§$15.3$ 对于教学的建议

<Block title="学习要点">

$1$. $Fourier$ 级数与幂级数是两类最重要的函数项级数。如果说幂级数的通项是从计算角度来看最为简单的单项式，则 $Fourier$ 级数的通项就是最简单的周期函数——正弦函数与余弦函数。将一般的周期函数展开为 $Fourier$ 级数具有重要的理论和应用价值。在许多具体的应用领域中 $Fourier$ 级数的各项均有物理意义，而幂级数则不是如此。

$2$. 一个函数的 $Fourier$ 级数并不一定收敛，也不一定收敛于这个函数本身。但与 $Taylor$ 级数相比，$Fourier$ 级数的收敛条件还是很宽的。可以说 $Fourier$ 级数是至今为止我们所遇到的最优美的一类无穷级数，这可以从下列几个方面看出：局部性定理、收敛条件、逐项积分与逐项求导的条件、$Fourier$ 展开式的最佳均方逼近性质、三角函数系可以构成无穷维空间的规范正交基等等。

$3$. 一个具体给定的周期函数的 $Fourier$ 系数的计算，特别是在函数的周期为 $2l$ ( $l \neq \pi$ ) 的情况下，是比较费力的事。在习题课上，应当举出计算给定函数的 $Fourier$ 系数的例题，结合一些计算技巧，耐心地将 $Fourier$ 系数计算出来。在练习题中，也应该含有这方面的习题。然而，这方面的例题与习题都不宜太多，因为 $Fourier$ 级数理论的核心部分是 $Fourier$ 级数的收敛性定理、$Parseval$ 等式与一些相关结果的证明或应用，如果让学生觉得 $Fourier$ 级数理论主要不过是按公式计算 $Fourier$ 展开式，那就不能算是成功的教学。

$4$. $Bessel$ 不等式和 $Parseval$ 等式体现了周期函数的内在性质，在分析估计中非常有用。本章在这方面给出了较多的介绍，还应当指出 $Parseval$ 等式在证明 $Wirtinger$ (维尔丁格) 不等式 (见参考题 $8$) 中的妙用。

</Block>

<Block title="参考题">

$1$. 设 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数且在 $(0,2\pi)$ 上可积和绝对可积，证明:

$(1)$ 如果 $f$ 在 $(0,2\pi)$ 上单调减少，则 $\int_{0}^{2\pi} f(x) \sin nx \, dx \geqslant 0, n = 1, 2, \cdots;$

$(2)$ 设 $f$ 在 $(0,2\pi)$ 可导且 $f'$ 在 $(0,2\pi)$ 上可积和绝对可积，如果 $f'$ 在 $(0,2\pi)$ 上单调增加，则 $\int_{0}^{2\pi} f(x) \cos nx \, dx \geqslant 0, n = 1, 2, \cdots$ .

$2$. 设 $f$ 为区间 $[0,2\pi]$ 上的下凸函数，证明: $\int_{0}^{2\pi} f(x) \cos nx \, dx \geqslant 0, \forall n \geqslant 1$ .

$3$. 设 $f$ 是周期 $2\pi$ 的连续函数，$F_{h}(x) = \frac{1}{2h}\int_{x - h}^{x + h}f(t)\mathrm{d}t,$ 其中 $h > 0$

$(1)$ 证明: $F_{h}$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续可微函数；

$(2)$ 证明: $\forall \varepsilon > 0, \exists h > 0$ ，使在 $[- \pi, \pi]$ 上一致成立 $|f(x) - F_h(x)| < \varepsilon$ ；

$(3)$ 利用命题 $15.2.8$ 重新证明 $Weierstrass$ 第二逼近定理；

$(4)$ 已知 $f$ 的 $Fourier$ 级数，计算 $F_{h}$ 的 $Fourier$ 级数。

$4$. 设 $f$ 为周期 $2\pi$ 的连续函数，$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ，定义

$$
F (x) = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (t) f (x + t) \mathrm{d} t.
$$

$(1)$ 计算 $F$ 的 $Fourier$ 系数；

$(2)$ 证明: $F$ 的 $Fourier$ 级数一致收敛；

$(3)$ 由此推出 $f$ 的 $Parseval$ 等式。

$5$. $(1)$ 利用 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin kx}{k} = \sum_{k=1}^{n} \int_{0}^{x} \cos kt \, \mathrm{d}t$ 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$ 之和；

$(2)$ 用类似的方法求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)x}{2n-1}$ 之和。

$6$. 从上题的 $(1)$ 所得的结果出发，直接证明下列展开式成立:

$(1)$ $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin 2kx}{2k} = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}, 0 < x < \pi;$

$$
\sum_ {k = 1} ^ {\infty} \frac {\sin (2 k - 1) x}{2 k - 1} = \frac {\pi}{4}, 0 <   x <   \pi ; \tag {2}
$$

$$
\sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {(- 1) ^ {n - 1}}{n} \sin n x = \frac {x}{2}, | x | <   \pi ; \tag {3}
$$

$(4)$ $x^{2} = \frac{\pi^{2}}{3} + 4\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos nx,|x| <   \pi ;$

$(5)$ $x = \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\cos(2k - 1)x}{(2k - 1)^{2}},0\leqslant x\leqslant \pi ;$

$$
\frac {3 x ^ {2} - 6 \pi x + 2 \pi^ {2}}{1 2} = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {\cos n x}{n ^ {2}}, 0 \leqslant x \leqslant \pi . \tag {6}
$$

$7$. ($Steklov$ (斯捷克洛夫) 不等式) 设连续函数 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上分段可导，且 $f'$ 在 $[0, \pi]$ 上可积和平方可积，证明: 只要条件 $(1)$ $\int_{0}^{\pi} f = 0$ 和 $(2)$ $f(0) = f(\pi) = 0$ 之中有一个满足，就成立不等式 $\int_{0}^{\pi} f'^{2}(x) \mathrm{d}x \geqslant \int_{0}^{\pi} f^{2}(x) \mathrm{d}x,$ 且其中等号成立的条件为 $(1)$ $f(x) = A \cos x$ ，$(2)$ $f(x) = B \sin x$ .

