§10.3 变限积分与微积分基本定理

本节的例题和练习题以变限积分方法为中心, 而将以 $Newton-Leibniz$ 公式为主的内容放在下一节中.

10.3.1 主要命题

关于变限积分的主要结果是下面两个命题.

命题10.3.1

设 $f\in R[a,b]$ ，则变上限积分 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 与变下限积分 ${\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t$ 都是 $[a,b]$ 上的连续函数.

命题10.3.2

设 $f\in R[a,b]$ , $x\in [a,b]$ 是 $f$ 的连续点, 则

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$

由此就给出了原函数存在的一个充分条件.

命题10.3.3 (原函数存在定理)

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上存在原函数.

命题10.3.4（微积分基本公式）

设 $F$ 在 $[a,b]$ 上有连续的导函数，则对每个 $x\in [a,b]$ ，成立 $Newton-Leibniz$ 公式：

$${\int }_a^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a).$$

在多数文献中将命题 $\mathrm{10.3.2}$ 和 (或) 命题 $\mathrm{10.3.4}$ 称为微积分基本定理. 这是 $Newton$ 和 $Leibniz$ 发现的. 在他们之前, 微分和积分的许多个别结果已经得到. 但是只有当 $Newton$ 和 $Leibniz$ 发现了微分和积分运算的互逆关系之后, 微积分才成为统一的整体并开始了全新的发展 (这方面可参看 [6] 和 [60] 的第三章).

比命题 $\mathrm{10.3.4}$ 更一般的是

命题10.3.5

设 $f\in R[a,b]$ , $F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数, 则对每个 $x\in [a,b]$ , 成立 $Newton-Leibniz$ 公式:

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a).$$

注 1

这个命题也被称为微积分基本定理, 但是它的证明完全不需要关于变上限积分的命题. 此外, 两个条件缺一不可. 关于这些问题有许多深入的研究, 例如可以参考 [57] 以及其中所引的文献.

注 2

命题 $\mathrm{10.3.5}$ 可推广如下．设 $f\in R[a,b]$ , $F\in C[a,b]$ , 且除了有限个点之外满足条件 $F^{\prime }=f$ , 则对于每个 $x\in [a,b]$ , 仍成立等式

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a),$$

这有时称为广义的 $Newton-Leibniz$ 公式.

例如有

$${\int }_{-1}^3\mathrm{sgn}x\mathrm{d}x=|x|{|}_{-1}^3=2.$$

想一想

题 举例: (1) 可积函数未必有原函数; (2) 有原函数的函数未必可积.

注

由于有第一类间断点的函数不能是导函数, 因此 (1) 是容易的. 对于 (2), 可以考虑在区间 $[-1,1]$ 上的下列函数的导函数是否可积:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x^2},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

10.3.2 例题

在命题 $\mathrm{10.3.1}$ 中出现的变限积分不仅在建立微积分基本定理时有用，而且是一种非常有效的工具。对于 $f\in C[a,b]$ ，引入变限积分 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ ，则 $F(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续可微函数。因此，我们就有可能同时用微分学和积分学的工具去研究它。

下一题的证明和应用一般出现在二重积分理论中, 但在这里用变限积分方法来证明还是很容易的.

例10.3.1

设 $f\in C[0,+\infty )$ , $a>0$, 证明:

$${\int }_0^a\left({\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}f(x)(a-x)\mathrm{d}x.$$

证明

将 $a$ 看成非负变量, 等式两边就成为变上限积分. 当 $a=0$ 时两边都等于 $0$ , 然后将两边对 $a$ 求导, 右边求导后得到

$${\left({\int }_0^{a}f(x)(a-x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }={\left(a{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{a}xf(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }={\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x,$$

与左边求导结果相同, 从 $Newton-Leibniz$ 公式就得到所求的等式.

例10.3.2

设 $f\in R[A,B]$ , $a,b\in (A,B)$ 是 $f$ 的两个连续点, 证明:

$$\underset{h\to 0}{\lim }{\int }_a^b\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\mathrm{d}x=f(b)-f(a).$$

证明

要点是利用变量代换改变积分限, 然后利用命题 $\mathrm{10.3.2}$ 计算如下:

$$\begin{array}{rl}& \underset{h\to 0}{\lim }{\int }_a^b\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\mathrm{d}x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left({\int }_a^{b}f(x+h)\mathrm{d}x-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left({\int }_{a+h}^{b+h}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left({\int }_b^{b+h}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{a+h}f(x)\mathrm{d}x\right)\\ & =f(b)-f(a).\end{array}$$

下面的”证法”是很有诱惑力的:

$$\begin{array}{rl}{\lim }_{h\to 0}{\int }_a^b\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\mathrm{d}x& ={\int }_a^b{\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a).\end{array}$$

请初学者注意: 上面的三步推导中的每一步都是错误的, 即犯了三个错误: (1) 没有根据就将求极限与求积分运算交换顺序; (2) 对差商求极限时忘记了题中 $f$ 只在两点连续, 并无可导条件; (3) 即使 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 但导函数也不一定可积, 因此不能用 $Newton-Leibniz$ 公式.

例10.3.3

设 $f\in C[a,b]$ , 且满足条件

$${\int }_a^b{x}^{k}f(x)\mathrm{d}x=0(k=0,1,\dots ,n),$$

证明: 函数 $f$ 在 $(a,b)$ 内至少有 $n+1$ 个不同的零点.

