§24.4 连续向量场的旋转度

连续向量场的旋转度可以通过曲线积分来定义， 它是多元微积分应用的一个重要例子。 本节可作为习题课的补充材料。 以 ${\mathbf{R}}^2$ 为例， 设 $F:{\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^2$ 是连续映射， 我们也称 $F$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 上的一个连续向量场。 即对每一点 $(x,y)\in {\mathbf{R}}^2$ ， 确定一个随 $(x,y)$ 连续变化的向量 $F(x,y)$ 。

设 $\mathcal{L}\subset {\mathbf{R}}^2$ 是逐段光滑的定向封闭曲线。 如果 $F$ 在 $\mathcal{L}$ 上恒不取零向量， 则称 $F$ 在 $\mathcal{L}$ 上非退化。 定义 $T(x,y)=\frac{F(x,y)}{|F(x,y)|}$ ， 则 $T$ 把 $\mathcal{L}$ 映射到单位圆周 $S$ 。 当点 $(x,y)$ 在 $\mathcal{L}$ 上逆时针方向绕 $\mathcal{L}$ 一周时， 向量 $T(x,y)$ 在 $S$ 上绕整数圈。 所绕圈数的代数和 (逆时针方向为正) 称为向量场 $F$ 沿 $\mathcal{L}$ 的旋转度， 记为 $\gamma (F,\mathcal{L})$ 。 当 $F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ 是一阶连续可微向量场时， 有

$$\gamma (\mathbf{F},\mathcal{L})=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{\mathcal{L}}\mathrm{d}\arctan \frac{v}{u}.\text{\hspace{1em}(24.16)}$$

若 $D\subset R^2$ 是单连通或多连通闭区域， $\partial D$ 由有限条逐段光滑的封闭曲线组成， 即

$$\partial D=\bigcup _{i=1}\partial D_i,$$

规定 $\partial D$ 上的定向按其与内法线成正直角的方向为正定向。 设 $F(x,y)$ 在 $\partial D$ 上非退化， 定义 $\gamma (F,\partial D)$ 是 $F(x,y)$ 沿 $D$ 的所有边界的旋转度的总和， 即

$$\gamma (\mathbf{F},\partial D)=\sum _{i=1}^n\gamma (\mathbf{F},\partial D_i).$$

以下我们都假定区域 $D$ 的边界是逐段光滑的封闭曲线。

连续向量场的旋转度有下列几条性质。

性质1

若两个闭连通区域 $D_1$ 与 $D_2$ 的内部不相交， $D=D_1\cup D_2$ ，则

$$\gamma (\mathbf{F},\partial D)=\gamma (\mathbf{F},\partial D_1)+\gamma (\mathbf{F},\partial D_2).$$

性质2

若在有界闭连通区域 $D$ 上 $F(x,y)$ 非退化，则 $\gamma (F,\partial D)=0$.

证明

先设 $D$ 是单连通区域， $\partial D=L$ 。

当 $F(x,y)$ 是光滑向量场，即 $u(x,y),v(x,y)\in C^1$ 时，有

$$\begin{array}{rl}\gamma (\mathbf{F},\mathcal{L})& =\frac{1}{2\pi }{\oint }_{\mathcal{L}}\mathrm{d}\arctan \frac{v}{u}=\frac{1}{2\pi }{\oint }_S\frac{u\mathrm{d}v-v\mathrm{d}u}{u^2+v^2}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\iint }_U\left[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{u}{u^2+v^2}\right)+\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{v}{u^2+v^2}\right)\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & =\frac{1}{2\pi }{\iint }_U\left[\frac{(u^2+v^2)-2u^2+(u^2+v^2)-2v^2}{(u^2+v^2{)}^2}\right]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & =0,\end{array}$$

其中 $S$ 是 $L$ 在 $uOv$ 坐标面上的映像， $U$ 是由 $S$ 所包围的区域。

当 $F(x,y)$ 是连续向量场时， 我们要用到 $n$ 维空间中的 $Weierstrass$ 逼近定理 (参见命题 $\mathrm{16.3.1}$): $R^n$ 中紧集上的连续函数可以用多项式函数任意逼近。

故 $\partial D$ 上的每一连续非退化向量场可以由光滑非退化向量场一致逼近到任意精确度。 另外， 由于旋转度是一个整数， 于是充分接近连续向量场的光滑向量场与这连续向量场都具有同样的旋转度。 这样性质2既然对光滑向量场成立， 对连续向量场自然也成立。

当 $D$ 是多连通区域时， 可把 $D$ 分割成若干个单连通区域来证明。

性质3

设 $D\subset R^2$ 是有界闭区域， 则 $\partial D$ 上的同伦向量场有相同的旋转度。

证明

因为 $\gamma (G(x,y,\lambda ),\partial D)$ 是一个整数，且对 $\lambda$ 连续，所以当 $\lambda$ 变化时它只能是一个常数，即有

$$\begin{array}{rl}\gamma (F_0(x,y),\partial D)& =\gamma (G(x,y,0),\partial D)=\gamma (G(x,y,1),\partial D)\\ & =\gamma (F_1(x,y),\partial D).\end{array}$$