$8$. ($Wirtinger$ 不等式) 设连续函数 $f$ 在 $[- \pi, \pi]$ 上分段可导，$f(-\pi) = f(\pi)$ ，且 $f'$ 在 $[- \pi, \pi]$ 上可积和平方可积，又 $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d}x = 0$ ，证明: $\int_{-\pi}^{\pi} f'^2(x) \mathrm{d}x \geqslant \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \mathrm{d}x,$ 且仅当 $f(x) = A \cos x + B \sin x$ 时等号成立。

$9$. 设周期 $2\pi$ 的函数 $f$ 及其导函数 $f'$ 均分段连续，证明: $f$ 的 $Fourier$ 级数在不含有 $f$ 的间断点的任何闭区间上一致收敛。

$10$. 证明: $(1)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2} n}{n^{2}} = \frac{\pi - 1}{2}$ ；$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{2} n}{n^{4}} = \frac{(\pi - 1)^{2}}{6}$ 。

$11$. 设函数 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，不恒等于 $0$，且

$$
\int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \sin k x \mathrm{d} x = \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos k x \mathrm{d} x = 0, k = 0, 1, \dots , n.
$$

证明: $f$ 在任何长度大于 $2\pi$ 的区间上至少改变符号 $2n + 2$ 次。

$12$. 设 $f$ 是在区间 $[0, +\infty)$ 上的单调函数，且 $f(+\infty) = 0$ ，证明：

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \int_ {0} ^ {+ \infty} f (x) \sin n x \mathrm{d} x = 0.
$$

$13$. 设 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n} \sin nx$ ，证明： $\max_{0 \leqslant x \leqslant 2\pi} \{|f(x)|\} \geqslant \frac{2}{\pi e}$ 。

$14$. 对于收敛于 $0$ 的给定正数数列 $\{\varepsilon_n\}$ ，证明: 存在连续函数 $f$ ，使得 $f$ 的 $Fourier$ 系数 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 对于无限多个 $n$ 满足不等式

$$
\left| a _ {n} \right| + \left| b _ {n} \right| > \varepsilon_ {n}.
$$

$15$. 设 $f \in C[-\pi, \pi]$ ，且其导函数 $f'$ 可积和绝对可积，若有

$$
f (x) \sim \frac {a _ {0}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(a _ {n} \cos n x + b _ {n} \sin n x\right),
$$

证明：

$$
f ^ {\prime} (x) \sim \frac {c}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} [ (n b _ {n} + (- 1) ^ {n} c) \cos n x - n a _ {n} \sin n x ],
$$

其中 $c = [f(\pi) - f(-\pi)] / \pi$ ，且有 $c = \lim_{n\to \infty}[-1)^{n - 1}nb_n]$

$16$. 设三角级数 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 有极限 $c = \lim_{n \to \infty} [(-1)^{n-1} nb_n]$ ，又有可积和绝对可积函数 $\varphi$ 满足条件

$$
\varphi (x) \sim \frac {c}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} [ (n b _ {n} + (- 1) ^ {n} c) \cos n x - n a _ {n} \sin n x ],
$$

证明：上述三角级数处处收敛，为其和函数 $f$ 的 $Fourier$ 级数：

$$
f (x) = \frac {a _ {0}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(a _ {n} \cos n x + b _ {n} \sin n x\right),
$$

且在 $\varphi$ 的连续点上成立 $f'(x)=\varphi(x)$ .

$17$. 利用上题证明: 三角级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n \sin nx}{n^2 - 1}$ 是某个连续可微函数 $f$ 的 $Fourier$ 级数，且 $f$ 满足微分方程 $f'' + f = -\sin x$ ，并求出 $f$ 。

$18$. 证明：在区间 $[a, b]$ 上的可积和平方可积函数空间中，由有限个函数组成的正交系不可能是完备的。

$19$. ($de\,la\,Vall\acute{e}e\,Poussin$ 核) 设 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，记

$$
V _ {n} (x) = \frac {(2 n) ! !}{2 \pi (2 n - 1) ! !} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (t) \left(\cos \frac {t - x}{2}\right) ^ {2 n} \mathrm{d} t.
$$

证明：$(1)$ $V_{n}(x)$ 是 $n$ 次三角多项式；$(2)$ 函数列 $\{V_n\}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上一致收敛于 $f$

$20$. 证明：三角级数

$$
\cos x + \frac {\cos 2 x}{2} + \dots + \frac {\cos n x}{n} + \dots
$$

的部分和函数 $S_{n}(x)\geqslant -1$ ，并且 $\varliminf_{n\to \infty}\min_{0\leqslant x\leqslant \pi}\{S_n(x)\} = -\ln 2.$

</Block>

# 第十六章 无穷级数的应用

无穷级数作为一种分析手段具有多方面的应用，本章只介绍其中的几点供教学中参考。§$16.1$ 是级数在积分计算中的应用。§$16.2$ 讨论级数求和问题。§$16.3$ 是关于 $Weierstrass$ 逼近定理的证明方法及其应用。§$16.4$ 用无穷级数构造一些具有特殊性质的函数。最后一节为学习要点和参考题。