§$4.1$ 函数极限的定义

$\mathrm{4.1.1}$ 函数极限的基本类型

函数极限有多种类型, 本书中将下面定义的函数极限称为基本类型.

1. 函数 $f$ 在点 $a$ 处有极限 (即收敛) 的定义是: 存在数 $A$ , 使得函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时以 $A$ 为极限 (其定义见下一项).

2. 函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时以 $A$ 为极限 (或函数 $f$ 在点 $a$ 处有极限 $A$ ) 的定义是: 设 $a,A\in \mathbf{R}$ , 函数 $f$ 在点 $a$ 的一个去心邻域上有定义, 若对每一个给定的 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当 $x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ (即 $0<|x-a|<\delta$ ) 时, 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ .

3. 上述定义用逻辑符号 $\forall$ 和 $\exists$ 可简写为: $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ .

4. 若函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时存在极限 $A$ , 则记为 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to a)$ . 注意: 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ 可简记为 $a_n\to a$ , 但在函数极限的记号 $f(x)\to A(x\to a)$ 中的 $(x\to a)$ 一般不能省略 (除非另有约定).

5. 函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $a$ 时是否收敛, 在收敛时极限是什么, 这完全由函数在点 $a$ 附近 (但不包括点 $a$ ) 的性质决定, 因此是函数在点 $a$ 附近的局部性质. 初学者应注意这个特点在解题中的作用, 并由此体会函数极限的意义.

6. 中学教材里的初等函数均成立 ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$ . 实际上这是函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续的定义, 它是下一章的内容. 但对于高等数学来说, 将函数的极限和连续这两个有密切联系但又不同的概念区分开来是必要的.

7. 称 $O_{\delta }(a)-\{a\}$ 为点 $a$ 的一个去心邻域 (或空心邻域). 注意:

$$x\in O_{\delta }(a)-\{a\}⟺0<|x-a|<\delta ⟺x\in (a-\delta )\cup (a+\delta ).$$

$\mathrm{4.1.2}$ 函数极限的其他类型

首先, 恰如在数列极限的情况那样, 在记号 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to a)$ 中的 $A$ 既可以是有限数, 又可以是 $\infty ,+\infty$ 和 $-\infty$

其次, 在记号 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 中的 $a$ 也可以从有限数换为 $\infty ,+\infty$ 和 $-\infty$ 中间的任何一种. 在今后可用记号 $f(\infty ),f(+\infty ),f(-\infty )$ 表示这三类极限.

还有, 在 $a$ 为有限数时, 自变量 $x$ 趋于 $a$ 时又可以受到 $x<a$ 或 $x>a$ 的限制, 这样一来又产生两种单侧极限, 即左侧极限与右侧极限, 分别记为

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\text{与}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x).$$

此外, 单侧极限还有自己的特殊记号: $f(a^{-})$ 与 $f(a^{+})$ .

因此从函数极限的基本类型

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

出发, 其中 $x\to a$ 可以换成 $x\to \infty$ , $x\to +\infty$ , $x\to -\infty$ , $x\to a^{-}$ 和 $x\to a^{+}$ , 共有 $6$ 种. 另一方面, 在 $(4.1)$ 中右边的 (有限数) $A$ 可以换成 $\infty ,+\infty$ 和 $-\infty$ , 共有 $4$ 种. 这样组合就可以得到 $24$ 种不同的极限. 在 $A$ 不是有限数时可称为广义极限 (或非正常极限). 如果再加上数列极限和无穷大数列, 就一共有 $28$ 种.

$\mathrm{4.1.3}$ 思考题

思考题

1. 下列几种叙述能否作为函数极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 的等价定义？

   (1) $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|⩽\epsilon$ ;

   (2) $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|<k\epsilon$ ( $k$ 为常数);

   (3) $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+},\exists \delta >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ ，成立 $|f(x)-A|<1/n;$

   (4) $\forall \epsilon >0,\exists n,\forall x\in O_{\frac{1}{n}}(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ .

2. 下列几种叙述能否作为函数极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 的等价定义？

   (1) $\exists \delta >0,\forall \epsilon >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ ;

   (2) $\forall \delta >0,\exists \epsilon >0,\forall x\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ , 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ ;

   (3) 当 $x$ 充分靠近 $a$ 时, $f(x)$ 越来越接近 $A$ .

3. 用对偶法则给出: (1) “ $f(x)$ 在点 $a$ 不收敛于 $A$ ” 的正面叙述; (2) “ $f(x)$ 在点 $a$ 处没有极限”的正面叙述.

