§5.7 对于教学的建议

5.7.1 学习要点

学习要点

本章在极限理论的基础上介绍连续函数 (以及单调函数) 的基本性质. 这是进入微分学 (以及积分学) 前的最后准备工作.

1. 证明连续函数的基本定理和应用它们去解决各个问题不是一回事。实际上，由于这些基本定理反映了连续函数的深刻本质，因此它们将成为今后的重要工具。读者只有通过解题才能对如何运用这些工具获得直接的经验。

2. 单调函数在数学分析中经常出现。本章对单调函数的基本性质作了小结。读者应当注意它们的基础是上一章中的命题 $\mathrm{4.2.2}$。

3. 以“周期$3$蕴涵混沌”为标题的§$5.6$可以作为课外活动材料。由于已有不少数学分析的新书收入了同样的(或更多的)材料，因此在[39]中作者的希望，即将迭代动力系统的材料放到初等课程中去教，正在变为现实。相信读者只要浏览一下就会看到这些最新发现与数学分析有密切关系。注意其中的第一个引理(即例题$\mathrm{5.6.1}$)已经成为数学分析教学中的基本题。

4. 对习题课的建议 函数在某点的连续性概念的基础是极限概念。习题课老师可以把两者联系起来讲。可通过若干例题或课堂练习题来巩固这些概念。当然，复合函数的连续性（包括复合函数的极限存在性）是需要作一定训练的。例题$\mathrm{5.1.2}$, $\mathrm{5.1.4}$和$\mathrm{5.1.4}$小节中的不少练习题等都是合适的材料。

本章习题课重点在于连续函数的整体性质。从以往的教学经验看，学生对学习零点定理、介值定理、有界性定理和最值定理的兴趣比较大。这些定理也很直观。用本书所列举的材料已可组织起比较好的习题课。难点是一致连续性，应该安排为某次习题课的训练重点。本章的§$5.4$给出了训练的框架供参考。比如可分为一致连续的概念、一致连续的判断条件、一致连续的应用三个层次来复习。

5.7.2 参考题

第一组参考题

1. 设非负函数 $f\in C[0,1]$ ，且 $f(0)=f(1)=0$ . 证明：对任一实数 $a\in (0,1)$ ，存在 $x_0\in [0,1]$ ，使得 $x_0+a\in [0,1]$ ，并满足要求 $f(x_0)=f(x_0+a)$ . 又问，如去掉函数 $f$ 非负的条件，则结论还成立否？

2. 设 $f\in C[0,1],f(0)=f(1)$ . 证明: $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 存在 $\xi$ , 使得 $f\left(\xi +\frac{1}{n}\right)=f(\xi )$ .

3. 设 $f\in C[0,1]$ , $f([0,1])\subset [0,1]$ . 证明: $y=f(x)$ 的图像不仅与直线 $y=x$ 有交点, 而且还与直线 $y=1-x$ 有交点.

4. 设 $f\in C(0,+\infty )$ ，又对每个实数 $c$ ，方程 $f(x)=c$ 至多只有有限个实根。试分别给出极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 及 ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ 存在的充分必要条件，并加以证明。

5. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有定义, 对于任意 $x,y$ , 满足 $|f(x)-f(y)|⩽k|x-y|$ ( $0<k<1$ ). 证明:

(1) 函数 $kx-f(x)$ 单调增加;

(2) 存在唯一的 $\xi$ , 使 $f(\xi )=\xi$ .

6. 设 $f_n(x)=x^n+x,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

(1) 证明: 对每个 $n>1$ , 方程 $f_n(x)=1$ 在 $(1/2,1)$ 内有且仅有一个根;

(2) 证明: 若 $c_n\in (1/2,1)$ 是 $f_n(x)=1$ 的根, 则存在 ${\lim }_{n\to \infty }{c}_n$ . 试求出极限值.

7. 设对每个正整数 $n$ , 数集 $A_n\subset [0,1]$ 是有限集, 而且 $A_i\cap A_j=\varnothing ,\forall i,j\in {\mathbf{N}}_{+},i\ne j$ . 定义函数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n},& \text{若}x\in A_n,\\ 0,& \text{若}x\in [0,1]\text{但不在任何}{A}_n\text{中}.\end{array}$

对每个 $a\in [0,1]$ , 求 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ .

8. 设函数 $f$ 在区间 $I$ 内只有可去间断点．定义 $g(x)={\lim }_{t\to x}f(t),x\in I,$ 证明： $g\in C(I)$

9. 证明：若函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上连续且有界，则对每个给定的 $\lambda$ ，存在一个数列 $\{x_n\}$ 满足要求：(1) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ ；(2) ${\lim }_{n\to \infty }[f(x_n+\lambda )-f(x_n)]=0$ .

