§20.4 隐函数及隐函数组的整体存在性 · 《数学分析》

隐函数的整体存在性是一个比较复杂的问题．设 $F(x, y)$ 在 $D = (a, b) \times (c, d)$ 上连续， $F_y(x, y) \neq 0$ , $(x, y) \in D$ ．于是在 $D$ 中每一点附近方程 $F(x, y) = 0$ 可惟一确定一个隐函数 $y = f(x)$ ．但我们不知道当 $y$ 在 $(c, d)$ 变化时，满足方程的 $x$ 是否会布满 $(a, b)$ ．所以我们并不清楚隐函数 $y = f(x)$ 是否可定义在 $(a, b)$ 上．在很多时候 $y = f(x)$ 不能定义在 $(a, b)$ 上．读者可考察例子 $F(x, y) = y - 2x$ , $D = (-1, 1) \times (-1, 1)$ ．下面是隐函数整体存在的一个充分性命题．

命题

20.4.1

设 $F(x,y)$ 在 $D=\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}\mid a<x<b,-\infty<y<+\infty\}$ 中连续， $F_{y}$ 处处存在且 $F_{y}\geqslant m>0$ ，则 $F(x,y)=0$ 在 $(a,b)$ 中存在惟一连续解 $y=f(x)$ .

证明

证 $\forall x_0\in (a,b)$ ，对任意 $y_{2} > y_{1}$ ，考虑

F (x _ {0}, y _ {2}) - F (x _ {0}, y _ {1}) = F _ {y} (x _ {0}, \xi) (y _ {2} - y _ {1}) \geqslant m (y _ {2} - y _ {1}).

固定 $y_{1}$ ，令 $y_{2}\rightarrow +\infty$ ，由 $F(x_0,y_2)\geqslant F(x_0,y_1) + m(y_2 - y_1)$ ，知

\lim _ {y \rightarrow + \infty} F (x _ {0}, y) = + \infty .

固定 $y_{2}$ ，令 $y_{1}\rightarrow -\infty$ ，由 $F(x_0,y_1)\leqslant F(x_0,y_2) - m(y_2 - y_1)$ ，知

\lim _ {y \rightarrow - \infty} F (x _ {0}, y) = - \infty .

由介值定理，存在 $y_{0} \in \mathbf{R}$ (且是惟一的), 使得 $F(x_{0}, y_{0}) = 0$ ．由 $x_{0}$ 的任意性知存在 $y = f(x)$ ，使得 $F(x, f(x)) = 0, x \in (a, b)$ .

至此已证明了 $y = f(x)$ 的存在惟一性， $y = f(x)$ 的连续性的证明与隐函数存在定理中的证明相同． □

注意到以上命题中 $F_{y} \geqslant m > 0$ 是一个很强的条件，它保证了对每个固定的 $x \in (a, b)$ ，存在惟一的 $y = f(x)$ ，使得 $F(x, f(x)) = 0$ 。在高维情况就要复杂得多。

下面只讨论映射 $F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ 是否存在定义在 $\mathbf{R}^{n}$ 上的整体逆映射 $F^{-1}$ 的问题．如果 $F$ 与 $F^{-1}$ 都是连续映射，则称 $F$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 上的同胚．如果 $F$ 与 $F^{-1}$ 都是 $C^{k}$ 映射 (即各个分量函数都是 $k$ 次连续可微函数), 则称 $F$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 上的 $C^{k}$ 同胚．反函数组定理告诉我们，如果 $\forall x \in \mathbf{R}^{n}, \det JF(x) \neq 0$ ，则对每一个 $x$ 都存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $F(x)$ 的邻域 $V$ ，使 $F$ 是 $U$ 到 $V$ 的同胚．但 $F$ 不一定是 $\mathbf{R}^{n}$ 上的整体同胚，即使有类似于命题 $20.4.1$ 的条件也不行．例如考虑可微映射

u = \sqrt {2} \mathrm{e} ^ {\frac {x}{2}} \cos (y \mathrm{e} ^ {- x}), \quad v = \sqrt {2} \mathrm{e} ^ {\frac {x}{2}} \sin (y \mathrm{e} ^ {- x}),\tag{20.24}