4. 怎样用正面方式叙述下列否定性概念:

   (1) ${\lim }_{x\to \infty }f(x)\ne A;$

   (2) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)\ne A;$

   (3) ${\lim }_{x\to a}f(x)\ne \infty ;$

   (4) ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)\ne A;$

   (5) ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)\ne +\infty .$

$\mathrm{4.1.4}$ 例题

请初学者在以下例题中注意: 处理函数极限的方法与数列极限类似, 但还是有自己的特点. 我们从最简单的例题开始, 逐步增加复杂性.

例 $4.1.1$

证明 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$

证明

根据极限定义, 尽管函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处没有定义, 仍可以考虑它在该点的极限. 由于在 $x\to 1$ 的极限定义中 $x\ne 1$ , 因此在函数 $f$ 的分子和分母中的因子 $x-1$ 可以约去. 这样就有

$$|f(x)-2|=\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|=|x-1|.$$

对 $\epsilon >0$ , 取 $\delta =\epsilon$ , 就可以使 $0<|x-1|<\delta$ 时, 成立 $|f(x)-2|<\epsilon$ .

例 $4.1.2$

求极限 ${\lim }_{x\to 1}(x^2+5)$

解

将 $x^2+5$ 写为 $x^2+5=(x-1{)}^2+2(x-1)+6,$ 可见极限会是 $6$ . 分析

$$\left|\left(x^2+5\right)-6\right|=\left|(x-1{)}^2+2(x-1)\right|=|x-1|\cdot |x+1|,$$

不妨一开始就限制 $\delta ⩽1$ ，也就是说将 $x$ 的范围限制在 $|x-1|<1$ （即 $0<x<2$ ）之内.这时因子 $|x+1|<3,$ 因此对于给定的 $\epsilon >0,$ 只要取 $\delta =\min \left\{1,\frac{1}{3}\epsilon \right\}$ ，就可以从 $0<|x-1|<\delta$ 得到

$$\left|x^2+5-6\right|=|x+1|\cdot |x-1|⩽3|x-1|<3\delta ⩽\epsilon ,$$

故所求的极限确实是 $6$ .

虽然本题很简单, 但仍值得注意. 由于极限类型是 $x\to 1$ , 因此关键在于找出因子 $(x-1)$ . 与此相反的是, 另一个因子 $|x+1|$ 是非本质的, 问题只在于如何估计. 本题的方法在函数极限问题中具有典型性. 这就是对尚未确定的 $\delta$ 事先加一个限制, 然后估计就容易了. 这完全相当于在数列极限的讨论中, 在对 $\epsilon >0$ 取 $N$ 时, 可以根据情况假定 $N$ 已大于某个值, 然后再求出最后的 $N$ . 在讨论函数极限时 (以基本类型 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ 为例), 由于问题只与 $f$ 在点 $a$ 附近的性态有关, 因此可以根据需要取 $a$ 的某个邻域, 将讨论限制在这个邻域中.

思考题

对多项式 $p_n(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ 证明： ${\lim }_{x\to a}{p}_n(x)=p_n(a)$ .

例 $4.1.3$

证明 ${\lim }_{x\to 0}\sin x=0.$

证 $1$

根据定义, 对 $\epsilon >0$ , 考虑不等式 $-\epsilon <\sin x<\epsilon$ . 不妨设已有 $\epsilon <1$ . 利用反正弦函数, 上述不等式等价于

$$-\arcsin \epsilon <x<\arcsin \epsilon .$$

因此只要取 $\delta =\arcsin \epsilon$ ，就保证当 $|x|<\delta$ 时成立 $|\sin x|<\epsilon$ .

证 $2$

从第一章中的三角函数不等式 (即命题 $\mathrm{1.3.6}$ ) 可以知道不等式 $|\sin x|⩽|x|$ 对一切 $x$ 成立. 因此, 对给定的 $\epsilon >0$ , 只要取 $\delta =\epsilon$ 即可.

