§$23.4$ 对于教学的建议

$\mathrm{23.4.1}$ 学习要点

学习要点

1. 含参变量积分是我们遇到的又一种新的函数表示方式。对于它的分析性质的研究，如连续性、可微性和可积性等，涉及积分运算和其他分析运算的运算次序的交换性。一致收敛性给出了保证交换运算次序的重要条件。在很多情况下，可以用 $M$ -判别法判断一致收敛性，这是应该熟练掌握的。

2. 用嵌入法计算广义积分的值体现了数学中的“嵌入”思想。假设要考虑一个 $1$ 维的问题（比如计算一个定积分）。我们不妨把这个问题放到更高维的框架中，例如再引入一个参变量，把这个积分作为含参变量积分的特例。由于在引入的高维框架中，我们可以有更多的可施展数学工具（如积分、微分等）的天地，就有可能从另一个角度（而这一个角度是我们引入高维框架后带来的）把我们的问题简化，从而达到解决原有问题的目的。在具体计算过程中，要作一些分析。在什么地方引入参变量比较合适，用微分法还是用积分法，都是有讲究的。比如计算 $Dirichlet$ 积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 。把它看成是含参变量积分 $\phi (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 当 $\alpha =0$ 时的值。引入因子 ${\mathrm{e}}^{-\alpha x}$ 有两个作用，对 $\alpha$ 求导可消去导致不可积的因子 $\frac{1}{x}$ ，同时 ${\mathrm{e}}^{-\alpha x}$ 又是收敛因子，保证了在 $\alpha >0$ 时积分 ${\int }_0^{+\infty }{\left({\mathrm{e}}^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}\right)}_{\alpha }^{\prime }\mathrm{d}x$ 的内闭一致收敛性。故可在积分号下求导，则有

$${\phi }^{\prime }(\alpha )=-{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha x}\sin x\mathrm{d}x=-\frac{1}{1+{\alpha }^2}.$$

再积分就有 $\phi (\alpha )=\frac{\pi }{2}-\arctan \alpha ,\alpha >0.$ 如果 $\phi (\alpha )$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，则

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\phi (0)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\phi (\alpha )=\frac{\pi }{2}.$$

3. 含参变量积分的一致收敛性的判别与函数项级数有许多类似之处，同时也要注意到利用积分自身的特点，如变量代换、分部积分等。以 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos x^2}{x^p}dx$ 为例，作变换 $x^2=t$ ，就化为 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos t}{2t^{(p+1)/2}}dt$ ，成为我们熟悉的类型。

4. $B$ 函数的三个积分表达式，各有各的长处，应加以记忆。这样，遇到相应的积分，就可写成特殊的 $B$ 值，再利用余元公式等得到积分值。

5. 对习题课的建议 许多学生对讨论含参变量广义积分的一致收敛性有畏难情绪，习题课上要由浅入深地进行引导，分析难点，找出办法。大多数题目只需使用 $M$ -判别法。在用嵌入法计算一些特殊的广义积分的值时，如果觉得证明计算合理性 (如检验一致收敛性等) 的过程较长，可以在解题时先进行形式运算，算出积分值后再给出运算合理性的证明。

本章的内容综合性强，计算题大多具有一定的技巧性。因此应在习题课上作比较系统的示范和总结。

$\mathrm{23.4.2}$ 参考题

参考题

1. 设 $f(x,t),f_x(x,t)$ 连续，记 $u(x,t)=\frac{1}{2a}{\int }_0^t\mathrm{d}\tau {\int }_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(\xi ,\tau )\mathrm{d}\xi$ ，其中 $a$ 为正常数，证明： $u(x,t)$ 满足

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+f(x,t).$$

2. 设 $n$ 为正整数，证明： $Bessel$ 函数

$$J_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (n\phi -x\sin \phi )\mathrm{d}\phi$$

