§$3.2$ 闭区间套定理

$\mathrm{3.2.1}$ 基本内容

1. 称 $\{I_n\}$ 为一个闭区间套, 如果每个 $I_n$ 是闭区间, 而且成立单调减少的包含关系, 即 $I_n\supset I_{n+1},n\in N_{+}$ . 也就是说有 $I_1\supset I_2\supset \cdots \supset I_n\supset \cdots$ .

闭区间套定理

2. 闭区间套定理：若 $\{I_n\}$ 为闭区间套，则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n\ne \varnothing$ 。又如 $I_n$ 的长度 $|I_n|\to 0$ ，则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n$ 为单点集。

3. 闭区间套定理的另一种形式: 设有闭区间序列 $\{[a_n,b_n]\}$ 满足条件

$$a_n⩽a_{n+1}⩽b_{n+1}⩽b_n,n\in {\mathbf{N}}_{+},$$

则存在 $\xi$ , 使得 $a_n⩽\xi ⩽b_n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 又如 ${\lim }_{n\to \infty }|b_n-a_n|=0$ , 则上述 $\xi$ 是唯一的. 这时数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 从点 $\xi$ 的两侧单调收敛于同一极限 $\xi$ .

证明

闭区间套定理的证明. 从定理的第二种形式, 就可以清楚地看出, 闭区间套的左右端点分别形成两个数列, 其中左端点所成的数列 $\{a_n\}$ 单调增加, 以每个 $b_n$ 为上界; 而右端点所成的数列 $\{b_n\}$ 单调减少, 以每个 $a_n$ 为下界, 因此它们都收敛. 记 $\{a_n\}$ 的极限为 $\alpha$ , $\{b_n\}$ 的极限为 $\beta$ . 在不等式 $a_n⩽b_n$ 两边取极限, 就有 $\alpha ⩽\beta$ . 而且对每个 $n$ 成立 $a_n⩽\alpha ⩽\beta ⩽b_n$ . 因此在 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间取 $\xi$ 即可. 在 $|b_n-a_n|\to 0$ 时, 从推导可见 $\alpha =\beta$ , 因此 $\xi$ 唯一.

5. 评注 从表面上看, 与单调有界数列的收敛定理相比较, 闭区间套定理似乎没有多少新的东西. 后者只不过是含有两个有一定关系的单调数列而已. 但实际上并非如此. 这里可以指出两点: (1) 闭区间套定理并不限于实数系, 可以推广为非常一般的形式, 有许多重要应用, 而单调性定理则离不开数直线上的序关系; (2) 与闭区间套定理相联系, 有构造闭区间套的方法, 从而在应用中往往要比单调有界数列的收敛定理强得多 (见下面的例子).

6. 在上一章中已经见到许多例题, 在其中有收敛于同一极限的两个单调性相反的单调序列. 可以说在这些例题中自然地出现了闭区间套 (请看第二章的例题 $\mathrm{2.3.5}$, $\mathrm{2.6.2}$, $\mathrm{2.7.3}$ 和命题 $\mathrm{2.5.1}$ 的证 $1$, 命题 $\mathrm{2.5.6}$, $\mathrm{2.6.2}$ 等).

$\mathrm{3.2.2}$ 例题

现在通过例子介绍用 $Bolzano$ (波尔查诺) 二分法来构造闭区间套.

例 $3.2.1$

用闭区间套定理证明实数集 $\mathbf{R}$ 是不可列集.

证明

用反证法. 设 $\mathbf{R}$ 可列, 则存在 $\mathbf{R}$ 与正整数集 ${\mathbf{N}}_{+}$ 之间的一一对应, 因此可以将实数集 $\mathbf{R}$ 的所有元, 即所有实数, 排成一个序列:

$$\mathbf{R}=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots \right\}.$$

现在开始构造闭区间套．根据 $x_1$ ，取闭区间 $I_1\subset \mathbf{R}-\{x_1\}$ ．然后根据 $I_1$ 和 $x_2$ 取闭区间 $I_2\subset I_1-\{x_2\}$ ．一般地，在有了 $I_{n-1}$ 之后，可以根据 $x_n$ ，取闭区间 $I_n\subset I_{n-1}-\{x_n\}$ .这样就可以归纳地得到一个闭区间套 $\{I_n\}$ .应用闭区间套定理，存在一个实数 $\xi$ ，它属于每一个闭区间 $I_n$ ，因此对每一个 $n$ ，都有 $\xi \ne x_n$ .这样就找到了一个不在 $\mathbf{R}$ 中的实数，引出矛盾. □

例 $3.2.2$

用闭区间套定理证明: 有界数列必有收敛子列 (即凝聚定理).

