§24.2 第二型曲线积分

24.2.1 第二型曲线积分的定义和计算

第二型曲线积分的物理背景之一是质点受力沿曲线运动所做的功. 因此我们给定了曲线的起点和终点. 这样的曲线称为有向曲线. 下面以 ${\mathbf{R}}^3$ 为例定义第二型曲线积分. 设 $\Gamma =\widetilde{AB}$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中一条简单可求长的有向曲线

$$\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$$

为定义在 $\Gamma$ 上的向量值函数. 对于与 $\Gamma$ 方向一致的任意分割 $T$,

$$T:A=A_0,A_1,A_2,\dots ,A_m=B,$$

记 $A_i=(x_i,y_i,z_i)$, $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, $\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$, $\Delta z_i=z_i-z_{i-1}$, $\Delta S_i$ 为曲线段 $\widetilde{A_{i-1}{A}_i}$ 的弧长， $d(T)={\max }_{1⩽i⩽m}\{\Delta S_i\}$ .任取 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\in \widetilde{A_{i-1}{A}_i}$ ，如果极限

$$\underset{d(T)\to 0}{\lim }\sum _i\left[P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i+R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i\right]$$

存在且极限与 $\Gamma$ 的具体分法以及 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的具体取法无关，则称 $F$ 沿 $\Gamma$ 的第二型曲线积分存在，极限值称为 $F$ 沿 $\Gamma$ 的第二型曲线积分，记为

$$I={\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$$

或

$$I={\int }_{\Gamma }\mathbf{F}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$

第二型曲线积分又称为对坐标的积分.

若逐段光滑的有向曲线 $\Gamma$ 有参数表示

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),a⩽t⩽b,$$

其中 $[a,b]$ 是实轴上的有向区间，参数 $t$ 从 $a$ 变到 $b$ 与 $\Gamma$ 的定向一致，设 $P(x,y,z)$ ， $Q(x,y,z)$ ， $R(x,y,z)$ 在 $\Gamma$ 上连续，则

$$\begin{array}{l}{\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ ={\int }_a^b[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)]\mathrm{d}t.\end{array}$$

例24.2.1

计算积分

$$I={\int }_C(x^2+2xy)\mathrm{d}y,$$

其中 $C$ 表示逆时针方向的上半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ .

解

利用椭圆的参数表达式

$$x=a\cos t,y=b\sin t,$$

按给定方向 $t$ 由 $0$ 变到 $\pi$ ，将 $x$, $y$ 用 $t$ 的表达式代入并用 $b\cos t\mathrm{d}t$ 来代替 $\mathrm{d}y$，得

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\pi }(a^2{\cos }^{2}t+2ab\cos t\sin t)b\cos t\mathrm{d}t\\ & =a^{2}b{\int }_0^{\pi }{\cos }^{3}t\mathrm{d}t+2a{b}^2{\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}t\sin t\mathrm{d}t=\frac{4}{3}a{b}^2.\end{array}$$

例24.2.2

求 $I={\int }_{\Gamma }{y}^2\mathrm{d}x+z^2\mathrm{d}y+x^2\mathrm{d}z,$ 其中 $\Gamma$ 为曲线

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2,\\ x^2+y^2=ax(a>0)\end{array}$$

上 $z⩾0$ 的部分 (即 $Viviani$ 体的顶部曲线), 且从 $x$ 轴正向看 $\Gamma$ 是逆时针方向.

解

参见图 $22.11$. 先求曲线 $\Gamma$ 的参数表达式. 若以 $x$, $y$, $z$ 之一为参数, 则要涉及开方运算, 出现分支, 很不方便. 从第二个方程易见引入柱坐标

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z,$$

于是 $\Gamma$ 的参数方程为

$$\begin{array}{l}x=a{\cos }^2\theta ,y=a\cos \theta \sin \theta ,\\ z=\sqrt{a^2-r^2}=a|\sin \theta |,-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

根据曲线定向, 有

$$\begin{array}{rl}I=& {\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}[a^2{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta \cdot 2a\cos \theta (-\sin \theta )\\ & +a^2{\sin }^2\theta \cdot a({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )+a^2{\cos }^4\theta \cdot z^{\prime }(\theta )]d\theta .\end{array}$$

第一项是奇函数, 且因子 $z(\theta )$ 是偶函数, 所以 $z^{\prime }(\theta )$ 是奇函数, 故第三项也是奇函数, 于是

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{a}^3{\sin }^2\theta ({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\mathrm{d}\theta \\ & =2a^3{\int }_0^{\pi /2}({\sin }^2\theta -2{\sin }^4\theta )\mathrm{d}\theta =-\frac{\pi }{4}{a}^3.\end{array}$$

有的时候空间曲线的参数方程不容易写出或写出来比较复杂, 我们可以借助下列命题把问题转化为平面曲线的曲线积分.

