$2.7$ 对于教学的建议

本节在第一小节中提出了学习本章材料的一些意见，在第二小节中举出了几个补充例题供参考，只指出有关的思路和问题，在第三小节给出了两组参考题。

$\mathrm{2.7.1}$ 学习要点

由于各种教材在材料安排上的不同，深度要求也各不相同，因此以下学习要点是根据本章所收入的内容而提出来的。如本章一开始所说，对数列极限的学习有相当部分将延续到下一章中。以下内容主要是为上习题课的青年教师提供服务，希望对其他读者也有一定的参考价值。

1. 数列极限的定义。由于数学分析以及许多后继的分析课程都建立在极限理论的基础上，因此理解和掌握数列极限的定义无疑是极其重要的。实践证明，学生对数列极限的 $\epsilon -N$ 定义往往很不容易理解，或是表面上理解了，但并不会用它来解决一些简单问题。实际上这是完全正常的现象。因为微积分的历史说明了极限概念的正确形成很不容易，有一个很长的发展过程（参见 [6]）。因此我们不要急于求成，对于极限的学习应当贯穿在整个数学分析的课程中。学生通过大课学习和适当的习题训练，特别是做一些带有理论性质的习题，就可以逐步理解极限的真正意义和用法。

2. 要学会用对偶法则正面叙述数列 $\{a_n\}$ 发散的定义，以及数列 $\{a_n\}$ 不收敛于给定的数 $a$ 的定义。注意两者不是一回事。数列 $\{a_n\}$ 不收敛于数 $a$ 时，它可能是发散数列，也可能是收敛数列，但极限不是 $a$ 。

3. 对于给定的数列 $\{a_n\}$ 和数 $a$ ，用数列收敛的定义验证 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ 。这里主要是学习“适当放大法”。不要轻视这个初步训练，因为一方面它提供了第一批重要的基本结果，另一方面这对于理解极限定义很有用处，也是学习进一步内容的基础。对适当放大过程中的简化技巧应当重视。

4. 对于常见的几个无穷大量的“级别”要有清楚的概念，特别是下列关系：

   $$\ln n\ll n^{\epsilon }\ll a^n\ll n!\ll n^n(a>1,\epsilon >0).$$

   这里关于无穷大量之间的记号 $\ll$ 的定义是：$a_n\ll b_n$ ，如果 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是无穷大量，且满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=0$ 。

5. $Cauchy$ 命题（即命题 $\mathrm{2.4.1}$）的结论和它的证明中所体现的方法应当作为本科生微积分学习中的基本要求。由于它与数列收敛的定义密切相关，与单调有界数列的收敛定理无关（也就是说与实数系的基本定理无关），因此在时间的安排上可以提前。如能学习 $Stolz$ 定理当然更好。

6. 关于常数 $e,\gamma$ 和迭代生成数列等材料应根据需要来决定如何使用。

$\mathrm{2.7.2}$ 补充例题

以下几个例题可用于习题课或复习。

第一个例题就是“保号性定理”。它很容易，可以检验学生是否掌握了极限的定义。同时它又很有用，值得将它作为课内练习题（或测验题）以加深印象（证明从略）。

例 2.7.1

设数列 $\{a_n\}$ 收敛于正数 $a>0$ 。证明：对每个常数 $c\in (0,a)$ ，存在 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，成立 $a_n>c$ 。又问：可否取 $c=0$ 和 $c=a$ ？

下面又是一题多解的典型，而且其中的结论和今后的好多个问题有联系。

例 2.7.2

证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0.$

这里只讲本题的几种不同解法的主要思路（还有很多其他方法可用）：

1. 用数学归纳法（或其他方法）可证明有 $\sqrt[n]{n!}⩾\sqrt{n},\forall n$ ，由此得到适当放大。

2. 用数学归纳法可证明有 $\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{3},\forall n$ ，由此得到适当放大。

3. 观察 $\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<\epsilon ⟺\frac{(1/\epsilon {)}^n}{n!}<1$ ，然后利用已知的结果 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{c^n}{n!}=0$ （ $c>0$ ）。

