§$18.3$ 对于教学的建议

$\mathrm{18.3.1}$ 学习要点

$1$. 学生在学习多元函数极限与连续性时, 面临着两个任务: 一方面要复习, 巩固以前学到的 $\epsilon -\delta$ 方法, 这是数学分析的基本功; 另一方面, 多元函数的情况更为复杂, 有许多新的问题产生, 如何对以前的方法进行调整, 有哪些新的注意事项, 都要一一弄清. 为此, 要十分注意习题课内容的条理性.

$2$. 例子在这一章的学习中有着十分重要的地位。学生首先是模仿，然后自己要能举出一些说明问题的反例。比如，针对重极限与累次极限的关系、多元函数连续与一元函数连续的相同点与不同点的一些例子。

$3$. 对习题课的建议

($1$) 关于求极限. 极坐标变换是讨论二元函数极限的有效手段, 学生们很喜欢用, 但在使用时必须小心. 例如

$$f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2},(x,y)\ne (0,0)$$

的极限 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在，但如果用极坐标变换，则

$$f(x,y)=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }\to 0,\text{如果}\theta \ne 0,\pi ;$$

而当 $\theta =0,\pi$ 时， $y=0$ ，故 $f(x,y)=0$ ，因此容易误认为 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$ 。产生错误的原因在于忽视了用极坐标变换计算二元函数极限时，要求极限过程对 $\theta \in [0,2\pi )$ 一致地成立。而上述计算中极限过程与 $\theta$ 有关。事实上，如果我们选择一条特殊的趋于原点的曲线

$$L=\{(r,\theta )\mid \sin \theta =r{\cos }^2\theta \},$$

则

$$f(x,y){|}_L=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }{|}_L=\frac{1}{2},$$

从而二元函数极限不存在.

($2$) 关于连续性. 在证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续时, 如果需要的话, 学生们都会将 $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ 写为

$$f(x,y)-f\left(x_0,y_0\right)=\left[f(x,y)-f\left(x_0,y\right)\right]+\left[f\left(x_0,y\right)-f\left(x_0,y_0\right)\right].$$

但经常会犯的错误是，由 $f$ 对 $x$ 的连续性得出 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $|x-x_0|<\delta$ 时

$$\left|f(x,y)-f\left(x_0,y\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}.$$

要提醒他们, 对每一个 $y$ , $f(x,y)$ 是一个关于 $x$ 的一元函数, 但含有 $y$ . 因此 $f(x,y)$ 是一族含参数 $y$ 的关于 $x$ 的一元函数, 所以上述 $\delta$ 应该与 $y$ 有关. 这还不是我们在二元连续时需要的 $\delta$ .

可以要求学生总结一下: 如果一个二元函数对每个变元分别连续, 还须加何种条件才可保证二元函数连续 (结合例题 $\mathrm{18.2.2}$). 这个问题可以作为习题课上进一步深入的一个内容.

$\mathrm{18.3.2}$ 参考题

第一组参考题

$1$. 设 $f(x,y)$ 关于 $x$ 在 $[a,b]$ 上连续，且关于 $y$ 单调增加。如果有

$$\underset{y\to d^{-}}{\lim }f(x,y)=f(x,d),x\in [a,b],$$

证明：这一收敛关于 $x\in [a,b]$ 是一致的，即 $\forall \epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，当 $0<d-y<\delta$ 时，对所有的 $x\in [a,b]$ ，都有

$$\left|f(x,y)-f(x,d)\right|<\epsilon .$$

$2$. 设 $f$ 在 $[a,b]\times [a,b]$ 上连续, 定义

$$\phi (x)=\underset{a⩽\xi ⩽x}{\max }\left\{\underset{a⩽y⩽\xi }{\max }\{f(\xi ,y)\}\right\},$$

证明： $\phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续.

$3$. 设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的紧子集, $f$ 为定义在 $D$ 上的函数, 证明: $f$ 在 $D$ 上连续的充分必要条件是下列集合

$$\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^{n+1}\mid y=f(x),x\in D\}$$

是 $R^{n+1}$ 中的紧集.