命题24.2.1

设逐段光滑曲线 $\Gamma$ 在光滑曲面 $z=f(x,y)$ 上，曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲线为 $\gamma$ ，函数 $P(x,y,z)$ 在 $\Gamma$ 上连续，则

$${\oint }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x={\oint }_{\gamma }P(x,y,f(x,y))\mathrm{d}x,$$

其中 $\gamma$ 的定向与 $\Gamma$ 的定向一致.

证明

设 $\gamma$ 的参数方程为

$$x=\phi (t),y=\psi (t),a⩽t⩽b,$$

则空间曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$x=\phi (t),y=\psi (t),z=f(\phi (t),\psi (t)).$$

于是

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x& ={\int }_a^{b}P[\phi (t),\psi (t),f(\phi (t),\psi (t))]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & ={\oint }_{\gamma }P(x,y,f(x,y))\mathrm{d}x.\end{array}$$

24.2.2 两类曲线积分的关系

坐标微元 $\mathrm{d}r=\tau \mathrm{d}s,$ 其中 $\tau$ 为曲线沿指定方向的单位切向.因而就有

$${\int }_{\Gamma }\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{\Gamma }(\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot \mathbf{\tau })\mathrm{d}s.$$

对于空间曲线 $\Gamma$ ，设 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是切方向余弦，则

$${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\int }_{\Gamma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}s.\text{\hspace{1em}(24.5)}$$

当 $\Gamma$ 为平面曲线时, 取法线的方向 $n$ 与切线的方向 $\tau$ 的夹角 $\angle (n,\tau )=\frac{\pi }{2}$ , 见图 $24.2$, 则

$$\begin{array}{c}\angle (x,n)=\angle (x,\tau )+\angle (\tau ,n)=\alpha -\frac{\pi }{2},\\ \text{即}\end{array}$$ $$\cos \alpha =-\sin (x,\mathbf{n}),\sin \alpha =\cos (x,\mathbf{n}).$$

于是 $\Gamma$ 为平面曲线时

图24.2

$${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{\Gamma }[-P\sin (x,\mathbf{n})+Q\cos (x,\mathbf{n})]\mathrm{d}s.\text{\hspace{1em}(24.6)}$$

24.2.3 第二型曲线积分的应用

求变力做功

例24.2.3

已知一平面力场, 它的方向指向坐标原点, 它的大小与它到原点的距离 $r$ 的平方成反比:

$$F=\frac{\mu }{r^2},$$

其中 $\mu$ 为常数. 计算当质量 $m=1$ 的质点自位置 $A$ 移动到位置 $B$ (不通过原点)时力场做的功.

解

以 $(x,y)$ 表示点的坐标. 设力与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ , 则

$$\cos \theta =-\frac{x}{r},\sin \theta =-\frac{y}{r}.$$

于是力在 $x$, $y$ 方向的分量分别为

$$F_1(x,y)=F\cos \theta =-\mu \frac{x}{r^3},F_2(x,y)=F\sin \theta =-\mu \frac{y}{r^3}.$$

而功可表示为曲线积分

容易看出

$$\begin{array}{rl}w& =-\mu {\int }_{\widetilde{AB}}\frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{r^3}.\\ & -\frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{r^3}=\mathrm{d}\frac{1}{r},\end{array}\text{\hspace{1em}(24.7)}$$

且如将 $x$, $y$ 用参数表达式 $x=\phi (t),y=\psi (t)$ 代入，其中 $a⩽t⩽b$ ，并令

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\phi }^2(t)+{\psi }^2(t)}$$

时, 等式 $(24.7)$ 仍成立. 于是

$$w=\mu {\int }_a^b\mathrm{d}\frac{1}{r}={\frac{\mu }{r}|}_a^b=\mu \left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right),$$

其中 $r_A,r_B$ 分别表示原点到点 $A$, $B$ 的距离.