4. 在学了 $Cauchy$ 命题（命题 $\mathrm{2.4.1}$）之后，可以用不等式（ $n⩾2$ ）

   $$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{1\cdot \frac{1}{2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{n}}<\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{n}.$$

   这是一个思路很清晰的方法。

5. 从 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\mathrm{e}$ 可见， $\left\{\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\right\}$ 作为无穷小量和 $\left\{\frac{\mathrm{e}}{n}\right\}$ 是等价的。

在学习了单调数列的基础上可以将下一题作为课内练习题或在复习中使用。

例 2.7.3

设 $a_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛。

这里只指出以下几点：

1. 可以先试算数列的前几项，寻找规律性。

2. 可给学生以提示：分别研究这个数列的偶数项子列与奇数项子列的单调性。

3. 可以与闭区间套定理相联系。即使当时大课上尚未讲到这个定理，也可以在习题课上将它作为一个例子提前介绍其中的思想。

4. 可以介绍一个不容易发现的关系（$Catalan$（卡塔兰）恒等式）：

   $$\begin{array}{rl}{a}_{2n}& =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\\ & =\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)\\ & =\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)\\ & =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}.\end{array}$$

   这样就可以同例题 $\mathrm{2.3.4}$ 和 $\mathrm{2.5.4}$ 联系起来，甚至求出极限。

5. 还可以估计通项与数列极限的误差。

关于迭代生成数列，还可以考虑以下例题。

例 2.7.4

设 $\{x_n\}$ 对每个 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 满足 $(2-x_n)x_{n+1}=1$ 。证明：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=1.$

本题的特点是要对所有可能的初始值情况进行讨论（$x_1=2$ 是不可能的）。此题解法很多，这里只指出以下几种思路完全不同的方法，并希望展开讨论。

1. 在 §2.6 中介绍的几何方法在此完全有效。如果用这个方法的话，则第一步是作出函数 $f(x)=1/(2-x)$ 的图像。

2. 作代换 $y_n=1/(1-x_n)$ 后就很容易求出 $y_n$ 的表达式，然后令 $n\to \infty$ 求出 $\{y_n\}$ 的极限，再求出 $\{x_n\}$ 的极限。

3. 也完全可以直接从 $x_1$ 出发求出 $x_n$ 的表达式，然后令 $n\to \infty$ 求极限。

$\mathrm{2.7.3}$ 参考题

第一组参考题

1. 设 $\{a_{2k-1}\},\{a_{2k}\}$ 和 $\{a_{3k}\}$ 都收敛，证明：$\{a_n\}$ 收敛。

2. 设 $\{a_n\}$ 有界，且满足条件 $a_n⩽a_{n+2},a_n⩽a_{n+3},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明：$\{a_n\}$ 收敛。

3. 设 $\{a_n+a_{n+1}\}$ 和 $\{a_n+a_{n+2}\}$ 都收敛，证明：$\{a_n\}$ 收敛。

4. 设数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $0$ ，又存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=a.$ 证明：$a⩽1$ 。

5. 设 $a_n={\sum }_{k=1}^n\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\right),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，计算 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ 。

6. 用 $p(n)$ 表示能整除 $n$ 的素数的个数，证明：${\lim }_{n\to \infty }\frac{p(n)}{n}=0.$

7. 设 $a_0,a_1,\cdots ,a_p$ 是 $p+1$ 个给定的数，且满足条件 $a_0+a_1+\cdots +a_p=0$ 。求 ${\lim }_{n\to \infty }(a_0\sqrt{n}+a_1\sqrt{n+1}+\cdots +a_p\sqrt{n+p})$ 。

8. 证明：当 $0<k<1$ 时，${\lim }_{n\to \infty }[(1+n{)}^k-n^k]=0$ 。

9. (1) 设 $\{x_n\}$ 收敛。令 $y_n=n(x_n-x_{n-1}),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，问 $\{y_n\}$ 是否收敛？
   (2) 在上一小题中，若 $\{y_n\}$ 也收敛，证明：$\{y_n\}$ 收敛于 $0$。

