§2.8 关于数列极限的一组习题课教案

在本节介绍一组使用过的具体教案供参考，教学对象为基地班学生，教材为 $[42]$ 的第二章（数列极限）。根据大课的进度关于数列极限的习题课共安排 $4$ 次，每次为 $3$ 课时。我们从第一次习题课就开始给同学进行有关数学命题的讨论与表述的训练，因为这很重要，在大课中没有时间讲得太多，但又往往为一些中学教学所忽视。第一次的习题课中已包含确界是因为教材 $[42]$ 的安排如此。我们认为每次习题课都要安排一定的时间讲评批改过的课外习题。关于习题课教案的组织在本书的第一章开头就讲了，使用本书的老师应当根据学生和教材等情况作具体把握。

##  2.8.1  第一次习题课

训练重点为：极限的 $\varepsilon-N$ 定义，收敛数列的性质（I），命题的证明与讨论。

##  一、数列极限的 $\varepsilon-N$  定义

$1.$  $\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$  的定义。

解析描述： $\forall\varepsilon>0,\exists N,$  使 $\forall n\geqslant N,$  有 $|x_{n}-a|<\varepsilon.$

直观描述（用数轴画图）。

几何意义： $\forall \varepsilon > 0$ ，在邻域 $O_{\varepsilon}(a)$ 之外最多只有 $\{x_n\}$ 中的有限项。

$2.$  对定义的讨论：

（$1$ ） $\varepsilon$  是一把可任意小的尺子，用于刻画数列的各项接近 $a$  的情况。因而 “ $\forall \varepsilon > 0$ ” 不可改为 “ $\exists \varepsilon > 0$ ”； “ $\forall n \geqslant N$ ” 不可改为 “ $\exists n \geqslant N$ ”。

（$2$ ）根据 $\varepsilon$  而取的 $N$  决不会是唯一的选择。我们有时写 $N = N(\varepsilon)$ ，只是表示 $N$  的选择是与 $\varepsilon$  有关的，但并不表示非取满足定义中相关不等式的最小 $n$  为 $N$ 。 $N = N(\varepsilon)$  不是函数关系。

（$3$ ）标准定义中 “ $|x_{n}-a|<\varepsilon$ ” 可改为 “ $|x_{n}-a|<k\varepsilon$ ，其中 $k$  是与 $\varepsilon$  无关的正常数”，也可改为 “ $\forall m\in N_{+}$ ， $\exists N$  使 $\forall n\geqslant N$ ，有 $|x_{n}-a|<1/m$ ”。

##  $3.$  适当放大法的一些实例。

注意放大不等式的方向，即在 $|x_{n} - a| < f(n) < \varepsilon$  中由 $f(n) < \varepsilon$  解出合乎要求的 $N$ 。

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