梯度曲线 设 $f$ 是区域 $D\subset R^3$ 上的 $C^1$ 函数，并设 $\nabla f$ 是在 $D$ 上处处不为零的向量。若 $\Gamma$ 是自某点 $(x_0,y_0,z_0)\in D$ 出发的可微曲线，它的每一点的切线方向与 $f$ 的梯度方向一致，就称 $\Gamma$ 为 $f$ 在 $D$ 上的梯度曲线。设 $\Gamma$ 的参数方程为

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),$$

则可取 $x(t)$ ， $y(t)$ 和 $z(t)$ 满足如下微分方程组：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{|\nabla f|}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{|\nabla f|}\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{|\nabla f|}\frac{\partial f}{\partial z},\text{\hspace{1em}(24.8)}$$

初始值为 $x(0)=x_0,y(0)=y_0,z(0)=z_0$ 。由常微分方程组解的存在性定理和延拓定理①， $x(t),y(t)$ 和 $z(t)$ 在 $D$ 内存在并可延伸到 $D$ 的边界。由 $(24.8)$， $\Gamma$ 的弧长微分满足

$$\mathrm{d}s=\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2+(z^{\prime }(t){)}^2}\mathrm{d}t=\mathrm{d}t.$$

下面我们借助 ${\mathbf{R}}^2$ 中的梯度曲线重新讨论例题21.3.3 竞赛第二十八届的B6题，它公布的标准答案就是例题21.3.3的解答.我们现在可以将那里的梯度模的最小值的上界估计从 $Putnam$ 竞赛第二十八届的B6题，它公布的标准答案就是例题21.3.3的解答.我们现在可以将那里的梯度模的最小值的上界估计从 $16$ 改进为 $4$.

例24.2.4

设 $f(x,y)$ 在单位圆盘 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽1\}$ 上具有连续的一阶偏导数，且满足 $|f(x,y)|⩽1,\forall (x,y)\in D$ ，证明：存在点 ${\mathbf{p}}_0(x_0,y_0)\in \mathrm{int}D=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ ，使得 $(f_x^2+f_y^2){|}_{(x_0,y_0)}⩽4.$

证明

如果有点 $(x_0,y_0)$ , 使 $\nabla f(x_0,y_0)=0$ , 即 $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$ , 则估计式成立. 如果 $\nabla f$ 在 $D$ 中处处不为零向量, 则 $f$ 在 $D$ 中的梯度曲线存在. 设 $\Gamma$ 是 $f$ 在 $D$ 中的梯度曲线, 其参数方程为

$$x=x(t),y=y(t),t\in [0,T],$$

$\Gamma$ 的起点为原点, 终点为 $(x(T),y(T))$ . 由曲线积分公式得到

$$\begin{array}{rl}f(x(T),y(T))-f(0,0)& ={\int }_0^T\left(\frac{\partial f}{\partial x}{x}^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}{y}^{\prime }(t)\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^T\frac{\frac{\partial f}{\partial x}{x}^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}{y}^{\prime }(t)}{\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}}\cdot \sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{\Gamma }(\nabla f(x,y)\cdot \mathbf{\tau })\mathrm{d}s.\end{array}$$

设 $l$ 是 $\Gamma$ 的弧长, 并且 $\Gamma$ 自原点出发到达 $D$ 的边界, 则 $l⩾1$ . 如果在 $\mathrm{int}D$ 上处处有 $\nabla f(x,y)\cdot \tau >2$ , 则就有

$$2⩾|f(x(T),y(T))-f(0,0)|>2l⩾2,$$

引出矛盾. 因此存在 $(x_0,y_0)\in \mathrm{int}D$ , 使 $\nabla f(x_0,y_0)\cdot \tau ⩽2$ . 又因为 $\nabla f$ 与 $\tau$ 相切, 故 $\nabla f(x_0,y_0)\cdot \tau =|\nabla f(x_0,y_0)|⩽2$ , 即 $(f_x^2+f_y^2){|}_{(x_0,y_0)}⩽4$ .

