§$24.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{24.5.1}$ 学习要点

1. 本章的重点之一是计算两型曲线积分，从计算公式可以发现，写出曲线的参数方程是计算的关键部分．一般来说，一条曲线可以有多种参数方程的形式，到底哪一种给计算带来方便，要视具体情况．对如何求曲线的参数方程总结如下．

平面曲线

F (x, y) = 0. (24.17)$$F(x,y)=0.\text{\hspace{1em}(24.17)}$$

方法1

若能从($24.17$)中解出 $y=f(x)$ 或 $x=g(y)$ ，则平面曲线($24.17$)以 $x$ 或 $y$ 为参数的参数方程分别为

x = x, y = f (x)$$x=x,y=f(x)$$

或

x = g (y), y = y.$$x=g(y),y=y.$$

方法2

将极坐标表达式 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 代入($24.17$)得

F (r cos θ , r sin θ) = 0. (24.18)$$F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=0.\text{\hspace{1em}(24.18)}$$

若能从($24.18$)中解出 $r=f(\theta )$ 或 $\theta =g(r)$ ，则平面曲线($24.17$)的以 $\theta$ 或 $r$ 为参数的参数方程分别为

x = f (θ) cos θ , y = f (θ) sin θ$$x=f(\theta )\cos \theta ,y=f(\theta )\sin \theta$$

或

x = r cos g (r), y = r sin g (r).$$x=r\cos g(r),y=r\sin g(r).$$

空间曲线

F (x, y, z) = 0, G (x, y, z) = 0. (24.19)$$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.\text{\hspace{1em}(24.19)}$$

方法1

若能从($24.19$)中解出两个字母，不妨设可解出 $y,z$ 为 $x$ 的函数 $y=\phi (x),z=\psi (x)$，则空间曲线($24.19$)的参数方程为

x = x, y = φ (x), z = ψ (x).$$x=x,y=\phi (x),z=\psi (x).$$

方法2

将球坐标变换或柱坐标代换代入 ($24.19$) 得

F (r sin φ cos θ , r sin φ sin θ , r cos φ) = 0, (24.20)$$F(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )=0,\text{\hspace{1em}(24.20)}$$G (r sin φ cos θ , r sin φ sin θ , r cos φ) = 0 (24.21)$$G(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )=0\text{\hspace{1em}(24.21)}$$

或

F (r cos θ , r sin θ , z) = 0, (24.22)$$F(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)=0,\text{\hspace{1em}(24.22)}$$G (r cos θ , r sin θ , z) = 0. (24.23)$$G(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)=0.\text{\hspace{1em}(24.23)}$$

若能从($24.20$),($24.21$)中或($24.22$),($24.23$)中解出两个字母为第三个字母的函数，同样也可以得到参数方程．

方法3

从($24.19$)中消去一个字母(例如 $z$ )，得一条平面曲线

f (x, y) = 0. (24.24)$$f(x,y)=0.\text{\hspace{1em}(24.24)}$$

它实际上是空间曲线($24.19$)在 $xOy$ 平面上的投影，先写出($24.24$)的参数方程

x = φ (t), y = ψ (t), (24.25)$$x=\phi (t),y=\psi (t),\text{\hspace{1em}(24.25)}$$

再将 ($24.25$) 代入 ($24.19$) 中的某一个方程，得

z = w (t). (24.26)$$z=w(t).\text{\hspace{1em}(24.26)}$$

($24.25$), ($24.26$) 就是空间曲线 ($24.19$) 的参数方程．

2. 关于两类曲线积分之间的关系，关系式 ($24.5$) 是基本的，也是便于记忆的，在平面上也是正确的．但是在平面上常用的是法方向，而不是切方向．所以我们或者记住表达式 ($24.6$)，或者用图 $24.2$ 临时再推导一下．

3. 关于 $Green$ 公式，比较方便于记忆的形式是

oint_ ∂ D P d x + Q d y = iint_ D | c c frac ∂∂ x & frac ∂∂ y P & Q | d x d y.$${\oint }_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

4. 总结求平面上第二型曲线积分 ${\int }_{C}Pdx+Qdy$ 的几种方法:

(1) 用 $Green$ 公式化为二重积分．若 $C$ 为闭曲线，可直接用，若 $C$ 不闭可添加辅助线后用 $Green$ 公式;

(2) 若满足 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ ，如果曲线 $C$ 不封闭，可考虑用求出原函数的方法;

(3) 利用曲线的参数方程化为定积分求解．

$\mathrm{24.5.2}$ 参考题

第一组参考题

1. 证明不等式

| ∫_ C P (x, y) d x + Q (x, y) d y | ≤slant M L,$$\left|{\int }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\right|⩽ML,$$