10. (1) 设正数列 $\{a_n\}$ 满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n+1}}=0,$ 证明：$\{a_n\}$ 是正无穷大量。
    (2) 设正数列 $\{a_n\}$ 满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}=0,$ 证明：$\{a_n\}$ 无界。

11. 证明：${\left(\frac{n}{3}\right)}^n<n!<{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$ ，其中右边的不等式当 $n⩾6$ 时成立。

12. 证明：${\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n<n!<\mathrm{e}{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$ 。

13. （对于命题 $\mathrm{2.5.4}$ 的改进）证明：
    (1) $n⩾2$ 时成立

    $$1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}=3-\frac{1}{2!1\cdot 2}-\cdots -\frac{1}{n!(n-1)n};$$

    (2) $\mathrm{e}=3-{\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=0}^n\frac{1}{(k+2)!(k+1)(k+2)};$
    (3) 用 ${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{n!n}$ 计算 $e$ 要比不加上最后一项好得多。

14. 设 $a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明：$\{a_n\}$ 收敛。

15. 设已知存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$ ，证明：${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{n}=0$ 。

16. 证明：${\lim }_{n\to \infty }(n!{)}^{1/n^2}=1$ 。

17. 设对每个 $n$ 有 $x_n<1$ 和 $(1-x_n)x_{n+1}⩾\frac{1}{4}$ ，证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求其极限。

18. 设 $a_1=b,a_2=c,$ 在 $n⩾3$ 时，$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ ，证明 $\{a_n\}$ 收敛，并求其极限。

19. 设 $a,b,c$ 是三个给定的实数。令 $a_1=a,b_1=b,c_1=c$ ，并以递推公式定义

    $$a_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2},b_{n+1}=\frac{c_n+a_n}{2},c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

    求这三个数列的极限。

20. (1) 设 $a_1>b_1>0$ ，$a_{n+1}=\frac{2a_n{b}_n}{a_n+b_n}$ ，$b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}{b}_n}$ ，$n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明：$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 收敛于同一极限。
    (2) 在 $a_1=2\sqrt{3},b_1=3$ 时，证明上述极限等于单位圆的半周长 $\pi$ 。（这里可以利用极限 ${\lim }_{n\to \infty }n\sin \frac{\pi }{n}=\pi$ 。）

本题与例题 $\mathrm{2.3.5}$ 完全不同。实际上这就是计算圆周率的 $Archimedes$（阿基米德）-刘徽方法的迭代形式（参见 [4,60]）。在 (2) 中的两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 就是单位圆的外切和内接正多边形的半周长（请求出边数与 $n$ 的关系）。

第二组参考题

1. 设 $a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{n}}},n\in N_{+}$ ，证明：$\{a_n\}$ 收敛。

2. 证明：对每个正整数 $n$ ，成立不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n>{\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{\mathrm{e}}{2n}$ 。

3. 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }n\sin (2\pi n!\mathrm{e}).$

4. 记 $S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n},n\in N_{+}$ 。用 $K_n$ 表示使 $S_k⩾n$ 的最小下标，求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{K_{n+1}}{K_n}$ 。

5. 设 $x_n=\frac{1}{n^2}{\sum }_{k=0}^n\ln \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 。

6. 将二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right),\cdots ,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)$ 的算术平均值和几何平均值分别记为 $A_n$ 和 $G_n$ 。证明：(1) ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{A_n}=2$ ；(2) ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{e}$ 。

7. 设 $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k,n\in N_{+}$ ，数列 $\{A_n\}$ 收敛。又有一个单调增加的正数数列 $\{p_n\}$ ，且为正无穷大量。证明：${\lim }_{n\to \infty }\frac{p_1{a}_1+p_2{a}_2+\cdots +p_n{a}_n}{p_n}=0$ 。

8. 设 $\{a_n\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }(a_n{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2)=1$ ，证明：${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[3]{3n}{a}_n=1.$