这个例子似乎太简单, 但还是值得分析. 证 $1$ 是求解不等式, 这种方法不可能解决稍为复杂一点的问题 (参见 $\mathrm{2.1.3}$ 小节对数列的讨论). 证 $2$ 利用了一个基本不等式 $|\sin x|⩽|x|$ , 处理就非常方便. 这就是适当放大或者说简化方法. 例如, 用同样的方法, 几乎原封不动地就可以证明

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0.$$

例 $4.1.4$

证明： ${\lim }_{x\to 1^{-}}\left(\sqrt{\frac{1}{1-x}+1}-\sqrt{\frac{1}{1-x}-1}\right)=0.$

证明

在这里作代换

$$y^{\prime }=\frac{1}{1-x}$$

是很合适的. 由于 $x\to 1^{-}⟺y\to +\infty$ , 因此只要证明

$$\underset{y\to +\infty }{\lim }(\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1})=0.$$

由于 $y\to +\infty$ ，可以假定 $y>1$ 已成立。这时就可以估计出

$$0<\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}=\frac{2}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}}<\frac{2}{\sqrt{y}}.$$

到这里已容易看出, 只要令 $y>M=4/{\epsilon }^2$ , 就能使得

$$0<\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}<\frac{2}{\sqrt{y}}<\epsilon .$$

例 $4.1.5$

设已知 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=a,$ 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\left[xf(x)\right]}{x}=a.$

证明

利用关于整数部分记号 $[x]$ 的基本不等式是本题的唯一要点. 从

$$xf(x)-1<[xf(x)]⩽xf(x)$$

知 (设 $x>0$ )

$$\frac{xf(x)-1}{x}=f(x)-\frac{1}{x}<\frac{[xf(x)]}{x}⩽f(x)$$

成立. 令 $x\to +\infty$ , 用夹逼定理, 可见所求证的结论成立.

我们经常发现, 根据具体问题作适当的变量代换是非常有用的手段. 这里有一个在求极限时作变量代换的合理性问题. 具体来说, 要求极限

${\lim }_{x\to a}F(x),$ 其中 $F(x)=f(g(x))$ ，又已知 ${\lim }_{x\to a}g(x)=A$ 和 ${\lim }_{y\to A}f(y)=B.$ 问：是否成立

$$\underset{x\to a}{\lim }F(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))\stackrel{?}{=}\underset{y\to A}{\lim }f(y)=B.\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

如果这并不是无条件成立的话, 那么在什么条件下成立?

实际上, $(4.2)$ 并不是无条件成立的. 例如, 设 $a=0,A=0$ , 函数 $g(x)\equiv 0$ ,

$$f(y)=\{\begin{array}{ll}1,& y=0,\\ 0,& y\ne 0,\end{array}$$

则有 $f(g(x))\equiv 1$ . 由于 ${\lim }_{y\to 0}f(y)=0,{\lim }_{x\to 0}f(g(x))=1$ , 因此等式 $(4.2)$ 不成立.

在下一个命题中给出使 $(4.2)$ 成立的三个充分条件, 但都不是必要条件.

命题 $4.1.1$

设 ${\lim }_{x\to a}g(x)=A,{\lim }_{y\to A}f(y)=B$ 成立，且在点 $a$ 的某个邻域上 $g(x)=y$ 。如果满足以下条件之一：

1. 存在点 $a$ 的一个空心邻域 $O_{{\delta }_0}(a)-\{a\}$ , 在其中 $g(x)\ne A$ ,

2. ${\lim }_{y\to A}f(y)=f(A),$

3. $A=\infty$ ，且 ${\lim }_{y\to A}f(y)$ 有意义，

则成立

$$\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=\underset{y\to A}{\lim }f(y)=B.$$

证明

在条件 $1$ 或条件 $2$ 满足时, 先将条件 ${\lim }_{y\to A}f(y)=B$ 写为

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall 0<|y-A|<\delta ,\text{ 成立 }|f(y)-B|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(B)}$$

又将条件 ${\lim }_{x\to a}g(x)=A$ 写为

$$\forall \delta >0,\exists \eta >0,\forall 0<|x-a|<\eta ,\text{ 成立 }|g(x)-A|<\delta ,\text{\hspace{1em}(A)}$$

就可以发现不能简单地用代换 $y=g(x)$ 得到 ${\lim }_{x\to a}f(g(x))={\lim }_{y\to A}f(y)=B.$ 这是因为在 $(B)$ 中的 $0<|y-A|<\delta$ 和 $(A)$ 中的 $|g(x)-A|<\delta$ 不一致.

如果满足条件 $1$ , 则在 $(A)$ 中就得到 $0<|g(x)-A|<\delta$ , 因此就消除了上面的不一致性. 如果满足条件 $2$ , 则就有 $f(A)=B$ , 而在 $(B)$ 中就只要 $|y-A|<\delta$ , 这样也消除了上面所说的不一致性.

对于条件 $3$ , 这时 $A=\infty$ , 上面的 $(B)$ 和 $(A)$ 应改写为

$$\forall \epsilon >0,\exists M>0,\forall |y|>M,\text{ 成立 }|f(y)-B|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(B’)}$$

和

$$\forall M>0,\exists \eta >0,\forall 0<|x-a|<\eta ,\text{成立}|g(x)|>M,\text{\hspace{1em}(A’)}$$

因此只要令 $g(x)=y$ 就可以得到所要的结果.