其中 $L$ 是曲线 $C$ 的弧长，$M={\max }_{(x,y)\in C}\left\{\sqrt{P^2(x,y)+Q^2(x,y)}\right\}$ ，并利用这个不等式证明 ${\lim }_{R\to +\infty }{I}_R=0$ ，其中

I _ R = oint_ x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 frac y d x - x d y(x ^ 2 + x y + y ^ 2) ^ 2.$$I_R={\oint }_{x^2+y^2=R^2}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{(x^2+xy+y^2{)}^2}.$$

2. 求第一型曲线积分

l text (1) ∫_ x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 ln sqrt (x - a) ^ 2 + y ^ 2 d s (| a | ≠ R); text (2) ∫_ x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 ln sqrt (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 d s (a ^ 2 + b ^ 2 ≠ R ^ 2).$$\begin{array}{l}\text{(1)}{\int }_{x^2+y^2=R^2}\ln \sqrt{(x-a{)}^2+y^2}\mathrm{d}s(|a|\ne R);\\ \text{(2)}{\int }_{x^2+y^2=R^2}\ln \sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}\mathrm{d}s(a^2+b^2\ne R^2).\end{array}$$

3. 设 $f(x,y)$ 在 $L$ 上连续，$L$ 是逐段光滑的简单闭曲线，证明:

u (x, y) = oint_ L f (ξ , η) ln sqrt (x - ξ) ^ 2 + (y - η) ^ 2 d s$$u(x,y)={\oint }_{L}f(\xi ,\eta )\ln \sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2}ds$$

当 $x^2+y^2\to +\infty$ 时趋于 $0$ 的充分必要条件是

oint_ L f (ξ , η) d s = 0.$${\oint }_{L}f(\xi ,\eta )\mathrm{d}s=0.$$

4. 设 $u(x,y)$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上连续，证明:

u (x, y) = frac 1π r ^ 2 iint_ (x - ξ) ^ 2 + (y - η) ^ 2 ≤slant r ^ 2 u (ξ , η) d ξ d η$$u(x,y)=\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2⩽r^2}u(\xi ,\eta )\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta$$

$\forall r>0$ 都成立的充分必要条件是

u (x, y) = frac 12 π r oint_ (x - ξ) ^ 2 + (y - η) ^ 2 = r ^ 2 u (ξ , η) d s$$u(x,y)=\frac{1}{2\pi r}{\oint }_{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2=r^2}u(\xi ,\eta )\mathrm{d}s$$

$\forall r>0$ 都成立．

5. 设 $f(x,y)$ 在 $G$ 上一阶连续可微，在 $\partial G$ 上 $f(x,y)=0$ ， $G=\{x^2+y^2⩽a^2\}$．证明：

| iint_ G f (x, y) d x d y | ≤slant frac π3 a ^ 3 max _ G {(f _ x ^ 2 + f _ y ^ 2) ^ frac 12 }.$$\left|{\iint }_{G}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|⩽\frac{\pi }{3}{a}^3\underset{G}{\max }\left\{{\left(f_x^2+f_y^2\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}.$$

6. 设 $P(x,y),Q(x,y)$ 在平面上有连续偏导数，而且对以 $\forall (x_0,y_0)\in {\mathbf{R}}^2$ 为心，以 $\forall r>0$ 为半径的上半圆 $C:x=x_0+r\cos \theta ,y=y_0+r\sin \theta (0⩽\theta ⩽\pi )$ 都有

∫_ C P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0.$${\int }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0.$$

证明： $P(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=0(\forall (x,y)\in {\mathbf{R}}^2).$

第二组参考题

1. 给出旋转度性质 $2$ 的一个不用曲线积分的证明．

2. 证明如下形式的高维中值定理: 设 $f(x)$ 为定义在以 $r$ 为半径的球

D = {boldsymbol x = (x _ 1, x _ 2, … , x _ n) | x _ 1 ^ 2 + x _ 2 ^ 2 + … + x _ n ^ 2 ≤slant r ^ 2 }$$D=\left\{\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\mid x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2⩽r^2\right\}$$

上的连续可微函数，则存在点 ${\mathbf{p}}_0=(p_1^0,p_2^0,\cdots ,p_n^0)\in \mathrm{int}D$，使

max _ boldsymbol x ∈ D {f (boldsymbol x) } - min _ boldsymbol x ∈ D {f (boldsymbol x) } = | ∇ f (boldsymbol p _ 0) | · 2 r.$$\underset{\mathbf{x}\in D}{\max }\{f(\mathbf{x})\}-\underset{\mathbf{x}\in D}{\min }\{f(\mathbf{x})\}=|\nabla f({\mathbf{p}}_0)|\cdot 2r.$$

3. 设 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots ,(a_n,b_n)$ 是 $n$ 边形的 $n$ 个顶点，而且原点在其内部，证明：存在正实数 $x$ 和 $y$，使得

