§5.5 单调函数 · 《数学分析》

5.5.1 基本性质

单调函数是数学分析中除连续函数类之外的又一类重要函数。本小节列出关于单调函数的主要结果。

首先，从单调函数的单侧极限存在定理 (命题 $4.2.2$ ) 可以知道:

命题 5.5.1

单调函数的间断点是跳跃点，即在该处有两个不等的单侧极限．

证明

不妨只讨论 $f$ 是 $(a, b)$ 上的单调增加函数的情况．设 $x_0 \in (a, b)$ 是 $f$ 的间断点，任取 $x_0$ 两侧的点 $x, x' (x < x_0 < x')$ ，则成立

f (x) \leqslant f (x _ {0}) \leqslant f (x ^ {\prime}).\tag{5.4}

令 $x \to x_0^-$ , $x' \to x_0^+$ ，应用单调函数的单侧极限存在定理，得到

f (x _ {0} ^ {-}) \leqslant f (x _ {0}) \leqslant f (x _ {0} ^ {+}),

并且其中的两个单侧极限都是有限数．因此 $x_0$ 是第一类间断点．

由于 $x_0$ 是间断点，因此在上面的两个不等号 $\leqslant$ 不可能同时成为等号．这样就只能有严格的不等式

f (x _ {0} ^ {-}) < f (x _ {0} ^ {+}),

因此 $x_{0}$ 是第一类间断点中的跳跃点．

命题 5.5.2

单调函数的间断点至多为可列个．

证明

不妨只讨论 $f$ 是开区间 $(a, b)$ 上的单调增加函数，且有无限多个间断点．

若 $x_0 \in (a, b)$ 是 $f$ 的一个间断点，则有 $f(x_0^-) < f(x_0^+)$ 。这时 $f$ 在点 $x_0$ 的函数值满足不等式 $f(x_0^-) \leqslant f(x_0) \leqslant f(x_0^+)$ 。称 $(f(x_0^-), f(x_0^+))$ 为与间断点 $x_0$ 对应的一个跳跃区间。

对 $f$ 的每一个间断点都可以得到一个跳跃区间．我们要证明，任何两个不同的间断点所对应的跳跃区间必不相交．

设 $x_{1}$ 是 $f$ 的另一个间断点，且 $x_{0} < x_{1}$ ．我们要建立

(f (x _ {0} ^ {-}), f (x _ {0} ^ {+})) \cap (f (x _ {1} ^ {-}), f (x _ {1} ^ {+})) = \varnothing .\tag{5.5}

为此在 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 之间插入 $x, x'$ 如下:

x _ {0} < x < x ^ {\prime} < x _ {1},

则有不等式

f (x) \leqslant f (x ^ {\prime}).

固定 $x'$ ，令 $x \to x_0^+$ ，由单调函数的单侧极限存在定理和函数极限的比较定理，得到

f (x _ {0} ^ {+}) \leqslant f (x ^ {\prime}).

再令 $x^{\prime}\to x_{1}^{-}$ ，又得到

f (x _ {0} ^ {+}) \leqslant f (x _ {1} ^ {-}).

于是得到

f (x _ {0} ^ {-}) < f (x _ {0} ^ {+}) \leqslant f (x _ {1} ^ {-}) < f (x _ {1} ^ {+}).

即所要证明的 (5.5).

这样就得到与无限多个间断点一一对应的跳跃区间，且两两不交．又在每个跳跃区间中取一个有理数，从而得到一个有理数集，它与跳跃区间全体形成一一对应．由于有理数集 $\mathbf{Q}$ 为可列集，它的无限子集也是可列集，因此跳跃区间集合为可列集．这就证明了单调函数如有无限个间断点，则必为可列个．

命题 5.5.3

设 $f$ 是区间 $I$ 上的单调函数，其值域 $f(I)$ 为区间的充分必要条件是 $f \in C(I)$ .

证明

先证充分性．若 $f \in C(I)$ ，则 $f(I)$ 为区间．这就是前面已得到的介值定理．这里不需要单调性条件．

再证必要性．不妨设 $f$ 单调增加，已知 $f(I)$ 为区间．要证明 $f$ 处处连续．这里用反证法．若 $f$ 有间断点 $x_0$ ，在它的两侧任取两点 $x$ 和 $x'$ ，则与前面的公式 (5.4) 一样可以得到

f (x) \leqslant f (x _ {0} ^ {-}) \leqslant f (x _ {0}) \leqslant f (x _ {0} ^ {+}) \leqslant f (x ^ {\prime}).

