§12.1 广义积分的定义

12.1.1 基本定义

1. 在定积分一章中给出函数 $f$ 为 $Riemann$ 可积的定义时, 有两个基本限制: (1) 积分区间 $[a,b]$ 必须有限, (2) 函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上必须有界. 前者是在积分的分划定义中隐含的必要条件, 后者则可以作为可积的必要条件而得到 (见命题 $\mathrm{10.1.1}$). 广义积分就是在这两个方面对于定积分定义的突破. 今后也称原有的 $Riemann$ 积分为常义积分.

2. 为方便起见, 引入如下定义: 设 $I$ 为区间, 函数 $f$ 在 $I$ 上有定义, 如果对任意有界闭区间 $[a,b]\subseteq I$ , $f\in R[a,b]$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上内闭可积.

3. 广义积分的定义方法是通过对常义积分取极限. 称 $b$ 为函数 $f(x)$ 在定义域区间 $[a,b)$ 上的奇点, 如果 $b=+\infty$ 或者 $f(x)$ 在点 $b$ 左侧邻近无界. 假如 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上内闭可积, $b$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的奇点, 则定义广义积分

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{b^{\prime }\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{b^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x.$$

如果上式右边极限存在且有限 (在 $b=+\infty$ 时, $b^{\prime }\to b^{-}$ 是指 $b^{\prime }\to +\infty$ ), 则称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 收敛或 $f$ 广义可积 (在不产生混淆时也可简称可积); 否则, 称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 发散或 $f$ 广义不可积 (简称不可积). 类似地, 定义以 $a$ 为奇点的广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 及其敛散性.

4. 称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 绝对收敛或 $f$ (广义) 绝对可积, 若广义积分 ${\int }_a^b|f|$ 收敛.

5. 设 $b$ 为 $f$ 在 $[a,b)$ 上的奇点. 如果 $b=+\infty$ , 则称广义积分 ${\int }_0^{+\infty }f$ 为无穷限广义积分, 简称为无穷限积分或无限积分. 如果 $b$ 为有限数, 则称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 为无界广义积分, 简称为无界积分或瑕积分, 也称奇点 $b$ 为瑕点. 这两类广义积分不但往往可以用换元法互换, 而且它们的定义与很多性质也可以统一叙述.

6. 设 $a<c<b$ , 如果 $c$ 为 $f$ 在 $[a,c)$ 与 $(c,b]$ 上的奇点或 $a,b$ 分别为 $f$ 在 $(a,c]$ 与 $[c,b)$ 上的奇点, 则定义广义积分

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f,$$

当右边两个广义积分都收敛时, 称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 收敛; 否则, 称广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 发散.

注 1

上述无穷限积分与无界积分的统一叙述可以简化广义积分的许多结果的表达. 但两类广义积分毕竟还有区别 (例如见 §$12.4$), 学习本章时要注意两类广义积分的异同.

注 2

对不定积分、定积分和广义积分, 可积的含义是不同的. 不定积分的可积是指其为初等函数族, 定积分的可积是指其 $Riemann$ 可积, 即 $Riemann$ 积分存在, 而广义积分可积是指广义积分收敛. 这似乎容易引起混淆, 但在上下文不会引起混淆的情况下, 使用可积这个术语可以简化叙述.

除了以上基本概念之外, 还需要知道广义积分的主值. 以下对两种广义积分分别给出它们的主值定义.

设函数 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上内闭可积, 定义

$$P.V.{\int }_{-\infty }^{+\infty }f=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_{-A}^{A}f$$

为广义积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f$ 的 $Cauchy$ 主值, 如果右边极限存在的话.

对于无界积分, 设 $f$ 在区间 $[a,b]$ 中只有一个瑕点 $c$, $a<c<b$ , 则定义

$$P.V.{\int }_a^{b}f=\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\left({\int }_a^{c-\delta }f+{\int }_{c+\delta }^{b}f\right)$$

为广义积分 ${\int }_a^{b}f$ 的 $Cauchy$ 主值, 如果右边极限存在的话.

