§5.5 单调函数

5.5.1 基本性质

单调函数是数学分析中除连续函数类之外的又一类重要函数。本小节列出关于单调函数的主要结果。

首先, 从单调函数的单侧极限存在定理 (命题 $\mathrm{4.2.2}$ ) 可以知道:

命题 5.5.1

单调函数的间断点是跳跃点, 即在该处有两个不等的单侧极限.

证明

不妨只讨论 $f$ 是 $(a,b)$ 上的单调增加函数的情况. 设 $x_0\in (a,b)$ 是 $f$ 的间断点, 任取 $x_0$ 两侧的点 $x,x^{\prime }(x<x_0<x^{\prime })$ , 则成立

$$f(x)⩽f(x_0)⩽f(x^{\prime }).\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

令 $x\to x_0^{-}$ , $x^{\prime }\to x_0^{+}$ , 应用单调函数的单侧极限存在定理, 得到

$$f(x_0^{-})⩽f(x_0)⩽f(x_0^{+}),$$

并且其中的两个单侧极限都是有限数. 因此 $x_0$ 是第一类间断点.

由于 $x_0$ 是间断点, 因此在上面的两个不等号 $⩽$ 不可能同时成为等号. 这样就只能有严格的不等式

$$f(x_0^{-})<f(x_0^{+}),$$

因此 $x_0$ 是第一类间断点中的跳跃点.

命题 5.5.2

单调函数的间断点至多为可列个.

证明

不妨只讨论 $f$ 是开区间 $(a,b)$ 上的单调增加函数, 且有无限多个间断点.

若 $x_0\in (a,b)$ 是 $f$ 的一个间断点，则有 $f(x_0^{-})<f(x_0^{+})$ 。这时 $f$ 在点 $x_0$ 的函数值满足不等式 $f(x_0^{-})⩽f(x_0)⩽f(x_0^{+})$ 。称 $(f(x_0^{-}),f(x_0^{+}))$ 为与间断点 $x_0$ 对应的一个跳跃区间。

对 $f$ 的每一个间断点都可以得到一个跳跃区间. 我们要证明, 任何两个不同的间断点所对应的跳跃区间必不相交.

设 $x_1$ 是 $f$ 的另一个间断点, 且 $x_0<x_1$ . 我们要建立

$$(f(x_0^{-}),f(x_0^{+}))\cap (f(x_1^{-}),f(x_1^{+}))=\varnothing .\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

为此在 $x_0$ 和 $x_1$ 之间插入 $x,x^{\prime }$ 如下:

$$x_0<x<x^{\prime }<x_1,$$

则有不等式

$$f(x)⩽f(x^{\prime }).$$

固定 $x^{\prime }$ , 令 $x\to x_0^{+}$ , 由单调函数的单侧极限存在定理和函数极限的比较定理, 得到

$$f(x_0^{+})⩽f(x^{\prime }).$$

再令 $x^{\prime }\to x_1^{-}$ ，又得到

$$f(x_0^{+})⩽f(x_1^{-}).$$

于是得到

$$f(x_0^{-})<f(x_0^{+})⩽f(x_1^{-})<f(x_1^{+}).$$

即所要证明的 (5.5).

这样就得到与无限多个间断点一一对应的跳跃区间, 且两两不交. 又在每个跳跃区间中取一个有理数, 从而得到一个有理数集, 它与跳跃区间全体形成一一对应. 由于有理数集 $\mathbf{Q}$ 为可列集, 它的无限子集也是可列集, 因此跳跃区间集合为可列集. 这就证明了单调函数如有无限个间断点, 则必为可列个.

命题 5.5.3

设 $f$ 是区间 $I$ 上的单调函数, 其值域 $f(I)$ 为区间的充分必要条件是 $f\in C(I)$ .

证明

先证充分性. 若 $f\in C(I)$ , 则 $f(I)$ 为区间. 这就是前面已得到的介值定理. 这里不需要单调性条件.

再证必要性. 不妨设 $f$ 单调增加, 已知 $f(I)$ 为区间. 要证明 $f$ 处处连续. 这里用反证法. 若 $f$ 有间断点 $x_0$ , 在它的两侧任取两点 $x$ 和 $x^{\prime }$ , 则与前面的公式 (5.4) 一样可以得到

$$f(x)⩽f(x_0^{-})⩽f(x_0)⩽f(x_0^{+})⩽f(x^{\prime }).$$

由于 $x_0$ 是 $f$ 的间断点, 所以有 $f(x_0^{-})<f(x_0^{+})$ 成立. 以上不等式对于小于 $x_0$ 的所有 $x$ 和大于 $x_0$ 的所有 $x^{\prime }$ 成立. 这样一来在非空开区间 $(f(x_0^{-}),f(x_0^{+}))$ 中至多只可能有一个点 $f(x_0)$ 在值域 $f(I)$ 中, 可见 $f(I)$ 不可能是区间. 这个矛盾表明 $f$ 不能有间断点.