$4$. 设 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 是 [0,1] 上的 $n$ 个连续函数，称 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 在 [0,1] 上线性相关，若存在不全为零的常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ ，使得

$$\sum _{j=1}^n{c}_j{f}_j(x)\equiv 0,x\in [0,1].$$

证明： $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 在 [0,1] 上线性相关的充分必要条件是

$$\det \left({\left[{\int }_0^1{f}_i(x)f_j(x)\mathrm{d}x\right]}_{n\times n}\right)=0,$$

其中 $\det (A)$ 是 $A$ 的行列式.

$5$. 设 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$ 是 $R^2$ 上的 $k$ 个相异的点, 证明: 存在一个最小半径的圆盘 $B$, 把这 $k$ 个点覆盖. 对于 $R^n$ 中的点, 也有类似的命题.

$6$. 设 $A$, $B$ 是两个 $n$ 阶的实对称方阵, 其中 $B$ 是正定矩阵. 设函数 $G(x)=(x^{\mathrm{T}}Bx{)}^{-1}(x^{\mathrm{T}}Ax)$ 定义在 $E=R^n\setminus \{0\}$ 上, 其中 $x^T$ 是 $x$ 的转置. 证明:

($1$) $G(x)$ 可以在 $E$ 上取到最大值;

($2$) $G(x)$ 的最大值点是与 $A$, $B$ 有关的某个矩阵的特征向量. 请写出这个矩阵.

第二组参考题

$1$. 设 $\mathcal{T}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个映射, 如果存在常数 $\theta$ , $0⩽\theta <1$ 以及正整数 $n_0$ , 使得

$$\left|{\mathcal{T}}^{n_0}\mathbf{x}-{\mathcal{T}}^{n_0}\mathbf{y}\right|⩽\theta |\mathbf{x}-\mathbf{y}|,\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbf{R}}^n,$$

证明：映射 $T$ 有惟一的不动点.

$2$. 设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的有界闭集, $f$ 是 $\Omega$ 到 $\Omega$ 的一个映射, 满足

$$|f(x)-f(y)|<|x-y|,\forall x,y\in \Omega ,x\ne y.$$

证明：$f$ 在 $\Omega$ 中存在惟一的不动点. 能否把命题中有界闭集的假设减弱为一般的有界集或无界的闭集?

$3$. 证明：连续映射将连通集映为连通集.

$4$. 设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的区域, 函数 $f$ 定义在 $\Omega$ 上, 对于点 $x_0\in \Omega$ , 如果 $\forall \epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当点 $x\in \Omega$ , 且 $|x-x_0|<\delta$ 时

$$f(x)<f(x_0)+\epsilon (\text{或}f(x)>f(x_0)-\epsilon ),$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 处上半连续 (或下半连续). 证明:

(1) f 在点 $x_0$ 处上半连续的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 的邻近有上界，且

$$\underset{\Omega \ni \mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0}{\overline{\lim }}f(\mathbf{x})⩽f({\mathbf{x}}_0);$$

(2) f 在点 $x_0$ 处下半连续的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 的邻近有下界, 且

$$\underset{\Omega \ni x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)⩾f(x_0).$$

$5$. 设 $\Omega$ 是 $R^n$ 中的紧集, $f$ 是 $\Omega$ 上的上半连续函数 (下半连续函数), 则 $f$ 在 $\Omega$ 上有上界并达到最大值 (有下界并达到最小值).

$6$. 设 $\{f_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中紧集 $\Omega$ 上的连续函数列, 如果对每个点 $x\in \Omega$ , 均有

$$\underset{k}{\sup }\left\{f_k(\mathbf{x})\right\}<+\infty ,$$

证明：函数

$$f(\mathbf{x})=\underset{k}{\sup }\left\{f_k(\mathbf{x})\right\}$$

在 $\Omega$ 上达最小值.

$7$. ($Peano$ 曲线 ^① ) 设 $\Delta$ 是 $R^2$ 中由 y = 0, $y=\sqrt{3}x$ 和 $y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ 所围成的正三角形闭区域. 映射 $f_0:[0,1]\to \Delta$ 定义为 $f_0(0)=(0,0)$ , $f_0\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ , $f_0(1)=(1,0)$ , 其余线性联结. 则 $f_0([0,1])$ 是 $\Delta$ 中从端点 $A$ 到重心 $K$ 再到端点 $B$ 的一条折线 $L$ (见图 $18.1$($a$)).