9. 设数列 $\{u_n{\}}_{n⩾0}$ 对每个非负整数 $n$ 满足条件

   $$u_n=\underset{m\to \infty }{\lim }(u_{n+1}^2+u_{n+2}^2+\cdots +u_{n+m}^2),$$

   证明：若存在有限极限 ${\lim }_{n\to \infty }(u_1+u_2+\cdots +u_n)$ ，则只能是每个 $u_n=0$ 。

10. ($Toeplitz$ 定理) 设对 $n,k\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，有 $t_{nk}⩾0$ 。又有 ${\sum }_{k=1}^n{t}_{nk}=1$ ，${\lim }_{n\to \infty }{t}_{nk}=0$ 。若已知 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ ，定义 $x_n={\sum }_{k=1}^n{t}_{nk}{a}_k$ ，$n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。证明：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 。
    （几种变型：(1) 将条件 ${\sum }_{k=1}^n{t}_{nk}=1$ 改为 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n{t}_{nk}=1$ ；(2) 不要求 $t_{nk}$ 非负，将 (1) 中的条件改为存在 $M>0$，使得对每个 $n$，成立不等式 $|t_{n1}|+\cdots +|t_{nn}|⩽M$ 。则结论对 $a=0$ 仍成立。）

11. 用 $Toeplitz$ 定理导出 $Stolz$ 定理。

12. 设 $0<\lambda <1,\{a_n\}$ 收敛于 $a$ 。证明：

    $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n+\lambda a_{n-1}+{\lambda }^2{a}_{n-2}+\cdots +{\lambda }^n{a}_0\right)=\frac{a}{1-\lambda }.$$

13. 设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0,$ 并且存在常数 $K$，使得 $|y_1|+|y_2|+\cdots +|y_n|⩽K$ 对每个 $n$ 成立。令 $z_n=x_1{y}_n+x_2{y}_{n-1}+\cdots +x_n{y}_1,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明：${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=0.$ （从本题的条件已可推出 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=0$ 。但是可以举出例子说明仅仅有条件 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{y}_n=0$ 不能得到 ${\lim }_{n\to \infty }(x_1{y}_n+x_2{y}_{n-1}+\cdots +x_n{y}_1)=0.$ ）

14. 设 $y_n=x_n+2x_{n+1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。证明：若 $\{y_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 也收敛。

15. 由初始值 $a_0$ 和 $a_n=2^{n-1}-3a_{n-1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，确定数列 $\{a_n\}$ 。求 $a_0$ 的所有可能值，使得数列 $\{a_n\}$ 是严格单调增加的。

16. 证明数列 $\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\cdots$ 收敛，并求其极限。

17. 令 $y_0⩾2,y_n=y_{n-1}^2-2,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。设 $S_n=\frac{1}{y_0}+\frac{1}{y_0{y}_1}+\cdots +\frac{1}{y_0{y}_1\cdots y_n}$ 。证明：${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{y_0-\sqrt{y_0^2-4}}{2}$ 。

18. 设 $x_1=c,x_{n+1}=a^{x_n}(a>0,a\ne 1),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。根据下面提供的函数 $f(x)=a^x$ 和 $f(f(x))$ 的单调性和不动点的知识，讨论数列 $\{x_n\}$ 的敛散性。
    (1) 在 $a>1$ 时函数 $f(x)=a^x$ 单调增加。
    ($i$) 如 $a>{\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，则 $f$ 无不动点。证明：不论 $c$ 如何，数列 $\{x_n\}$ 总是单调增加的正无穷大量；
    (ii) 在 $a={\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ 时 $f$ 恰有一个不动点。证明：当 $c⩽\mathrm{e}$ 时，数列 $\{x_n\}$ 单调增加收敛于 $\mathbf{e}$ ，而当 $c>\mathrm{e}$ 时，$\{x_n\}$ 是单调增加的正无穷大量；
    (iii) 如 $1<a<{\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，则 $f$ 有两个不动点。根据 $x_1=c$ 的大小，讨论数列 $\{x_n\}$ 的敛散性；
    (2) 在 $0<a<1$ 时函数 $f(x)=a^x$ 单调减少，存在唯一不动点。
    ($i$) 如 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{e}}⩽a<1$ ，则复合函数 $f(f(x))=a^{a^x}$ 只有一个不动点。证明：数列 $\{x_n\}$ 收敛，它的子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 是具有不同单调性的单调数列；
    (ii) 如 $0<a<{\mathrm{e}}^{-\mathrm{e}}$ ，则复合函数 $f(f(x))=a^{a^x}$ 有三个不动点。证明：除非 $x_1=c$ 恰好是 $f$ 的不动点，否则子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 分别单调收敛于不同的极限，数列 $\{x_n\}$ 发散。