思考题

设 ${\lim }_{x\to a}g(x)=A,{\lim }_{y\to A}f(y)=B,$ 证明 ${\lim }_{x\to a}f(g(x))$ 只有 $3$ 种可能性： (1) ${\lim }_{x\to a}f(g(x))=B;$ (2) ${\lim }_{x\to a}f(g(x))=f(A);$ (3) 极限 ${\lim }_{x\to a}f(g(x))$ 不存在. (本题来自《美国数学月刊》($1975$) 第 $82$ 卷 $63$—$64$ 页.)

下一个例题中的内容也经常出现在极限计算中.

例 $4.1.6$

若 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A>0,{\lim }_{x\to a}g(x)=B,$ 是否有 ${\lim }_{x\to a}f(x{)}^{g(x)}=A^B$ 成立？

解

设已知 ${\lim }_{x\to a}\ln x=\ln a(a>0)$ 和 ${\lim }_{x\to b}{e}^x=e^b$ 成立 (留作练习题 $7$ 和 $8$ ). 在这基础上, 分析以下推导 (其中将 $e^u$ 写成 $\exp (u)$ ):

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to a}f(x{)}^{g(x)}={\lim }_{x\to a}\exp \left[g(x)\ln f(x)\right]=\exp \left[{\lim }_{x\to a}(g(x)\ln f(x))\right]\\ =\exp \left[{\lim }_{x\to a}g(x)\cdot {\lim }_{x\to a}\ln f(x)\right]=\exp \left(B\ln A\right)=A^B.\end{array}$$

可以看出其中只有

$$\underset{x\to a}{\lim }(g(x)\ln f(x))=\underset{x\to a}{\lim }g(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }\ln f(x)\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

这一步可能出问题. 实际上, 在以下三种情况时等式 $(4.3)$ 不一定能够成立. 这就是 (1) $A=0,B=0$ ; (2) $A=+\infty ,B=0$ ; (3) $A=1,B=\infty$ . 它们均使 $(4.3)$ 的左方为 $0\cdot \infty$ 的不定式, 因此不能用普通的乘法运算法则得到等式 $(4.3)$. 按习惯将这三种情况分别称为 $0^0,{\infty }^0$ 和 $1^{\infty }$ 型的不定式. □

从数列极限开始, 除了常见的 $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty$ 和 $\infty -\infty$ 外, 还经常遇到这三种不定式. 例如: $\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$ 是 $1^{\infty }$ 型不定式, $\{\sqrt[n]{n}\}$ 是 ${\infty }^0$ 型不定式. 如将后者取倒数, 就是 $0^0$ 型不定式.

$\mathrm{4.1.5}$ 练习题

练习题

下列各题要求按照函数极限的定义来做:

1. 证明: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=1$ .

2. 证明: ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x(x^2-3x+2)}=-3$ .

3. 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{x^2-x}=0$ .

4. 当 $a$ 取什么数值时， ${\lim }_{x\to -1}\frac{x^3-a{x}^2-x+4}{x+1}$ 存在？此时极限为何？

5. 求 $a,b$ , 使 ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+ax+b}{x^2-x-2}=2$ .

6. 问：使得 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{a+\sin \frac{1}{x}}{x}=\pm \infty$ 的参数 $a$ 是什么？

7. 证明: ${\lim }_{x\to a}\ln x=\ln a$ , 其中 $a>0$ .

8. 证明: ${\lim }_{x\to a}{e}^x=e^a$ .

9. 证明 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to 0}f(x^3)$ 同时存在或不存在, 而当它们存在时必相等.

10. 问 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to 0}f(x^2)$ 是否一定同时存在或不存在？

11. 证明: $Dirichlet$ (狄利克雷) 函数

    $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{是有理数},\\ 0,& x\text{是无理数}\end{array}$$

    在每一点都没有极限.

    (试用几个不同方法证明这个结论. 例如: 从极限的定义出发, 或者用下节中的 $Cauchy$ 收敛准则和 $Heine$ 归结原理.)

12. 试举出一个在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上定义的函数, 使得它在点 $x=1$ 处有极限, 但在区间的其他点都没有极限.

13. 证明: 若 $f$ 为周期函数, 且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ , 则 $f(x)\equiv 0$ .

14. 证明: 任何非常值的周期函数不可能是有理分式函数.