§8.2 函数的单调性

设函数 $f\in C(I)$ , 在 $I$ 的内点处处可微, 则有以下结论.

$1$. $f$ 为区间 $I$ 上的单调函数的充分必要条件是导函数不变号.

$2$. $f$ 为区间 $I$ 上的严格单调函数的充分必要条件是除了导函数不变号外, 还在集合 $\{x\in I\mid f^{\prime }(x)=0\}$ 中不包含任何长度大于零的区间.

证明的方法是用 $Lagrange$ 中值定理. 这在教科书中都有, 不再重复.

从数列极限和函数极限的学习开始, 单调性就一直起着重要的作用. 现在以导数为工具, 给出了判定单调性的新的有效方法, 可以说解决了函数研究中的一个基本问题. 搞清了函数的不同单调区间, 也就知道了函数图像的上升与下降, 这对解决许多问题都是有帮助的.

8.2.1 例题

虽然函数的单调性与导数有如上所说的密切关系, 但仅仅由一个点上的导数符号不能得出单调性. 请将下一个例题与命题 $\mathrm{7.1.1}$ 联系起来考虑这个问题.

例8.2.1

问：由函数在一个点上的导数符号大于(小于)$0$能否推出函数在该点的一个充分小的邻域上为单调？

解

答案是不能. 举例如下: 令

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2x^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

则易求出 $f^{\prime }(0)=1>0$ . 又可以求出当 $x\ne 0$ 时的导函数表达式为

$$f^{\prime }(x)=1+4x\sin \frac{1}{x}-2\cos \frac{1}{x}.$$

取 $x=\frac{1}{n\pi }$ ，则有

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)=1-2(-1{)}^n,$$

可见在 $x=0$ 的任意邻近导函数 $f^{\prime }(x)$ 都不保号. 因此在 $x=0$ 的每个邻域上 $f$ 都不是单调的 (该函数在 $x>0$ 部分的图像见图 $8.2$($a$)).

图 8.2

在任何一个区间上不单调的连续函数和可微函数都是存在的 (见 [$57$]).

例8.2.2

问：函数在其极值点的每一侧邻近是否一定具有单调性？

解

答案是不一定. 举例如下: 令

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0,\\ -x^2\left(2+\sin \frac{1}{x}\right),& x\ne 0,\end{array}$$

则 $f$ 在 $x=0$ 处取到极大值 $0$.从不等式

$$-3x^2⩽f(x)⩽-x^2$$

即可求出 $f^{\prime }(0)=0$ .但当 $x\ne 0$ 时

$$f^{\prime }(x)=-4x-2x\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x},$$

因此在极值点 $x=0$ 两侧的任意邻近都不可能是单调的 (见图 $8.2$($b$)).

例8.2.3

设函数 $f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+\alpha }$ ，证明：当 $\alpha ⩾\frac{1}{2}$ 时， $f$ 于 $x>0$ 时严格单调减少；而当 $\alpha <\frac{1}{2}$ 时，则 $f$ 于 $x$ 充分大时严格单调增加。

证明

用对数求导法, 可以写出

$$f^{\prime }(x)=f(x)\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+\alpha }{x^2+x}\right].$$

将上式右边记为 $f(x)\cdot u(x)$ , 则 $f^{\prime }$ 与 $u$ 同号. 由于有

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)=0,$$

只要观察 $u$ 是否单调即可判定其符号. 计算得到

$$u^{\prime }(x)=\frac{\alpha +(2\alpha -1)x}{x^2(1+x{)}^2}.$$

可见当 $\alpha ⩾\frac{1}{2}$ 和 $x>0$ 时有 $u^{\prime }(x)>0$ , 因此 $u$ 为严格单调增加函数, 所以当 $x>0$ 时 $u(x)<0$ 成立. 这保证了 $f$ 在 $x>0$ 时严格单调减少. 当 $\alpha <\frac{1}{2}$ 时, 则至少在 $x$ 充分大时 $u^{\prime }(x)<0$ , 所以有 $u(x)>0$ . 这保证了函数 $f$ 在 $x$ 充分大时严格单调增加.

例8.2.4

证明: 对每个正整数 $n$, 方程 $x^{n+2}-2x^n-1=0$ 只有唯一正根.

证明

记方程左边的表达式为 $f(x)$ . 从 $f(\sqrt{2})=-1$ 和 $f(+\infty )=+\infty$ 可见方程有大于 $\sqrt{2}$ 的正根. 为了知道 $f$ 的单调性, 求导后得到

$$f^{\prime }(x)=(n+2)x^{n+1}-2n{x}^{n-1}=(n+2)x^{n-1}\left(x^2-\frac{2n}{n+2}\right).$$

因此函数 $f$ 在点

$$\xi =\sqrt{\frac{2n}{n+2}}(<\sqrt{2})$$

的导数值为 $0$. 函数 $f$ 在区间 $[0,\xi ]$ 上严格单调减少，而在区间 $[\xi ,+\infty )$ 上严格单调增加。又从 $f(0)=-1$ ，就知道 $f(x)=0$ 除了上述大于 $\sqrt{2}$ 的一个正根外没有其他正根。

例8.2.5

设 $a>0$, 确定方程 $f(x)=ax-\ln x=0$ 恰有两个正根的条件.

解

从 $f^{\prime }(x)=a-1/x$ 可见在 $(0,a^{-1}]$ 上 $f$ 严格单调减少，而在 $[a^{-1},+\infty )$ 上 $f$ 严格单调增加。又由于

$$f(0^{+})=+\infty ,f(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(a-\frac{\ln x}{x}\right)=+\infty ,$$

可见方程 $f(x)=0$ 有两个正根的条件是

$$f\left(\frac{1}{a}\right)=1-\ln \frac{1}{a}<0.$$

由此可以确定 $a$ 应当满足条件 $a<\frac{1}{\mathrm{e}}$ .

8.2.2 练习题

练习题

$1$. 问: 单调函数若可微, 则其导函数是否也单调? 反之又如何? 请举例说明.

$2$. 证明: 函数 ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ 在区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调增加.

$3$. 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微, $f(0)=0$ 且 $f^{\prime }$ 严格单调增加, 证明: $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上也严格单调增加.

$4$. 设 $f,g$ 在 $[0,a]$ 上连续, 在 $(0,a)$ 上可微, $f(0)=g(0)=0$ , $f^{\prime },g^{\prime }>0$ , 证明: 如果 $f^{\prime }/g^{\prime }$ 单调增加, 则 $f/g$ 也单调增加.

$5$. 设 $f$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上二阶可微, 并且满足条件: ($1$) $f(a)>0$ ; ($2$) $f^{\prime }(a)<0$ ; ($3$) 在 $x>a$ 时 $f^{\prime \prime }(x)⩽0$ , 证明: $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 内有且只有一个零点.

$6$. 设 $f\in C[a,+\infty )$ , 且当 $x>a$ 时成立 $f^{\prime }(x)>k>0$ , 其中 $k$ 为常数, 证明: 若 $f(a)<0$ , 则于区间 $(a,a-f(a)/k)$ 内方程 $f(x)=0$ 有且只有一个实根.

$7$. 设 $a>0$ , 证明: 方程 $a{\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}$ 只有一个实根.

$8$. 证明: 方程 $f(x)=\left(\frac{2}{\pi }-1\right)\ln x-\ln 2+\ln (1+x^2)=0$ 在开区间 $(0,1)$ 内只有一个实根.