其 $Jacobi$ 行列式 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\equiv 1$ 。在 $\mathbf{R}^2$ 的每一点的附近存在逆映射。但映射 (20.24) 是周期的，故其确定的映射不是单射，因而其逆映射在 $\mathbf{R}^2$ 中并不是整体存在的。这里单射是关键，事实上我们有如下逆映射定理。

命题

20.4.2

设开集 $D \subset \mathbf{R}^{n}, f: D \to \mathbf{R}^{n}$ ．如果

(1) f 是 $D$ 上的连续可微映射;

(2) 对每一个 $x \in D$ , $\det J f(x) \neq 0$ ,

则 $G = f(D)$ 为一开集．又如果 $\pmb{f}$ 是 $D$ 上的单射，那么存在由 $G$ 到 $D$ 上的连续可微映射 $\pmb{f}^{-1}$ 满足: 对一切 $\pmb{y} \in G$ 有

\boldsymbol {f} \circ \boldsymbol {f} ^ {- 1} (\boldsymbol {y}) = \boldsymbol {y}, \quad J \boldsymbol {f} ^ {- 1} (\boldsymbol {y}) = (J \boldsymbol {f} (\boldsymbol {x})) ^ {- 1},\tag{20.25}

其中 $x = f^{-1}(y)$ .

证明

证 $\forall y \in f(D)$ , $\exists x \in D$ ，使 $f(x) = y$ , $f$ 定义在 $x$ 的某个邻域上，且 $\det J f(x) \neq 0$ ．由反函数组存在定理，存在 $y$ 的邻域 $V$ ，使逆映射在 $V$ 上惟一存在，即存在惟一的 $f^{-1}(y)$ ，使

\boldsymbol {f} \circ \boldsymbol {f} ^ {- 1} (\boldsymbol {y}) = \boldsymbol {y}, \forall \boldsymbol {y} \in D.

所以 $V \subset f(D)$ ，这就证明了 $y$ 是 $f(D)$ 的内点。由 $y$ 的任意性就证明了 $f(D)$ 是开集。当 $f$ 是 $D$ 到 $G$ 的 1-1 映射时，逆映射是惟一存在的。且整体惟一的逆映射必是局部惟一的逆映射，再结合反函数组存在定理就可证明 (20.25)。

关于整体同胚有许多漂亮的充分必要条件与充分条件，下面是很经典的两个．

命题

20.4.3

(

Hadamard

定理)

设 $F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ 是 $C^{1}$ 映射，并且 $\forall x \in \mathbf{R}^{n}$ ，有 $\det JF(x) \neq 0$ ，即 $Jacobi$ 矩阵 $JF(x)$ 的逆矩阵 $JF^{-1}(x)$ 存在。如果还存在 $M>0$ ，使得 $\|JF^{-1}(x)\| \leqslant M, \forall x \in \mathbf{R}^{n}$ ，其中 $\|\cdot\|$ 表示矩阵的模（如 $\|A\| = \max_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \{|a_{ij}|\}$ ，则 $F$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 到 $\mathbf{R}^{n}$ 的 $C^{1}$ 同胚。

命题

20.4.4

设 $F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ 是 $C^{1}$ 映射，并且 $\forall x \in \mathbf{R}^{n}$ ，有 $\det JF(x) \neq 0$ 。则 $F$ 是 $\mathbf{R}^{n}$ 到 $\mathbf{R}^{n}$ 的 $C^{1}$ 同胚的充分必要条件是

\lim _ {| \boldsymbol {x} | \rightarrow + \infty} | \boldsymbol {F} (\boldsymbol {x}) | = + \infty .

尽管这两个命题的表述在数学分析的范围内很好理解，但它们的证明要用到进一步的数学知识．有兴趣的读者可在以后参考 $Deimling\ K$ 的专著: Nonlinear Functional Analysis (Berlin: Springer-Verlag, 1985) 的第 152–153, 171 页．

我们在参考题中列举了一些可以用多元微积分的知识来讨论的命题．