(a _ 1, b _ 1) x ^ a _ 1 y ^ b _ 1 + (a _ 2, b _ 2) x ^ a _ 2 y ^ b _ 2 + … + (a _ n, b _ n) x ^ a _ n y ^ b _ n = (0, 0).$$(a_1,b_1)x^{a_1}{y}^{b_1}+(a_2,b_2)x^{a_2}{y}^{b_2}+\cdots +(a_n,b_n)x^{a_n}{y}^{b_n}=(0,0).$$

4. 设 $D$ 是半径为 $r$ 的一个圆所围成的平面区域，对 $D$ 内的点 $(x,y)$ ，用 $l(x,y)$ 表示以 $(x,y)$ 为圆心， $\delta$ 为半径的圆在 $D$ 外边的那段弧的长度．试求

lim _ δ arrow 0 frac 1δ^ 2 iint_ D l (x, y) d x d y.$$\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{1}{{\delta }^2}{\iint }_{D}l(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

5. 设 $B$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的单位圆盘， $C$ 是单位圆周．$g:B\to {\mathbf{R}}^2\setminus \{0\}$ 是二阶连续可微映射．

(1) 用 $Green$ 公式把 ${\iint }_B\frac{\partial (g_1,g_2)}{\partial (x_1,x_2)}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2$ 表示成 $C$ 上的第二型曲线积分;

(2) 如果 $g$ 在 $C$ 上的限制是恒等映射，即 $g(x)=x,\forall x\in C$ ，证明:

oint_ C x _ 1 d x _ 2 = oint_ C g _ 1 d g _ 2 = oint_ C g _ 1 frac ∂ g _ 2∂ x _ 1 d x _ 1 + g _ 1 frac ∂ g _ 2∂ x _ 2 d x _ 2;$${\oint }_C{x}_1\mathrm{d}{x}_2={\oint }_C{g}_1\mathrm{d}{g}_2={\oint }_C{g}_1\frac{\partial g_2}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+g_1\frac{\partial g_2}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2;$$

(3) 证明: 不存在满足 $g(x)=x,x\in C$ 及 $g(B)\subset C$ 的二阶连续可微映射 $g$;

(4) 对上述命题给出一个几何上的解释．

6. (1) 设 $B,C$ 与题 $5$ 相同， $f:B\to B$ 是二阶连续可微映射， $f(x)\ne x,\forall x\in B$ ，从几何上可见以 $f(x)$ 为起点和 $x$ 为终点的有向线段与 $B$ 的边界 $C$ 相交，则交点可表示为

boldsymbol g (boldsymbol x) = boldsymbol f (boldsymbol x) + t (boldsymbol x) (boldsymbol x - boldsymbol f (boldsymbol x)),$$\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{f}(\mathbf{x})+t(\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mathbf{x})),$$

其中 $t(x)$ 是与 $x$ 有关的参数，证明： $t(x)$ 满足二次方程

t ^ 2 (boldsymbol x) | boldsymbol x - boldsymbol f (boldsymbol x) | ^ 2 + 2 t (boldsymbol x) boldsymbol f (boldsymbol x) · (boldsymbol x - boldsymbol f (boldsymbol x)) + | boldsymbol f (boldsymbol x) | ^ 2 - 1 = 0;$$t^2(\mathbf{x})|\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}^2+2t(\mathbf{x})\mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mathbf{x}))+|\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}^2-1=0;$$

(2) 证明 (1) 中的 $g$ 满足 $g(x)=x,x\in C$ 及 $g(B)\subset C;$

(3) 结合上题证明满足 (1) 的 $f$ 是不存在的，即若 $f:B\to B$ 是二阶连续可微映射，则 $\exists \xi \in B$ ，使 $f(\xi )=\xi$．我们得到了 $Brouwer$ 不动点定理的另一个证明．你能否举几个运用 $Brouwer$ 不动点定理的实际例子．

第二十五章 曲面积分

曲面积分与曲线积分一样也有两类: 与曲面的方向无关的第一型曲面积分和与曲面的方向有关的第二型曲面积分．本章在 §$25.1$ 和 §$25.2$ 两节中讨论 ${\mathbf{R}}^3$ 中的这两类曲面积分以及它们之间的关系，所有的概念和结果都可以推广到 ${\mathbf{R}}^n$ ( $n>3$ ) 的情况．在 §$25.3$ 中介绍 $Gauss$ 公式 (第二型曲面积分与三重积分之间的关系), $Stokes$ (斯托克斯) 公式 (第二型曲面积分与第二型曲线积分之间的关系), 以及在 ${\mathbf{R}}^3$ 中曲线积分与路径无关的条件．在 §$25.4$ 中介绍一些外微分的初步知识．最后一节是习题课教案一例、学习要点和参考题．