10. 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上满足带指数的 $Lipschitz$ 条件, 即存在 $M>0,\alpha >0$ , 使得当 $x,y\in I$ 时, 成立 $|f(x)-f(y)|⩽M|x-y{|}^{\alpha }$ . 证明: 若 $\alpha >1$ , 则 $f$ 在 $I$ 上是常值函数.

11. 举出一个函数 $f$ , 它的定义域为 $[0,1]$ , 处处不连续, 但它的值域为区间.

12. 若 $f\in C[a,b]$ , 证明: 对每个给定的 $\epsilon >0$ , 存在区间 $[a,b]$ 上的分段线性函数 $L(x)$ , 使得 $|f(x)-L(x)|<\epsilon$ 在区间 $[a,b]$ 上处处成立.

13. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ , 且 ${\lim }_{x\to \infty }f(f(x))=\infty$ , 证明: ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$ .

14. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ ，且存在 $k>0$ ，使得对任意 $x_1,x_2\in \mathbf{R}$ ，成立 $|f(x_1)-f(x_2)|⩾k|x_1-x_2|$ . 证明： $f$ 严格单调且值域为 $(-\infty ,+\infty )$ .

15. 证明: 不等于常数的连续周期函数一定有最小正周期. 又问: 如果将连续性条件去掉, 结论还能成立否①?

16. 设函数 $f$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上满足 $Lipschitz$ 条件, 其中 $a>0$ . 证明: $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续.

17. 证明：函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是：对任何满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }(x_n-y_n)=0$ 的 $\{x_n\}\subset I$ 和 $\{y_n\}\subset I,$ 都有 ${\lim }_{n\to \infty }[f(x_n)-f(y_n)]=0.$

18. 证明: 函数 $f$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 当 $\{x_n\}$ 为基本数列时, $\{f(x_n)\}$ 也一定是基本数列.

19. 设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上一致连续, 且对任何 $x\in [0,1]$ 有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x+n)=0$ . 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ .

20. 设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续, 证明: 存在非负常数 $a$ 和 $b$ , 使得成立 $|f(x)|⩽a|x|+b$ .

第二组参考题

1. 用连续函数的零点存在定理解决以下“实际问题”：

(1) 一个煎饼, 不论形状如何, 必可切一刀, 使面积二等分;

(2) 两个煎饼, 不论形状如何, 相对位置如何, 必可切一刀, 使它们的面积同时二等分 (双煎饼定理);

(3) 三个煎饼, 不论形状如何, 相对位置如何, 能否切一刀, 使它们的面积同时二等分?

(4) 一个煎饼, 不论形状如何, 是否能以相互垂直的方式切两刀, 使面积四等分?

(5) 某短跑运动员用 $10$ s 跑完 $100$ m. 证明: 其中至少有一段长为 $10$ m 的路程恰用 $1$ s 完成;

(6) 四只脚的方台在不平整的地上可能会摇晃. 但如适当转动的话, 一定能找到使它不摇晃的位置 (若做实验会很有趣);

(7) 给定平面上的一条光滑的封闭曲线, 能否作一个包含这条闭曲线的正方形, 并且它的四边都与曲线相切 (方镜框定理)?

(本题中出现的许多概念, 包括区域、边界、面积、光滑曲线和相切等, 在今后的教学中将会得到严格的数学处理. 但是目前可以采取朴素的观点来对待题中的条件, 因为在所有这些题中, 主要的工具只是零点存在定理, 再加上你的想像力.)

2. 设函数 $f$ 在区间 $[0,n]$ 上连续, 且有 $f(0)=f(n)$ , 其中 $n$ 是一个正整数. 证明: 至少有 $n$ 对不同的 $(x,y)$ , 使得 $f(x)=f(y)$ , 同时 $x-y$ 为非零整数.

3. 设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上定义, 且处处有极限. 证明:

(1) 对每个 $\epsilon >0$ , 在 $[a,b]$ 中使 $|{\lim }_{t\to x}f(t)-f(x)|>\epsilon$ 的点至多只有有限个;

(2) $f$ 在 $[a,b]$ 中至多只有可列个间断点.

4. 证明：区间上的函数不可能以区间的每个点为它的可去间断点.

5. 是否存在定义于 $(-\infty ,+\infty )$ 上的连续函数 $f$ , 使对于每个 $c\in \mathbf{R}$ ,

(1) 方程 $f(x)=c$ 都恰有两个解？

(2) 方程 $f(x)=c$ 都恰有三个解？

6. 设 $n$ 为正整数, 求满足函数方程 $f(x+y^n)=f(x)+(f(y){)}^n$ ( $x,y\in \mathbf{R}$ ) 的所有解.