证1

用数学归纳法. 对于 $n=0$ , 从 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$ 和 $f\in C[a,b]$ 可见 $f$ 在 $(a,b)$ 上或变号, 或恒等于 $0$ , 因此至少有一个零点.

设对于 $n$ 的结论已成立, 我们讨论 $n+1$ 的情况. 引入辅助函数

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t,$$

这时 $F(a)=0$ 。从 $f$ 满足的条件 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$ 得到 $F(b)=0$ 。又从分部积分可见对 $k⩾1$ 有

$$\begin{array}{rl}& {\int }_a^b{x}^{k}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b{x}^k\mathrm{d}F(x)=x^{k}F(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}k{x}^{k-1}F(x)\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_a^{b}k{x}^{k-1}F(x)\mathrm{d}x,\end{array}$$

因此有

$${\int }_a^b{x}^{k}f(x)\mathrm{d}x=0⟹{\int }_a^b{x}^{k-1}F(x)\mathrm{d}x=0,k=1,\dots ,n+1.$$

根据归纳假设, $F$ 在 $(a,b)$ 内至少有 $n+1$ 个零点. 将它们记为 $x_1<x_2<\cdots <x_{n+1}$ . 由于 $a$ 和 $b$ 又都是 $F$ 的零点, 改记 $a=x_0$ , $b=x_{n+2}$ , 并对 $[x_i,x_{i+1}]$ , $i=0,1,\dots ,n+1$ , 用 $n+2$ 次 $Rolle$ 定理, 就得到所要求的 $n+2$ 个零点. $\square$

证2

用反证法. 设有一个 $f$ 满足所有题设条件, 但其零点个数不超过 $n$ .

这时 $f$ 在 $[a,b]$ 内的任何闭子区间上不会恒等于 $0$，因此从条件 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$ 可见 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上一定变号.

利用 $f$ 的所有零点或其中的一部分, 可以作出区间 $[a,b]$ 的一个分划

$$P=\{x_0,x_1,\dots ,x_k\},$$

其中 $x_0=a,x_k=b,$ 中间的 $k-1$ 个分点都是 $f$ 的零点， $f$ 在每个子区间上不变号，而在相邻的子区间上 $f$ 的符号相反.

由反证法前提可见 $k-1⩽n$ .

对于分划 $P$ 可以构造辅助多项式

$$g(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_{k-1}\right).$$

$g$ 关于分划 $P$ 具有与 $f$ 相同的性质：即在每个子区间上不变号，而在相邻的子区间上符号相反.这样就知道 $f\cdot g$ 在整个区间 $[a,b]$ 上不变号，因此

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x>0(<0).$$

另一方面，由于 $g$ 是次数不超过 $n$ 的多项式，从题设条件可见上述积分应当等于 $0$，从而引出矛盾. $\square$

10.3.3 练习题

1. 计算下列各题:

(1) ${\left({\int }_0^{x}t\sin \frac{1}{t}\mathrm{d}t\right)}_{x=0}^{\prime };$

(3) ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_0^x(\arctan t{)}^2\mathrm{d}t}{x^2};$

(2) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{x^2}^{x^3}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t;$

(4) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\left({\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\right)}^2}{{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{2t^2}\mathrm{d}t}.$

2. 设 $f\in C[a,b]$ , 且存在常数 $M,\eta >0$ , 使对每个 $[\alpha ,\beta ]\subseteq [a,b]$ , 恒有

$$\left|{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm{d}x\right|⩽M(\beta -\alpha {)}^{1+\eta },$$

证明： $f\equiv 0$

3. 设 $f\in C[a,b]$ , 且在 $[a,b]$ 上满足不等式 $f(x)⩽{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ , 证明: 在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩽0$ .

4. 设函数 $f\in C[0,\pi ]$ ，且有 ${\int }_0^{\pi }f(t)\cos t\mathrm{d}t={\int }_0^{\pi }f(t)\sin t\mathrm{d}t=0$ ，证明： $f$ 在区间 $(0,\pi )$ 内至少有两个零点.

5. 设 $f$ 为周期函数, 且于每个有界区间上可积, 证明: 变上限积分

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

可以表示为一个周期函数与一个线性函数之和.

6. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ ，且积分 ${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x$ 的值与 $a$ 无关，证明： $f$ 为周期函数.

7. 设 $f\in C(0,+\infty )$ , 且对任何 $a,b>0$ 的积分 ${\int }_a^{ab}f(x)\mathrm{d}x$ 的值与 $a$ 无关, 试求函数 $f$ .

8. 设 $f\in R[a,b]$ , 证明: 存在 $\xi \in [a,b]$ , 使成立 ${\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x$ , 并举例说明这样的 $\xi$ 在 $(a,b)$ 内不一定存在.

9. 设 $f\in C[a,b]$ , 且处处大于 $0$, 证明: 在 $[a,b]$ 上有

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_x^b\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}\right)⩾2.$$

10. 设 $a(t)$ , $b(t)$ , $c(t)$ , $d(t)$ 均为变量 $t$ 的多项式, 证明:

$${\int }_1^{x}a(t)c(t)\mathrm{d}t{\int }_1^{x}b(t)d(t)\mathrm{d}t-{\int }_1^{x}a(t)d(t)\mathrm{d}t{\int }_1^{x}b(t)c(t)\mathrm{d}t$$

可被 $(x-1{)}^4$ 整除.

11. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ , $g(x)=f(x){\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 且单调减少, 证明: $f\equiv 0$ .

12. 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微, 且满足 ${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t=\frac{x}{3}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ , 求 $f$ .