命题 5.5.4

设 $f$ 是区间 $I$ 上的严格单调连续函数, 则 $f$ 的反函数是值域 $f(I)$ 上的严格单调连续函数, 且具有与 $f$ 相同的单调性.

证明

不妨只讨论 $f$ 为区间 $I$ 上的严格单调增加连续函数的情况。由于 $f\in C(I)$ ，所以 $f(I)$ 是区间。由于 $f$ 严格单调增加，从 $x_1<x_2$ 就有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，因此从 $I$ 到 $f(I)$ 的对应是一对一的。这就保证了从 $f(I)$ 到 $I$ 的逆映射存在，即 $f$ 有反函数，记为 $f^{-1}$ 。反函数的定义域为区间 $f(I)$ ，值域为 $f$ 的定义域 $I$ 。

若记映射 $f$ 为 $y=f(x),x\in I$ , 则记其逆映射 $f^{-1}$ 为 $x=f^{-1}(y),y\in f(I)$ .

现证 $f^{-1}$ 也是严格单调增加函数. 设有 $y_1,y_2\in f(I)$ , 且 $y_1<y_2$ . 则有

$$x_1=f^{-1}(y_1),x_2=f^{-1}(y_2).$$

它们是由

$$y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$$

确定的. 由于 $f$ 严格单调增加, 可见当 $y_1<y_2$ 时 $x_1=x_2$ 和 $x_1>x_2$ 都不能成立, 因此只有 $x_1<x_2$ 是可能的. 这已表明 $f^{-1}$ 严格单调增加.

由于 $f^{-1}$ 是区间 $f(I)$ 上的单调函数, 而值域 $I$ 是区间, 因此从上一个命题知道 $f^{-1}$ 是连续函数.

直接用命题 $\mathrm{5.5.4}$ 即可得到如下结论:

例 5.5.1

反三角函数 $\arcsin x$ , $\arccos x$ , $\arctan x$ , $\mathrm{arccot}x$ 都是严格单调的连续函数.

在 $\mathrm{3.4.5}$ 小节的练习题 $7$ 中出现 $Kepler$ 方程．若将这个方程 $x-q\sin x=a(0<q<1)$ 中的 $a$ 看成变量,改记为 $y,$ 则有以下结论：

例 5.5.2

证明

由 $Kepler$ 方程 $y=x-q\sin x(0<q<1)$ 可以唯一地确定函数 $x=f(y)$ ，而且它是定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的严格单调增加连续函数.

从 $y=x-q\sin x$ 知道它是定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的连续函数。由于 $|\sin x|⩽1$ ，可见值域也是 $(-\infty ,+\infty )$ 。为研究单调性，设 $x_1<x_2$ ，则有

$$y_1-y_2=\left(x_1-q\sin x_1\right)-\left(x_2-q\sin x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)-q(\sin x_1-\sin x_2).$$

由于不等式 $|\sin x|⩽|x|$ , 从

$$\left|\sin x_1-\sin x_2\right|=2\left|\sin \frac{x_1-x_2}{2}\right|\cdot \left|\cos \frac{x_1+x_2}{2}\right|⩽\left|x_1-x_2\right|$$

和 $0<q<1$ ，可知

$$\left|q\left(\sin x_1-\sin x_2\right)\right|<\left|x_1-x_2\right|,$$

因此 $y_1-y_2$ 与 $x_1-x_2$ 同号. 这就表明 $y=x-q\sin x$ 是严格单调增加函数. 用前面的命题 $\mathrm{5.5.4}$ 即得所要的结论.

与单调函数类密切有关的是有界变差函数类. 有界变差函数可定义为两个单调增加函数之差. 它在数学的许多领域中起重要作用. 由于篇幅所限, 本书不介绍有界变差函数, 有需要的读者可参考 [14] 的第三卷第 15 章第 4 节.

5.5.2 练习题

1. 设函数 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 上定义, 且对每一个点 $x\in (a,b)$ , 存在邻域 $O(x)$ , 使得 $f$ 在 $O(x)$ 上单调增加, 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上单调增加.

2. 设 $f\in C[a,b]$ , 且对 $[a,b]$ 内的任意两个有理数 $r_1,r_2(r_1<r_2)$ , 成立 $f(r_1)⩽f(r_2)$ , 证明: 函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调增加.

3. 设 $f$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的单调函数, 在每一点定义 $g(x)=f(x^{+})$ , 证明: $g$ 是在 $(-\infty ,+\infty )$ 上处处右连续的函数.

4. 设 $f$ 为 $(\infty ,+\infty )$ 上的单调函数, 且对一切 $x,y\in \mathbf{R}$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . 证明: $f(x)=f(1)x$ .