然后将 $\Delta$ 等分成四个边长为 $\frac{1}{2}$ 的小正三角形区域 ${\Delta }_i,i=1,2,3,4,L$ 等分成长度为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的四段 $L_i,i=1,2,3,4$ . 设 $g_0:L\to \Delta$ 以类似于 $f_0$ 的方式依次把 $L_i,i=1,2,3,4$ 映到 ${\Delta }_i,i=1,2,3,4$ 中. 令 $f_1=g_0\circ f_0$ , 则 $f_1([0,1])$ 就是 $\Delta$ 中一条联结 $A,B$ 的折线, 由 $2\times 4$ 段直线段连成 (见图 $18.1$($b$)).

再设 $g_1$ 把 $f_1([0,1])$ 的每一段作类似于 $g_0$ 那样的变换. 令 $f_2=g_1\circ f_1$ ，则 $f_2([0,1])$ 就如图所示是一条由 $2\times 4^2$ 段直线段连成的折线（见图 $18.1$($c$)).

依类似的方式定义 $f_k=g_{k-1}\circ f_{k-1}:[0,1]\to \Delta ,k=3,4,\cdots$ ，使得 $f_k([0,1])$ 是一条由 $2\times 4^k$ 段直线段连成的折线，每段直线分别位于边长为 $\frac{1}{2^k}$ 的小正三角形区域中，且 $g_{k-1}$ 保持 $f_{k-1}([0,1])$ 的点在它所在的小正三角形区域中.

($a$)

图 18.1

($c$)

(1) 证明: 任取 n > m, 有 $\left|f_n(t)-f_m(t)\right|⩽\frac{1}{2^m}$ , 从而 $f_n(t)(n=1,2,\cdots )$ 在 [0,1] 上一致收敛. 设其极限映射为 $f$, 证明 $f:[0,1]\to \Delta$ 连续;

(2) 证明: $f([0,1])=\Delta$ , 即连续映射 $f$ 把一个区间 $[0,1]$ 映为 ${\mathbf{R}}^2$ 中的一个面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的区域 $\Delta$ .

$8$. ($Tietze$ (蒂策) 扩张定理) 设 $D\subset {\mathbf{R}}^n$ 为闭子集, $f:D\to \mathbf{R}$ 为连续函数, 且 $|f(x)|⩽M$ , $x\in D$ . 设 $g_0(x)=0$ , $g_k(x)$ 归纳定义为

$$g_k(\mathbf{x})=\frac{2^{k-1}d(\mathbf{x},A_k)}{3^k(d(\mathbf{x},A_k)+d(\mathbf{x},B_k))}-\frac{2^{k-1}d(\mathbf{x},B_k)}{3^k(d(\mathbf{x},A_k)+d(\mathbf{x},B_k))},$$

其中

$$A_k=\{x\in D|{\phi }_k(x)⩾\frac{2^{k-1}}{3^k}M\},$$$$B_k=\left\{\mathbf{x}\in D\mid {\phi }_k(\mathbf{x})⩽-\frac{2^{k-1}}{3^k}M\right\},$$$$\text{ 而 }{\phi }_k(x)=f(x)-[g_0(x)+g_1(x)+\cdots +g_{k-1}(x)],k=1,2,\dots .$$

(1) 证明: $g_k(x)(k=1,2,\dots )$ 连续, 级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{g}_k(x)$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 上一致收敛到 ${\mathbf{R}}^n$ 上的连续函数 $g(x)$ , 并且当 $x\in D$ 时 $g(x)=f(x)$ . 因此 $g$ 称为 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的连续扩张, 也称连续开拓;

(2) 证明: (1) 的结论当 $f$ 并不有界时也成立.

(以上两题取自 [2], 又见 [3] 之 §$16.3$.)

$9$. 是否能把开集上的连续函数连续扩张到全空间？一致连续函数呢？考察 $R$ 中的例子.

$10$. 证明: 可以把定义在 ${\mathbf{R}}^n$ 中有理点集上的一致连续函数惟一扩张到全空间.

第十九章 偏导数与全微分

本章前两节分别讨论多元函数的偏导数与全微分. 在 §$19.3$ 介绍求多元函数偏导数的链式法则. §$19.4$ 是向量值函数的微分学定理. 最后一节是学习要点和参考题. 方向导数、梯度、Taylor 公式等将在第二十一章 (偏导数的应用) 中介绍.