用梯度曲线来估计函数差的下界也是十分有效的, 其依据就是函数沿梯度方向增长最快. 用这样的方法可以证明如下的高维中值定理 (见《美国数学月刊》(1999) 第 $106$ 卷 $674$-$675$ 页, 其证明作为第二组参考题 $2$).

设 $f(x)$ 为定义在以 $r$ 为半径的 $n$ 维球

$$D=\left\{\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\mid x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2⩽r^2\right\}$$

上的连续可微函数, 则存在点 ${\mathbf{p}}_0=(p_1^0,p_2^0,\cdots ,p_n^0)\in \mathrm{int}D$ , 使

$$\underset{\mathbf{x}\in D}{\max }\{f(\mathbf{x})\}-\underset{\mathbf{x}\in D}{\min }\{f(\mathbf{x})\}=|\nabla f({\mathbf{p}}_0)|\cdot 2r.$$

利用这个结果或修改上述例题中的证明可以将估计值 $4$ 改进为最佳的估计值 $1$.

24.2.4 练习题

1. 计算 ${\int }_{L}xydx+(y-x)dy$ ，其中 $L$ 为曲线， $\widetilde{AB}$ 方向为由 $A$ 到 $B$， $A=(1,1)$ ， $B=(2,3)$ :

(1) $\widetilde{AB}$ 是直线 $AB$ ; (2) $\widetilde{AB}$ 的方程是 $y=2(x-1{)}^2+1$ ; (3) $\widetilde{AB}$ 是折线 $\overline{ADB},D=(2,1)$ .

2. 求 ${\int }_C\frac{x}{y}dx+\frac{1}{y-a}dy$ ，其中 $C$ 是旋轮线 $x=a(t-\sin t)$ ， $y=a(1-\cos t)$ 对应于 $t=\frac{\pi }{6}$ 到 $t=\frac{\pi }{3}$ 的一段.

3. 求 ${\int }_C(x+y{)}^2\mathrm{d}x+(x^2-y^2)\mathrm{d}y$ ，其中 $C$ 是以 $A(1,1),B(3,2),D(3,1)$ 为顶点的三角形，取顺时针方向.

4. 求 ${\int }_{C}4x{y}^2\mathrm{d}x-3x^4\mathrm{d}y$ ，其中 $C$ 是抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 自 $(0,0)$ 到 $(2,2)$ 的一段.

5. 求 ${\oint }_C(y^2+z^2)\mathrm{d}x+(z^2+x^2)\mathrm{d}y+(x^2+y^2)\mathrm{d}z$ ，其中 $C$ 是曲面 $x^2+y^2+z^2=2Rx$ ， $x^2+y^2=2ax$ 的交线 $(0<a<R,z>0)$ ，且由 $z$ 轴正向看是逆时针方向。

6. 求 ${\int }_{C}ydx+zdy+xdz$ ，其中 $C$ 为球面上的曲线： $x=R\sin \phi \cos \theta ,y=R\sin \phi \sin \theta ,z=R\cos \phi ,$ $R>0,0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta <2\pi ,$

并且使(1) $R,\phi$ 为常数；或(2) $R,\theta$ 为常数.

7. 求 ${\int }_C(x^2+5y+3yz)\mathrm{d}x+(5x+3xy-2)\mathrm{d}y+(3xy-4z)\mathrm{d}z,$ 其中 $C$ 为 (1) $x=a\cos t,y=a\sin t,z=\frac{bt}{2\pi }$ 自 $t=0$ 到 $2\pi$ 的一段;

(2) 直线段 $AB$, 起点 $A=(a,0,0)$ , 终点 $B=(a,0,b)$ .

8. 已知力场 $\mathbf{F}(x,y,z)=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}+(x+y+z)\mathbf{k}$ ，求质点沿曲线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=\frac{b}{2\pi }t$ 从点 $A(a,0,0)$ 运动到点 $B(a,0,b)$ 时，力场 $\mathbf{F}$ 对质点所做的功.

9. 质点在力场 $F=\frac{e^x}{1+y^2}i+\frac{2y(1-e^x)}{(1+y^2{)}^2}j$ 作用下，沿 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 由点 $(0,0)$ 沿顺时针方向运动到点 $(1,1)$，求力场所做的功.