下面我们举出一些向量场旋转度应用的例子。 我们先用旋转度证明如下著名的 $Brouwer$ 不动点定理在 $R^2$ 中的形式：

例24.4.1

设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的一个有界闭凸区域， 其边界 $\partial D$ 是一条光滑闭曲线。 $F$ 是自 $D$ 到 $D$ 的连续映射， 则在 $D$ 内必存在 $F$ 的一个不动点， 即 $\exists \xi \in D$ ， 使 $F(\xi )=\xi$ 。

证明

由于 $\partial D$ 是一条光滑闭曲线， 我们知 $\partial D$ 上的沿逆时针方向的单位切向量组成 $\partial D$ 上的一个光滑的非退化向量场 $\tau (x,y)$ ， 且当 $(x,y)\in \partial D$ 逆时针转一圈时， $\tau (x,y)$ 也转了一圈， 即 $\gamma (\tau ,\partial D)=1$ 。 同理， 设 $n(x,y)$ 是 $\partial D$ 上的内法向量场， 则 $\gamma (n,\partial D)=1$ 。 又 $F$ 是自闭凸区域 $D$ 映到 $D$ 内的映射， 若 $F$ 没有不动点， 则以 $(x,y)\in \partial D$ 为起点， $F(x,y)\in D$ 为终点的有向线段指向切线的内侧， 即与内法向的夹角不大于 $\frac{\pi }{2}$ 。 于是有

$$[\mathbf{F}(x,y)-(x,y)]\cdot \mathbf{n}(x,y)⩾0,\forall (x,y)\in \partial D.$$

设 $\mathbf{G}(x,y,\lambda )=\lambda [\mathbf{F}(x,y)-(x,y)]+(1-\lambda )\mathbf{n}(x,y)$ . 当 $\lambda =0,1$ 时， $\mathbf{G}(x,y,\lambda )$ 在 $\partial D$ 上非退化。 $\lambda \in (0,1)$ 时

$$\mathbf{n}(x,y)\cdot \mathbf{G}(x,y,\lambda )⩾(1-\lambda )|\mathbf{n}(x,y){|}^2>0,\forall (x,y)\in \partial D,$$

所以 $G(x,y,\lambda )$ 也在 $\partial D$ 上非退化。 故 $F(x,y)-(x,y)$ 与 $n(x,y)$ 是在 $\partial D$ 上的同伦向量场，

$$\gamma (\mathbf{F}-\mathrm{id},\partial D)=\gamma (\mathbf{n},\partial D)=1.$$

由性质2可知 $\mathbf{F}(x,y)-(x,y)$ 必定是 $D$ 上的退化向量场。 即 $\exists \xi \in D,$ 使 $F(\xi )-\xi =0,$ 故 $\xi$ 是 $F$ 的不动点。 □

一般形式的 $Brouwer$ 不动点定理为：

$R^n$ 中的非空紧凸子集 $B$ 上的连续自映射 $F$ 必有不动点。 即存在 $\xi \in B$ ， 使 $F(\xi )=\xi$ 。

其证明要用到一些拓扑知识， 可参考 $[48,33]$。

第二个例子是用旋转度证明代数基本定理。

例24.4.2

（代数基本定理）复数 $z$ 的 $n$ 次多项式 $P_n(z)$ 在复域上至少有一个根。

证明

设 $z=x+\mathrm{i}y,x,y\in \mathbf{R}$ 。 $P_n(z)=R(P_n(z))+\mathrm{i}I(P_n(z))$ ， 其中 $R(\cdot )$ 与 $I(\cdot )$ 分别表示复数的实部和虚部。 构造一个映射

$$\mathbf{F}:(x,y)\to (R(P_n(x+\mathrm{i}y)),I(P_n(x+\mathrm{i}y))).$$

$F$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 上的 $n$ 次多项式映射。 $P_n(z)$ 在复域上有根的问题归结为 $F$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上是否是退化向量场。

如果 $F$ 是非退化向量场， 则由性质2， $\gamma (F,S_r)=0$ ，其中 $S_r$ 表示以 $r$ 为半径的单位圆周。另一方面， 我们从其他性质计算 $\gamma (F,S_r)$ 。

我们先计算 $P_n(z)=z^n$ 的情况。 设对应的多项式映射为 $F_0$ ，则

$$\begin{array}{rl}\gamma ({\mathbf{F}}_0,S_r)& =\frac{1}{2\pi }{\oint }_{S_r}\frac{R\mathrm{d}I-I\mathrm{d}R}{R^2+I^2}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{r^2\cos nt(n\cos nt)-r^2\sin nt(-n\sin nt)}{r^2}\mathrm{d}t=n.\end{array}$$