容易看出, 若广义积分收敛, 则其主值与广义积分的值相同; 但是当广义积分发散时, 它的主值仍可能存在. 因此主值是广义积分概念的一个推广, 它在理论和应用上都很有价值. 对于本章内容来说, 如果事先能判定某个广义积分收敛, 则在计算该广义积分时可以用主值来代替, 这有时会带来方便.

12.1.2 广义积分与和式极限

虽然广义积分是通过对常义积分取极限得到, 但在被积函数单调情况下也有可能如常义积分那样直接从积分和式取极限得到. 首先我们讨论有界区间上的无界广义积分. 下面就是这类结果之一.

例题12.1.1

设 $f$ 在 $(0,1)$ 上单调, 无界广义积分 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(12.1)}$$

证明

不妨只讨论 $f$ 单调增加, 则有不等式

$${\int }_0^{1-\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}⩽{\int }_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\mathrm{d}x.$$

这里两边的积分中至少有一个是广义积分. 然后令 $n\to \infty$ 即可.

注

这里有几点需要注意. 首先, 单调性条件只要在奇点邻近满足即可. 其次, 在只有一个奇点的情况, 从等式 $(12.1)$ 左边极限存在可推出右边的广义积分收敛. 然而对于有两个奇点的情况这是不成立的. 例如

$$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{1-x}$$

就是如此 (见 [48] 第一卷 $253$ 页).

对于无穷限广义积分也有类似结果. 但是这时的积分和式本身已经是无穷项求和, 也就是无穷级数. 在学习无穷级数理论之前, 可以先按照 $\mathrm{2.2.3}$ 小节末的注解来理解.

例题12.1.2

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调, ${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛, 则有

$$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }h\sum _{n=1}^{\infty }f(nh)={\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x.$$

证明

不妨假定 $f$ 单调减少. 首先可以证明 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上非负. 用反证法. 如果在某点 $x_0$ 处有 $f(x_0)<0$ , 则就有

$${\int }_{x_0}^{A}f(x)\mathrm{d}x⩽f(x_0)(A-x_0)\to -\infty (A\to +\infty ),$$

这与无穷限广义积分收敛的条件矛盾.

于是, 对任意正整数 $n$ , 我们有

$${\int }_h^{(n+1)h}f(x)\mathrm{d}x⩽\sum _{k=1}^{n}hf(kh)=h\sum _{k=1}^{n}f(kh)⩽{\int }_0^{nh}f(x)\mathrm{d}x.$$

注意到中间的和式作为 $n$ 的函数 (即数列) 为单调增加, 且有上界, 因此存在极限. 令 $n\to +\infty$ , 得到

$${\int }_h^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x⩽h\sum _{n=1}^{\infty }f(nh)⩽{\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x.$$

再令 $h\to 0^{+}$ 即得所要求证的结果.

12.1.3 练习题

1. 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上非负连续, 且积分 ${\int }_0^{+\infty }f=0$ , 证明: $f\equiv 0$ .

2. 如果广义积分 ${\int }_a^b{f}^2$ 收敛, 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上平方可积. 分无穷限积分与无界积分两种情况讨论广义积分的平方可积性与绝对可积性之间的关系.

3. 设 $f\in C(0,1]$ , $f(0^{+})=+\infty$ , 定义函数 $f_n(x)=\min \{f(x),n\}$ , $0<x⩽1$ , $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 证明: 广义积分 ${\int }_0^{1}f$ 收敛的充分必要条件是存在有限极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x.$$

4. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上内闭可积, ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^2$ 收敛, 证明: 对于任何实数 $a$ , 下列广义积分也收敛:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(x)f(x+a)|\mathrm{d}x.$$

5. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上内闭可积, 并且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ , ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=B$ 都存在且有限. 证明: 对任意实数 $a>0$ , 广义积分

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(x+a)-f(x)]\mathrm{d}x$$

收敛, 并求它的值.

6. 找出以下广义积分计算中的错误, 说明理由, 并计算其主值. 在积分

$${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1-x^2}}$$

中, 由于被积函数是奇函数, 积分区间关于原点对称, 从而所求积分为 $0$.