§4.5 对于教学的建议

4.5.1 学习要点

1. 学习函数极限的基本概念和计算极限的方法是这一章中的主要内容。它们为下面学习微分学中的导数计算做好了准备。这里含有许多重要的基本计算技巧。其中除了与过去相似的适当放大法、夹逼方法、单调函数的单侧极限存在定理和$Cauchy$收敛准则外，还有许多新的工具。今后虽然会学到以微分学为基础的许多更有力的方法，但是本章有许多基本技巧并不能为将来的工具所覆盖或代替。在下面的参考题中有许多就是如此。

2. 对习题课的建议 对于学过此章的人来说, 本章一开始举出的多种不同类型的极限 (或广义极限) 似乎很平常, 但对于多数初学者来说仍然会有很大的困难. 举一反三已是不易, 更何况这里有二十几种极限. 细心观察一些优秀教材, 可以看到在安排上有很好的考虑. 例如, 一开始应当集中力量学习基本类型的函数极限 (即本章第一小节), 在有了基础后再涉及其余, 加以推广. 又往往将广义极限另列一节单独处理. 这样比较符合人的认识规律.

本章习题课重点为: 函数极限的定义; $Heine$ 归结原理; 无穷大 (小) 量的比较. 估计需安排两次, 可在第一次围绕概念, 第二次围绕 $Heine$ 归结原理和求极限技巧 (如等价量的替换、两个重要极限等) 来讲解.

4.5.2 参考题

1. 若函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上单调, 且有一个数列 $\{x_n\}$ 使得 $x_n\to a^{+}$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ . 请按照单侧极限的定义直接证明: ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=A$ .

2. 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上严格单调增加, 且有一个在区间 $[a,b]$ 内的数列 $\{x_n\}$ 使得 $f(x_n)\to f(a)$ . 证明: ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ .

3. 在 $Heine$ 归结原理 (命题4.2.3) 的条件中,

(1) 若将“每个数列 $\{x_n\}$ ”改为“每个单调数列 $\{x_n\}$ ”，其他要求不变，则结论是否仍然成立？

(2) 若对“每个数列 $\{x_n\}$ ”增加要求 $|x_{n+1}-a|<|x_n-a|,n\in N_{+}$ ，其他不变，则又如何？

又若在它的推论 (命题4.2.4) 中作这些改动, 结论是否仍然成立?

4. 证明 $\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}$ 当 $x\to +\infty$ 时极限为0, 并分析其阶数.

5. 求 ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(\frac{1}{x}\cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)}^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a>0,a\ne 1$ .

6. (1) 设函数 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots +a_n\sin nx$ ，且对所有 $x$ 成立 $|f(x)|⩽|\sin x|$ . 证明: $|a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n|⩽1;$

(2) 设函数 $f(x)=a_1\ln (1+x)+a_2\ln (1+2x)+\cdots +a_n\ln (1+nx)$ ，且对于所有 $x>0$ 成立 $|f(x)|⩽|x|$ 。试陈述与 (1) 相应的不等式并加以证明。

7. 对一般的正整数 $n$ 计算极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin nx-n\sin x}{x^3}.$

8. 证明 $Dirichlet$ 函数 (4.1.5 小节的题 11) 有以下解析表达式:

$$D(x)=\underset{m\to \infty }{\lim }\{\underset{n\to \infty }{\lim }[\cos (\pi m!x){]}^{2n}\}.$$

9. (1) 设函数 $f$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上满足条件 $f(2x)=f(x)$ ，且存在有限极限 $f(+\infty )$ . 证明： $f$ 是常值函数.

(2) 设存在 $a>0,a\ne 1$ , 使得函数 $f$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上满足要求 $f(ax)=f(x)$ . 证明: 若存在有限极限 $f(+\infty )$ 或 $f(0^{+})$ , 则 $f$ 为常值函数.

10. 设函数 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义, 在 $x=0$ 邻近有界, 又有 $a>1,b>1$ , 使得对每个 $x\in \mathbf{R}$ 成立 $f(ax)=bf(x)$ . 证明: ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$ .

11. 设函数 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调增加, 且有 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(2x)}{f(x)}=1$ . 证明: 对每个 $a>0$ , 成立 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(ax)}{f(x)}=1$ .

12. 设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上定义, 且在其中的每个有界子区间上有界. 证明: 等式

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x+1)-f(x)]$$

在右边为有限极限或 $\pm \infty$ 时成立.

13. 设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上定义, 且在其中的每个有界子区间上有界. 证明: 等式

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^{n+1}}=\frac{1}{n+1}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x+1)-f(x)}{x^n}$$

在右边为有限极限或 $\pm \infty$ 时成立.

14. 设 $T$ 为正常数, 若函数 $f,g$ 在 $[a,+\infty )$ 上满足条件:

(1) $g(x+T)>g(x),x\in [a,+\infty );$

(2) ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty ,f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 的每个有界子区间上有界；

(3) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x+T)-f(x)}{g(x+T)-g(x)}=l,$

则 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=l.$

15. 设成立 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0,f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)=o(x)(x\to 0)$ . 证明： $f(x)=o(x)(x\to 0)$ . (本题比4.4.4小节的题2要难一点.)

第五章 连续函数

连续函数类是数学分析中的主要函数类之一. 有关连续函数的一系列重要结论是支持数学分析整个体系的支柱. 本章的主要内容是介绍连续函数的基本定理. 由于这些性质都和连续函数的整个定义域密切联系, 与局部有界性、局部保号性等局部性质有根本的不同, 因此称为连续函数的整体性质, 或非局部性质.

在 §5.1 的基本概念之后, 将基本定理分成三组, 逐节介绍它们的方法和应用. §5.5 为单调函数. 在 §5.6 中介绍连续函数在混沌中的应用, 这是 §2.6 (迭代生成数列) 的现代发展. 最后一节为学习要点和两组参考题.