§24.1 第一型曲线积分

## 24.1.1 第一型曲线积分的定义与计算

$R^{n}$ 中以点 $A$ 为始点，点 $B$ 为终点的连续不自交的曲线段 $\Gamma = AB$ 称为 $R^{n}$ 中的一条简单曲线。如果 $A = B$，则称 $\Gamma$ 为封闭曲线或闭曲线，否则为不封闭曲线。在 $\Gamma$ 上从 $A$ 到 $B$ 依次取有限个点 $A = A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{k} = B$ ，它们确定了 $\Gamma$ 的一个分割 $T$。依次联结 $A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{k}$ 的线段组成一条折线，称为 $\Gamma$ 的内接折线，其长度记为 $l(\Gamma, T)$ 。如果

$$
\sup _ {T} \{l (\Gamma , T) \} <   + \infty ,
$$

则称 $\Gamma$ 为可求长曲线, 而且 $l(\Gamma) = \sup_{T} \{l(\Gamma, T)\}$ 称为 $\Gamma$ 的弧长.

下面定义在简单可求长曲线上的第一型曲线积分. 设函数 $f$ 定义在 $\Gamma$ 上, 对于 $\Gamma$ 的任一分割 $T: A = A_{0}, A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} = B$ , 记 $\Delta S_{i}$ 为从 $A_{i-1}$ 到 $A_{i}$ 的曲线段 $\widetilde{A_{i-1}A_{i}}$ 的弧长, $d(T) = \max_{1 \leq i \leq k} \{\Delta S_{i}\}$ . 任取 $\xi_{i} \in \widetilde{A_{i-1}A_{i}}$ , 如果

$$
\lim _ {d (T) \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {k} f (\boldsymbol {\xi} _ {i}) \Delta S _ {i}
$$

收敛, 且极限与 $\Gamma$ 的具体分法无关, 则称函数 $f$ 在 $\Gamma$ 上的第一型 (或第一类) 曲线积分存在, 其极限值 $I$ 称为 $f$ 在 $\Gamma$ 上的第一型曲线积分. 记为

$$
I = \int_ {\Gamma} f (\boldsymbol {x}) \mathrm{d} s = \int_ {\widetilde {A B}} f (\boldsymbol {x}) \mathrm{d} s.
$$

第一型曲线积分也称为对弧长的积分, 它与曲线的方向选取无关. 对于同一条简单可求长曲线 $\Gamma = \widetilde{AB}$ , 也可选定 $B$ 为始点, $A$ 为终点, 记为 $\Gamma = \widetilde{BA}$ , 则

$$
\int_ {\widetilde {A B}} f (\boldsymbol {x}) \mathrm{d} s = \int_ {\widetilde {B A}} f (\boldsymbol {x}) \mathrm{d} s.
$$

若 $\Gamma$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中简单可求长曲线, $f$ 在 $\Gamma$ 上连续, 则 $f$ 在 $\Gamma$ 上的第一型曲线积分存在.

若 $\Gamma$ 是 $R^{n}$ 中逐段光滑的简单曲线, 且有参数表示

$$
\Gamma : \boldsymbol {x} = \boldsymbol {x} (t) \in \mathbf {R} ^ {n}, \quad a \leqslant t \leqslant b,
$$

则弧长微分

$$
\mathrm{d} s = | \pmb {x} ^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t = \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} ^ {\prime} (t)) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}} \mathrm{d} t.
$$

从而

$$
\int_ {\Gamma} f (\boldsymbol {x}) \mathrm{d} s = \int_ {a} ^ {b} f (\boldsymbol {x} (t)) | \boldsymbol {x} ^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t.\tag{24.1}
$$

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