这是关于迭代生成数列的一道名题，从 $Euler$ 开始就有许多人对它作过研究（不限于在实数范围内），在《美国数学月刊》（1981）第 $88$ 卷 $235—252$ 页有详细介绍，并附有丰富的文献。但是从混沌学的角度来看，至少在实数范围内进行讨论时，问题在本质上是简单的，只不过依赖于对函数 $f(x)=a^x$ 和 $f(f(x))=a^{a^x}$ 的单调性和不动点个数的讨论。这些问题在学了微分学后就不难解决（见第八章第二组参考题 $17,18$）。此外，对本题的讨论也可以和计算机实验相配合，其中出现一次倍周期分岔。

19. 设参数 $b>0$ ，$x_1=\frac{1}{2}$ ，$x_{n+1}=b{x}_n(1-x_n),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。证明以下结论（对于情况 $b>4$ 的讨论即是 $\mathrm{2.6.3}$ 小节中的题 $3$）：
    (1) 当 $0<b⩽1$ 时，$\{x_n\}$ 单调减少收敛于 $0$；
    (2) 当 $1<b⩽2$ 时，$\{x_n\}$ 单调减少收敛于 $1-\frac{1}{b}$；
    (3) 当 $2<b⩽3$ 时，子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 具有相反的单调性，并收敛于同一极限 $1-\frac{1}{b}$；
    (4) 当 $3<b⩽1+\sqrt{5}$ 时，子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 具有相反的单调性，但收敛于不同极限。

这就是 $20$ 世纪 $70$ 年代中期以来在混沌学中研究得最多的范例之一。映射 $f(x)=bx(1-x)$ 的名称有 $logistic$ 映射、抛物线映射等。用这个映射通过迭代可以得到非常丰富而复杂的结果（例如见 [39, 21, 38]），对其中的许多问题的研究一直延续到现在。虽然关于它的全面介绍在本书中是不可能的，但以上四个小题就是进入混沌的前奏曲，它们完全是初等的。例如，用时间离散的动力系统的术语（见 $\mathrm{5.6.1}$ 小节）来说，前三种情况中从 $x_1=1/2$ 出发的轨道（即数列 $\{x_n\}$ ）收敛到不动点上。而最后一种情况就是说从 $x_1=1/2$ 出发的轨道收敛到一个周期为 $2$ 的周期轨上。特别当 $b=1+\sqrt{5}$ 时，有

$$x_{2k-1}=\frac{1}{2},x_{2k}=\frac{1+\sqrt{5}}{4},k\in {\mathbf{N}}_{+},$$

也就是说这条轨道本身就是一个周期 $2$ 轨道。在 $b>1+\sqrt{5}$ 之后的情况请参考前述文献。在本书后面的 §5.6 将对混沌作介绍。

20. 给定 $x_1,\cdots ,x_n$ ，令 $x_i^{(1)}=\frac{x_i+x_{i+1}}{2},i=1,\cdots ,n$ ，其中 $x_{n+1}=x_i$ 。归纳地定义 $$x_i^{(k)}=\frac{x_i^{(k-1)}+x_{i+1}^{(k-1)}}{2},i=1,\dots ,n,$$ 其中 $x_{n+1}^{(k-1)}=x_1^{(k-1)},k=2,3,\cdots$ 。证明：对于 $i=1,\cdots ,n$ 均成立 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_i^{(k)}=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}.$$

将本题与 §2.6 的迭代生成数列作比较，可见本题是迭代生成长度为 $n$ 的数组序列。由于这里的迭代是线性齐次的，因此用线性代数工具非常自然。见本书的参考题提示关于本题的第一种证法。