 且

$$g(x)-g^{\prime }(x)=f(x)-f^{(n+1)}(x).$$

由 (1), 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $g(\xi )=g^{\prime }(\xi )$ . 即 $f(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )$ .

$Taylor$ 展开式可以解决很多数学问题, 技巧性较强. 选择什么余项, 在哪一点展开, 是展开一点的值, 还是展开多点的值进行复合都很有讲究. 但在初学阶段的习题课还是要贯彻“少而精”的原则. 对一般的学生而言, 能用合适的余项展开 $Taylor$ 公式就已达到基本要求. 这部分内容也是考研的复习重点. 我们在两组参考题中为此提供了必要的素材.

7.3.2 参考题

第一组参考题

1. 设有 $n$ 个实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 满足

$$a_1-\frac{1}{3}{a}_2+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{a_n}{2n-1}=0,$$

证明：方程 $a_1\cos x+a_2\cos 3x+\cdots +a_n\cos (2n-1)x=0$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 中至少有一个根.

2. 设 $c\ne 0$ , 证明: 方程 $x^5+a{x}^4+b{x}^3+c=0$ 至少有两个根不是实根,

3. 设 $a\ne 0$ , 证明: 方程 $x^{2n}+a^{2n}=(x+a{)}^{2n}$ 只有一个实根 $x=0$ .

4. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微, 且满足条件

$$f(a)f(b)>0,f(a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0,$$

证明: 对每个实数 $k$ , 在 $(a,b)$ 内存在点 $\xi$ , 使成立 $f^{\prime }(\xi )-kf(\xi )=0$ .

5. 设 $f(x)={\sum }_{k=1}^n{c}_k{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{k}x}$ ，其中 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 为互异实数， $c_1,\cdots ,c_n$ 不同时为 $0$。证明：$f$ 的零点个数小于 $n$。

6. (1) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$ , $f(x)\ne 0$ , $\forall x\in (0,1)$ , 证明: 存在 $\xi \in (0,1)$ , 使成立

$$2\frac{f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )}=\frac{f^{\prime }(1-\xi )}{f(1-\xi )}.$$

(2) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$ , $f(x)\ne 0$ , $\forall x\in (0,1)$ , 证明: 对每个 $\alpha \ne 0$ , 存在 $\xi \in (0,1)$ , 使成立

$$|\alpha |\frac{f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )}=\frac{f^{\prime }(1-\xi )}{f(1-\xi )}.$$

7. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微, 但不是线性函数, 证明: 存在 $\xi ,\eta \in (a,b)$ , 使成立

$$f^{\prime }(\xi )>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>f^{\prime }(\eta ).$$

8. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, $f(a)=f(b)=0$ , 且在某点 $c\in (a,b)$ 处有 $f(c)>0$ , 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使 $f^{\prime \prime }(\xi )<0$ .

9. 利用例题 $\mathrm{7.1.3}$ 的方法 (或其他方法) 解决以下问题:

(1) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 三阶可微, 且有 $f(a)=f^{\prime }(a)=f(b)=0$ , 证明: 对每个 $x\in [a,b]$ , 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$f(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(x-a{)}^2(x-b).$$

(2) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上五阶可微, 且有 $f(1/3)=f(2/3)=f(1)=f^{\prime }(1)=f^{\prime \prime }(1)=0$ , 证明: 对每个 $x\in [0,1]$ , 存在 $\xi \in (0,1)$ , 使成立

$$f(x)=\frac{f^{(5)}(\xi )}{5!}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)(x-1{)}^3.$$

(3) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上三阶可微, 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)[f^{\prime }(a)+f^{\prime }(b)]-\frac{1}{12}(b-a{)}^3{f}^{\prime \prime \prime }(\xi ).$$

(4) 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 证明: 对每个 $c\in (a,b)$ , 有 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}.$$

10. 设 $0<a<b$ , $f$ 在 $[a,b]$ 上可微, 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$\frac{1}{a-b}\left|\begin{array}{cc}a& b\\ f(a)& f(b)\end{array}\right|=f(\xi )-\xi f^{\prime }(\xi ).$$

11. 设 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上 $n$ 次可微, 设 $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ , 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ ，使成立

$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ x_0& x_1& \dots & x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_0^{n-1}& x_1^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\\ f(x_0)& f(x_1)& \dots & f(x_n)\end{array}\right|=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}\prod _{i>j}(x_i-x_j).$$

12. 设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上可微, 且 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=\infty$ , 证明: $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上非一致连续.

13. 设 $f$ 在 $(0,a]$ 上可微, 又存在有限极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}{f}^{\prime }(x)$ , 证明: $f$ 在 $(0,a]$ 上一致连续.

14. 设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上可微，且 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0$ ，证明： ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=0$ .

15. 对分别满足以下两个条件的 $f$ , 设已知 $f(1)=1$ , 求 $f(2)$ :

(1) $x{f}^{\prime }(x)+f(x)=0,\forall x>0,$

(2) $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=0,\forall x>0.$

16. 设 $f$ 在 $[0,2]$ 上二阶可微, 且 $|f(x)|⩽1$ , $|f^{\prime \prime }(x)|⩽1$ , 证明: $|f^{\prime }(x)|⩽2$ .

17. 证明: 若在例题 $\mathrm{7.2.5}$ 中的区间从 $(0,+\infty )$ 改为 $(-\infty ,+\infty )$ , 则可以得到更好的估计 $M_1⩽\sqrt{2M_0{M}_2}$ .