对于一般的 $n$ 次多项式 $P_n(z)$ ，不妨设其首系数为 $1$，作复多项式的形变

$$G(z,\lambda )=\lambda z^n+(1-\lambda )P_n(z).$$

可知

$${\overline{z}}^n\cdot G(z,\lambda )=\lambda |z{|}^{2n}+(1-\lambda )|z{|}^{2n}+Q(z).$$

其中 $Q(z)$ 满足 $\frac{|Q(z)|}{|z{|}^{2n}}\to 0(|z|\to +\infty )$ 。 因此

$${\overline{z}}^n\cdot G(z,\lambda )=|z{|}^{2n}+o(|z{|}^{2n})(|z|\to +\infty ).$$

所以当 $r$ 足够大时， $G(z,\lambda )$ 在复平面的单位圆周 $S_r$ 上取不到零点。 这说明 $P_n(z)$ 对应的 $n$ 次多项式映射 $F$ 与 $F_0$ 在 $S_r$ 上同伦， $\gamma (F,S_r)=n$ 。 这就证明 $F$ 必定是 ${\mathbf{R}}^2$ 上的退化向量场。 也证明了 $P_n(z)$ 在复域中至少有一根。

最后我们用旋转度解决1995年匈牙利的 $Mikl\acute{o}sSchweitzer$ (施魏策尔) 数学竞赛中的一个积分问题。 这个积分问题在几何学和博弈论中有有趣的背景。 我们的材料取自《美国数学月刊》(1999) 第106卷227-240页。

例24.4.3

设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的两个可积函数，满足

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x=1.$$

证明：存在 $[0,1]$ 中的某个闭区间 $[a,b]$ ，使

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$$

证明

我们定义

$$D=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 0⩽x⩽y⩽1\},$$

并令

$$\mathbf{G}(x,y)=\left({\int }_x^{y}f(s)\mathrm{d}s-\frac{1}{2},{\int }_x^{y}g(s)\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\right).$$

由 $f,g$ 的可积性， 可知 $G$ 是闭的单连通区域 $D$ 上的连续向量场。 如果 $G(x,y)$ 在 $D$ 的某一点 $(a,b)$ 上取零向量， 就证明了我们所要的结论。 否则， 可以考虑 $\gamma (G,\partial D)$ 。 $\partial D$ 由三条直线段组成。 在对角线 $x=y$ 上取常值， 故旋转角度为0。 在水平边界和垂直边界上， 注意到

$$\mathbf{G}(0,x)+\mathbf{G}(x,1)=(0,0),0⩽x⩽1.$$

因而

$$\mathbf{G}(x,1)=-\mathbf{G}(0,x),0⩽x⩽1.$$

因此水平边界的任一点的向量恰好与垂直边界上对应点的向量反向。 这说明 $G$ 沿水平边界的旋转角度与其沿垂直边界的旋转角度一样。 而 $G(0,0)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ， $G(0,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 。 故 $G$ 沿垂直边界的旋转角度为 $2k\pi +\pi$ ， $k$ 为整数。 所以有

$$\gamma (G,\partial D)=\frac{0+2(2k\pi +\pi )}{2\pi }=2k+1\ne 0.$$

由旋转度的性质2知， $G$ 必在 $D$ 上某点 $(a,b)$ 处取零向量， 也即

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

这个问题表面上看可以利用积分值关于积分区间端点的介值性质来解决，即： $\exists a_0$ ，使 $\forall a\in (0,a_0)$ ，有 $a$ 的连续函数值 $b(a)$ ，使 ${\int }_a^{b(a)}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$ 。实际上不可行，这是因为上述 $b(a)$ 并不一定连续。比如我们考虑如下的 $f(x)$ ，它的原函数 $F(x)={\int }_0^{x}f(s)\mathrm{d}s$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，满足：当 $0<x<1$ 时， $0<F(x)<1$ ； $F(0)=0$ ；在 $[0,\frac{1}{2}]$ 上严格单调增加并在 $x=\frac{1}{2}$ 时取到惟一极大值 $\frac{3}{4}$ ，然后严格单调减少至 $x=\frac{2}{3}$ 时取到惟一极小值 $\frac{2}{3}$ ，然后严格单调增加至 $F(1)=1$ 。考察使 ${\int }_a^{b(a)}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$ 的点 $a$ 与 $b(a)$ 。注意到此时必有 $F(b(a))-F(a)=\frac{1}{2}$ 。设 $F(a_0)=\frac{1}{2}$ ，则 $0<a_0<\frac{1}{2}$ ，因而 $a\in (0,a_0)$ 。对应地有 $b(a_0)=1$ 。当 $a$ 自 $a_0$ 连续地移向 $0$ 时， $b(a)$ 自 $1$ 连续地减少。至 $F(a_1)=\frac{1}{6}$ 时， $b(a_1)=\frac{2}{3}$ 。另一方面 $F(a)<\frac{1}{6}$ 时， $F(b(a))<\frac{2}{3}$ ，故必有 $b(a)<\frac{1}{2}$ 。因此 $a_1$ 不是 $b(a)$ 的连续点。