满足

$$x^2{J}_n^{\prime \prime }(x)+x{J}_n^{\prime }(x)+(x^2-n^2)J_n(x)=0.$$

3. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，且 $f(0)=0$ ，定义

$$\phi (x)={\int }_0^x\frac{f(t)}{\sqrt{x-t}}\mathrm{d}t,0<x⩽1,\phi (0)=0.$$

证明：

(1) $\phi (x)$ 在 $[0,1]$ 上一阶连续可导，且

$${\phi }^{\prime }(x)={\int }_0^x\frac{f^{\prime }(t)}{\sqrt{x-t}}\mathrm{d}t,0<x⩽1,{\phi }^{\prime }(0)=0;$$

(2) $f(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^x\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\sqrt{x-t}}\mathrm{d}t,0<x⩽1.$

4. 设 $f(x)$ 在 $[0,A]$ 上单调 $(A>0)$ ，证明：

$$\underset{\alpha \to +\infty }{\lim }{\int }_0^{A}f(x)\frac{\sin \alpha x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}f(0^{+}).$$

5. 设 $F(t)=t{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-tx}f(x)\mathrm{d}x$ ，其中 $f(x)$ 在 $[0,b]$ 上有界可积 ( $\forall b>0$ )，且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\alpha$ ，证明： ${\lim }_{t\to 0^{+}}F(t)=\alpha$ .

6. 设 $f(x)$ 连续，且 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x$ 收敛，证明：

(1) $g(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t+u)f(u)\mathrm{d}u$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续且有界；

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{\epsilon \pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2/(4\epsilon )}g(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(2)}$$

7. 讨论下列函数在 $(0,1)$ 上的连续性：

$$f(\alpha )={\int }_0^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{|\sin t{|}^{\alpha }}\mathrm{d}t;\text{\hspace{1em}(1)}$$

(2) $g(\alpha )={\int }_0^1\frac{f(t)}{\sqrt{|t-\alpha |}}\mathrm{d}t,$ 其中 $f(t)$ 是 $[0,1]$ 上的有界可积函数.

8. 求曲面 $(x^2+y^2{)}^2+z^4=y$ 所围立体的体积.

9. 求立体

$${\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{1}{n}}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{\frac{1}{n}}+{\left(\frac{z}{c}\right)}^{\frac{1}{n}}⩽1,x,y,z⩾0$$

的质心的 $x$ 坐标.

10. 求星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=R^{\frac{2}{3}}$ 所包围的面积对 $x$ 轴的惯性矩.

11. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 中连续，证明：

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t^2{x}^2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}f(0).$$

12. 设 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，证明：

$$\underset{y\to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-xy}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x.$$

13. 求 ${\int }_0^{+\infty }\cos x^p\mathrm{d}x$ ，其中 $p>1$

14. 求 ${\int }_0^1\ln \Gamma (x)\mathrm{d}x.$

15. 求 $Laplace$ (拉普拉斯) 积分

$$I_k={\int }_0^{+\infty }\frac{\cos bx}{(a^2+x^2{)}^k}\mathrm{d}x,J_k={\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin bx}{(a^2+x^2{)}^k}\mathrm{d}x,a,b>0,k\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

16. 应用 $\Gamma$ 函数的 $Gauss$ 乘积分解公式 ($13.38$) 证明： $Euler$ 常数

$$\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n\right)=-{\Gamma }^{\prime }(1).$$

17. (1) 利用 $n$ 次单位根分解式证明：

$$1+x+\cdots +x^{n-1}=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x-{\mathrm{e}}^{\frac{2k\pi \mathrm{i}}{n}}\right);$$

(2) 利用 (1) 证明：

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}};$$

(3) 证明： $Euler$ 乘积

$$\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{2}{n}\right)\dots \Gamma \left(\frac{n-1}{n}\right)=\frac{(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}}{\sqrt{n}}.$$

图23.2

第二十四章 曲线积分

本章在 §$24.1$ 和 §$24.2$ 两节中分别介绍第一型和第二型曲线积分的定义、计算、应用以及这两类曲线积分之间的关系。§$24.3$ 介绍重要的 $Green$ 公式、平面上曲线积分与路径无关的条件以及等周定理。在 §$24.4$ 中介绍连续向量场的旋转度并用于证明 $Brouwer$ 不动点定理和代数基本定理。最后一节是学习要点和两组参考题。