证明

设 $\{x_n\}$ 有界, 且有 $a<b$ 使 $a⩽x_n⩽b$ 对每个 $n$ 成立. 改记 $a_1=a$ , $b_1=b$ , 令 $I_1=[a_1,b_1]$ 为第一个闭区间, 然后取这个区间的中点 $c_1=(a_1+b_1)/2$ , 这样得到两个子区间: $[a_1,c_1]$ 和 $[c_1,b_1]$ . 可以看出, 在这两个子区间中至少有一个含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项. 取具有这个性质的一个子区间为 $I_2$ , 记为 $[a_2,b_2]$ . (如果两个子区间都有此性质, 则任意取定一个为 $I_2$ .) 然后取 $I_2$ 的中点 $c_2=(a_2+b_2)/2$ , 同样在两个子区间 $[a_2,c_2]$ 和 $[c_2,b_2]$ 中取定一个记为 $I_3=[a_3,b_3]$ , 它含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项. 这样进行下去, 就可以归纳地得到一个闭区间套 $\{[a_n,b_n]\}$ . 在这里重要的是, 它不仅是一个闭区间套, 而且还具有构造过程所确定的两个特殊性质: (1) 从第二个闭区间起, 每个闭区间的长度是前一个闭区间的长度的一半. 也就是说有 $|I_{n+1}|=\frac{1}{2}|I_n|,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ; (2) 在每个闭区间中含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项.

应用闭区间套定理于上述 $\{I_n\}$ , 存在 (唯一) $\xi \in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n$ . 但到此为止似乎与我们的目的还是毫不相干. (记住: 我们的目的是要找一个收敛子列.) 从闭区间 $I_1$ 中任取 $x_{n_1}$ (当然可取 $n_1=1$ ), 而在 $I_2$ 中由于它含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项, 这就保证能在 $I_2$ 中取到 $x_{n_2}$ , 满足条件 $n_2>n_1$ . 这样归纳地做下去, 就得到一个子列 $\{x_{n_k}\}$ . 它具有性质: $x_{n_k}\in I_k,k\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 由于

$$\left|x_{n_k}-\xi \right|⩽\left|I_k\right|=\frac{1}{2^{k-1}}\left|I_1\right|=\frac{1}{2^{k-1}}(b-a),$$

可见这个子列收敛于 $\xi$ .

注

请初学者重视上面这个例题, 因为其中所用的构造闭区间套的方法具有典型意义. 使用二分法必然具有性质 (1), 这保证了点 $\xi$ 唯一. 但是更为重要的是构造出具有特殊性质 (2) 的闭区间套.

容易理解, 对于每个具体问题, 所构造的闭区间套一定要具有某种特殊性质. 在上面的例题中, 就是要求每个 $[a_n,b_n]$ 必须含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项. 构造过程就是要求将这个性质保持下去. 通过闭区间套定理将这个特性“凝聚”到一个点 $\xi$ , 也就是说在 $\xi$ 的任何一个邻域内都含有数列 $\{x_n\}$ 中的无穷多项.

为什么要使得这里的每个闭区间 $[a_n,b_n]$ 具有这个性质而不是别的什么性质？这完全由我们的目的所决定。我们的目的是选出收敛子列。由于用二分法得到的闭区间套收缩到唯一的点 $\xi$ ，因此只要从第 $k$ 个区间 $[a_k,b_k]$ 中选子列的第 $k$ 项，就保证了子列收敛。于是问题成为有否可能按这样的方式选出子列？

设想一下, 如果已经有了子列的前 $k$ 项: $x_{n_1},\cdots ,x_{n_k}$ , 它们的下标满足条件 $n_1<n_2<\cdots <n_k$ . 为了在区间 $[a_{k+1},b_{k+1}]$ 内能找到子列的下一项, 即将数列的某一项选为 $x_{n_{k+1}}$ , 满足 $n_k<n_{k+1}$ , 当然需要在这个区间内有数列中的无穷多项以供选择.

以上考虑决定了在二分法中从两个子区间中究竟应当决定取哪一个. 当然也许两个子区间都可以, 这时任取一个即可. 但一般而言是不能任取的. 这方面的具体例子是下一小节的第一个练习题.

请初学者检查本书下面应用闭区间套定理的所有例子 (也包括例题 $\mathrm{3.2.1}$)，观察在每个例子中构造闭区间套时的基本思想是否与这里所讲的相同.

小结

在用闭区间套定理证明某个结论时，关键是如何构造闭区间套。具体而言，就是要确定该闭区间套应该具有什么样的特性。构造过程应该使这种特性从第一个闭区间开始“传递”给第二个闭区间，再从第二个闭区间“传递”给第三个闭区间，依次类推，直到将这个特性“凝聚”到闭区间套所共有的点的任意邻近。当然这种特性要解决我们的问题。想清楚之后（而不是之前）就可以试写出证明。如果还是证明不出，说明上面的特性选择错了，从头再来。

$\mathrm{3.2.3}$ 练习题

练习题 $1$

如果数列是 $\{(-1{)}^n\}$ , 开始的区间是 $[-1,1]$ . 试用例题 $\mathrm{3.2.2}$ 中的方法具体找出一个闭区间套和相应的收敛子列. 又问: 你能否用这样的方法在这个例子中找出 $3$ 个收敛子列?

练习题 $2$

如闭区间套定理中的闭区间套改为开区间套 $\{(a_n,b_n)\}$ , 其他条件不变, 则可以举出例子说明结论不成立.

练习题 $3$

如 $\{(a_n,b_n)\}$ 为开区间套, 数列 $\{a_n\}$ 严格单调增加, 数列 $\{b_n\}$ 严格单调减少, 又满足条件 $a_n<b_n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }(a_n,b_n)\ne \varnothing$ .

练习题 $4$

用闭区间套定理证明确界存在定理.

练习题 $5$

用闭区间套定理证明单调有界数列的收敛定理.