18. 设当 $x\in [0,a]$ 时有 $|f^{\prime \prime }(x)|⩽M$ 。又已知 $f$ 在 $(0,a)$ 中取到最大值。证明： $|f^{\prime }(0)|+|f^{\prime }(a)|⩽Ma$ .

第二组参考题

1. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可微, 在 $(a,b)$ 上二阶可微, 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(\xi )(b-a).$$

(注意: 这里没有假定 $f^{\prime }\in C[a,b]$ .)

2. 设 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上无限次可微, $f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n^2}{n^2+1}$ , 计算 $f^{(k)}(0),\forall k\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

3. 证明：方程 $x^{2n}-2x^{2n-1}+3x^{2n-2}-\cdots -2nx+2n+1=0$ 无实根.

4. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶可微, 且有界, 证明: 存在 $\xi$ , 使成立 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$ .

5. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)$ , 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 使成立

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(\xi )-f(a)}{\xi -a}.$$

6. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微, 又有 $c\in (a,b)$ 使成立 $f^{\prime }(c)=0$ , 证明: 存在 $\xi \in (a,b)$ , 满足

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(\xi )-f(a)}{b-a}.$$

7. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可微, $f(a)=0$ , $f(x)>0$ , $\forall x\in [a,b]$ , 证明: 对每个 $\alpha >0$ , 存在 $x_1,x_2\in (a,b)$ , 使成立

$$\frac{f^{\prime }(x_1)}{f(x_1)}=\alpha \frac{f^{\prime }(x_2)}{f(x_2)}.$$

8. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶连续可微, $|f(x)|⩽1$ , 且有 $[f(0){]}^2+[f^{\prime }(0){]}^2=4$ , 证明: 存在 $\xi$ , 使成立 $f(\xi )+f^{\prime \prime }(\xi )=0$ .

9. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶连续可微, 且对所有 $x,h\in \mathbf{R}$ 成立

$$f(x+h)-f(x)=h{f}^{\prime }\left(x+\frac{h}{2}\right),$$

证明： $f(x)=a{x}^2+bx+c.$

10. ($Schwarz$ 定理) 定义广义二阶导数

$$f^{[2]}(x)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^2},$$

若 $f\in C[a,b]$ , 同时 $f^{[2]}(x)$ 在 $(a,b)$ 上处处等于 $0$, 证明: $f$ 为线性函数.

11. ($Bellman-Gronwall$ (贝尔曼-格郎沃尔) 不等式的微分形式) 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微, $f(0)=0$ , 且有常数 $c>0$ , 使成立

$$\left|f^{\prime }(x)\right|⩽c|f(x)|,\forall x\in [a,+\infty ),$$

证明： $f(x)\equiv 0.$

12. 设 $f$ 在 $(-1,1)$ 上有各阶导数, 且对每个 $n⩾0$ 有 $|f^{(n)}(x)|⩽n!|x|$ , 证明: $f(x)\equiv 0$ .

13. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有任意阶导数, 且存在常数 $C⩾0$ , 使对所有 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 和 $x\in (-\infty ,+\infty )$ 成立不等式 $|f^{(n)}(x)|⩽C$ , 又有 $f(1/n)=0,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 成立, 证明: $f(x)\equiv 0$ .

14. 设 $f$ 在点 $x_0$ 有 $n$ 阶导数, 证明:

$$f^{(n)}(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h^n}\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f(x_0+kh).$$

15. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上 $n$ 阶可微，

$$M_k=\sup \left\{\left|f^{(k)}(x)\right|\mid x\in (-\infty ,+\infty )\right\},k=0,1,\dots ,n,$$

证明：若 $M_0,M_n$ 为有限数，则 $M_1,M_2,\cdots ,M_{n-1}$ 都是有限数.

16. 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上 $n$ 阶可微, 且存在有限极限

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\text{ 和 }\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{(n)}(x),$$

证明：对每个 $k=1,2,\cdots ,n,$ 成立 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{(k)}(x)=0.$

17. (1) 设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上二阶可微, $f^{\prime \prime }$ 有界, 且存在有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ , 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0$ .

(2) 设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 可微, 且存在有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ ,

($i$) 举例说明 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0$ 不一定成立;

(ii) 证明: 若 $f^{\prime }$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续, 则一定成立 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0$ .

18. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上任意阶可微, 且对每个正整数 $n$ 有 $f^{(n)}(x)⩾0$ 和 $|f(x)|⩽M$ , 证明: 对每个 $x\in (a,b),r>0,x+r\in (a,b)$ , 成立关于导数的估计式

$$f^{(n)}(x)⩽\frac{2Mn!}{r^n},\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

19. ($Bernstein$ (伯恩斯坦) 定理) 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上任意阶可微, 且对每个 $n$ 成立 $f^{(n)}(x)⩾0$ , 证明: 对每个 $x_0\in (a,b)$ 存在 $r>0$ , 使得当 $x\in [x_0-r,x_0+r]\subset (a,b)$ 时, 成立

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$$

第八章 微分学的应用

有了微分学中值定理和 $Taylor$ 定理后, 我们在函数研究方面就有了强有力的工具. 本章将分专题介绍这些工具是如何应用的. 虽然其中多数问题可能在过去已经遇到过, 但只有在学了微分学的知识之后, 我们才有条件来讨论解决这些问题的一般性方法.