§$2.2$ 收敛数列的基本性质

关于收敛数列有下列基本性质和定理:

1. 收敛数列的极限是唯一的;

2. 收敛数列一定有界;

3. 收敛数列的比较定理, 包括保号性定理;

4. 收敛数列满足一定的四则运算规则;

5. 收敛数列的每一个子列一定收敛于同一极限.

对以上内容不仅要会用, 还应学习它们的证明, 因为其中的方法在数学分析中都是基本的, 学会了这些方法才能说真正懂得了数列收敛的定义和实质.

这里还应指出, 在数列敛散性的讨论中我们经常利用的一个基本事实, 这就是数列的收敛或发散与该数列的 (任意) 有限多项无关. 实际上, 从定义即可看出, 一个数列 $\{a_{n}\}$ 是否收敛, 在收敛时它的极限是什么, 当然和数列的第一项 $a_{1}$ 无关. 将这一个简单事实推而广之, 就得到一个很有用的结论, 即数列是否收敛 (以及在收敛时的极限是什么) 和数列中的有限多项无关. 例如, 对一个给定的数列, 改变它的前 $100$ 项, 或将它们统统去掉, 或在它们之前再增加若干项, 这样我们就得到了新的数列. 从极限的定义可知, 所有这些新的数列的敛散性与原来的数列完全相同. 若原数列收敛, 则所有新数列不但收敛, 而且还有相同的极限.

对于这一事实的用法举几个例子．实际上，在前面讲适当放大法时已经提到，不等式 $|a_{n} - a| < f(n)$ 并不一定要对所有正整数成立，只要对足够大的 $n$ 成立就可以了．在两个例题中我们都是这样做的．又如在今后的许多定理中，其中的条件均可以修改为在 $n$ 充分大时成立即可．以下面将多次使用的单调有界数列的收敛定理为例，一个给定的数列虽然并非单调，但从某项以后单调，就可以使用这个定理.

## $2.2.1$ 思考题

1. 设 $\{a_{n}\}$ 收敛而 $\{b_{n}\}$ 发散, 问: 数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 和 $\{a_{n}b_{n}\}$ 的敛散性如何?

2. 设 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 都发散, 问: 数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 和 $\{a_{n}b_{n}\}$ 的敛散性如何?

3. 设 $a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$ , 已知 $\lim_{n \to \infty} (c_{n} - a_{n}) = 0$ , 问: 数列 $\{b_{n}\}$ 是否收敛?

4. 找出下列运算中的错误:

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(\frac {1}{n + 1} + \dots + \frac {1}{2 n}\right) = \lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{n + 1} + \dots + \lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {1}{2 n} = 0.
$$

5. 设已知 $\{a_{n}\}$ 收敛于 $a$ , 又对每个 $n$ 有 $b < a_{n} < c$ , 问: 是否成立 $b < a < c$ ?

6. 设已知 $\{a_{n}\}$ 收敛于 $a$ , 又有 $b \leqslant a \leqslant c$ , 问: 是否存在 $N$ , 使得当 $n > N$ 时成立 $b \leqslant a_{n} \leqslant c$ ?

7. 设已知 $\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$ ，问：是否有 $\lim_{n\to\infty}(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})=0$ ？又问：反之如何？

## $2.2.2$ 例题

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