由于 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，所以有 $f(x_0^-) < f(x_0^+)$ 成立．以上不等式对于小于 $x_0$ 的所有 $x$ 和大于 $x_0$ 的所有 $x'$ 成立．这样一来在非空开区间 $(f(x_0^-), f(x_0^+))$ 中至多只可能有一个点 $f(x_0)$ 在值域 $f(I)$ 中，可见 $f(I)$ 不可能是区间．这个矛盾表明 $f$ 不能有间断点．

命题 5.5.4

设 $f$ 是区间 $I$ 上的严格单调连续函数，则 $f$ 的反函数是值域 $f(I)$ 上的严格单调连续函数，且具有与 $f$ 相同的单调性．

证明

不妨只讨论 $f$ 为区间 $I$ 上的严格单调增加连续函数的情况。由于 $f \in C(I)$ ，所以 $f(I)$ 是区间。由于 $f$ 严格单调增加，从 $x_1 < x_2$ 就有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，因此从 $I$ 到 $f(I)$ 的对应是一对一的。这就保证了从 $f(I)$ 到 $I$ 的逆映射存在，即 $f$ 有反函数，记为 $f^{-1}$ 。反函数的定义域为区间 $f(I)$ ，值域为 $f$ 的定义域 $I$ 。

若记映射 $f$ 为 $y = f(x), x \in I$ ，则记其逆映射 $f^{-1}$ 为 $x = f^{-1}(y), y \in f(I)$ .

现证 $f^{-1}$ 也是严格单调增加函数．设有 $y_{1}, y_{2} \in f(I)$ ，且 $y_{1} < y_{2}$ ．则有

x _ {1} = f ^ {- 1} (y _ {1}), x _ {2} = f ^ {- 1} (y _ {2}).

它们是由

y _ {1} = f (x _ {1}), y _ {2} = f (x _ {2})

确定的．由于 $f$ 严格单调增加，可见当 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x_{1} = x_{2}$ 和 $x_{1} > x_{2}$ 都不能成立，因此只有 $x_{1} < x_{2}$ 是可能的．这已表明 $f^{-1}$ 严格单调增加．

由于 $f^{-1}$ 是区间 $f(I)$ 上的单调函数，而值域 $I$ 是区间，因此从上一个命题知道 $f^{-1}$ 是连续函数．

直接用命题 $5.5.4$ 即可得到如下结论:

例 5.5.1

反三角函数 $\arcsin x$ , $\arccos x$ , $\arctan x$ , $\operatorname{arccot} x$ 都是严格单调的连续函数．

在 $3.4.5$ 小节的练习题 $7$ 中出现 $Kepler$ 方程．若将这个方程 $x - q\sin x = a(0 < q < 1)$ 中的 $a$ 看成变量，改记为 $y,$ 则有以下结论：

例 5.5.2

证明

由 $Kepler$ 方程 $y = x - q\sin x (0 < q < 1)$ 可以唯一地确定函数 $x = f(y)$ ，而且它是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的严格单调增加连续函数．

从 $y = x - q\sin x$ 知道它是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的连续函数。由于 $|\sin x| \leqslant 1$ ，可见值域也是 $(- \infty, + \infty)$ 。为研究单调性，设 $x_1 < x_2$ ，则有

y _ {1} - y _ {2} = \left(x _ {1} - q \sin x _ {1}\right) - \left(x _ {2} - q \sin x _ {2}\right) = \left(x _ {1} - x _ {2}\right) - q (\sin x _ {1} - \sin x _ {2}).

由于不等式 $|\sin x| \leqslant |x|$ ，从

\left| \sin x _ {1} - \sin x _ {2} \right| = 2 \left| \sin \frac {x _ {1} - x _ {2}}{2} \right| \cdot \left| \cos \frac {x _ {1} + x _ {2}}{2} \right| \leqslant \left| x _ {1} - x _ {2} \right|

和 $0 < q < 1$ ，可知

\left| q \left(\sin x _ {1} - \sin x _ {2}\right) \right| < \left| x _ {1} - x _ {2} \right|,

因此 $y_{1} - y_{2}$ 与 $x_{1} - x_{2}$ 同号．这就表明 $y = x - q\sin x$ 是严格单调增加函数．用前面的命题 $5.5.4$ 即得所要的结论．

与单调函数类密切有关的是有界变差函数类．有界变差函数可定义为两个单调增加函数之差．它在数学的许多领域中起重要作用．由于篇幅所限，本书不介绍有界变差函数，有需要的读者可参考 [14] 的第三卷第 15 章第 4 节．

5.5.2 练习题

设函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上定义，且对每一个点 $x \in (a, b)$ ，存在邻域 $O(x)$ ，使得 $f$ 在 $O(x)$ 上单调增加，证明: $f$ 在 $(a, b)$ 上单调增加．
设 $f \in C[a, b]$ ，且对 $[a, b]$ 内的任意两个有理数 $r_1, r_2 (r_1 < r_2)$ ，成立 $f(r_1) \leqslant f(r_2)$ ，证明: 函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调增加．
设 $f$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调函数，在每一点定义 $g(x) = f(x^{+})$ ，证明: $g$ 是在 $(- \infty, + \infty)$ 上处处右连续的函数．
设 $f$ 为 $(\infty, +\infty)$ 上的单调函数，且对一切 $x, y \in \mathbf{R}$ 满足 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ ．证明: $f(x) = f(1)x$ .