7. 设 $f\in C[0,1]$ , $f(0)=0$ , $f(1)=1$ , $f(f(x))\equiv x$ . 证明: $f(x)\equiv x$ .

8. 确定使得函数方程 $f(f(x))=k{x}^9$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有连续解时参数 $k$ 应满足的充分必要条件.

9. 设 $f$ 是从 $\mathbf{R}$ 到 $\mathbf{R}$ 的一对一连续映射, 有不动点, 又满足

$$f(2x-f(x))\equiv x,\forall x\in \mathbf{R},$$

证明： $f(x)\equiv x.$

10. 设函数 $f\in C[a,b]$ , 定义 $M(x)={\max }_{a⩽y⩽x}\{f(y)\}$ , $m(x)={\min }_{a⩽y⩽x}\{f(y)\}$ . 证明: 函数 $M,m\in C[a,b]$ .

11. 设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上单调增加, $f(a)>a$ , $f(b)<b$ . 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 内必有不动点.

12. 设 $f$ 在区间 $[0,1]$ 上满足以下条件: (1) $f(0)>0$ , $f(1)<0$ ; (2) 存在一个函数 $g\in C[0,1]$ , 使得 $f+g$ 在 $[0,1]$ 上单调增加. 证明: $f$ 在 $(0,1)$ 中有零点.

13. 设 $f_1,f_2$ 是分别以 $T_1,T_2$ 为周期的连续函数, 且均非常值函数. 证明: 若周期 $T_1,T_2$ 不可公约, 则 $f_1+f_2$ 不是周期函数.

14. 设 $f,g$ 是周期函数, 且有 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-g(x)]=0$ , 证明: $f(x)\equiv g(x)$ . (注意: 本题并不需要 $f$ 和 $g$ 为连续函数的条件.)

15. 证明: 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是: 对每一个 $\epsilon >0$ , 存在正数 $N$ , 使得当 $x,y\in I,x\ne y$ 且

$$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>N$$

时, 成立 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

16. 设 $f$ 在开区间 $I$ 上连续, 且于每点 $x\in I$ 取到极大值 (或者于每点取到极小值). 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数.

17. (本题是对上一题的进一步加强) 设 $f$ 在开区间 $I$ 上连续, 且于每一点 $x\in I$ 处取到极值, 证明: $f$ 为 $I$ 上的常值函数.

18. 若 $x_0$ 为函数 $f$ 的极大值点 (极小值点), 且存在一个邻域 $O(x_0)$ , 使得当 $x\in O(x_0)(x\ne x_0)$ 时满足不等式 $f(x)<f(x_0)(f(x)>f(x_0))$ , 则称 $x_0$ 为 $f$ 的严格极大值点 (严格极小值点). 证明: 任何函数的严格极大值点 (严格极小值点) 至多可列, 并举出同时有可列个严格极大值点和严格极小值点的例子. (在每个区间上有严格极大值和严格极小值的连续函数也是存在的. 见《美国数学月刊》(1983) 第 90 卷 281-282 页和《美国数学月刊》(1985) 第 92 卷 209-211 页.)

19. 设 $f\in C(0,+\infty )$ , 对每个 $x_0>0$ , 有 ${\lim }_{n\to \infty }f(n{x}_0)=0$ . 证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ . (本题可以与 $Heine$ 归结原理对比, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ 的充分必要条件是对每个严格单调增加的正无穷大数列 $\{x_n\}$ , 成立 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=0$ . 本题表明, 当 $f\in C(0,+\infty )$ 时, 上述条件只需对所有等差增加的 $\{x_n\}$ 成立即可.)

20. 设 $f$ 是将区间 $[a,b]$ 映入自身的连续映射. 从 $[a,b]$ 内任一点 $x$ 出发, 用 $x_1=x$ , $x_{n+1}=f(x_n)$ ( $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ) 生成迭代数列 $\{x_n\}$ . 证明: $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{n+1}-x_n)=0$ .

(这个出人意料的结果来自《美国数学月刊》(1976)第83卷273页的论文. 它至少有两方面的意义: (1)给出了一维迭代数列收敛的一个充分必要条件. 这时只假定迭代函数连续, 与第二章中依赖于单调性的几何方法完全不同. 当然也与第三章的压缩映射原理无关. (2)又可看成是 $Cauchy$ 收敛准则在一维迭代数列中的特殊化, 即此时不要求数列中下标任意大的两项之间的差任意小, 而只要求前后两项之差任意小即可.)