§19.3 复合函数求导 (链式法则)

19.3.1 复合函数偏导数的链式法则

若 $z=f(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 在点 $(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 可微， $u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ $(i=1,2,\cdots ,m)$ 在点 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 有关于 $x_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 的偏导数，则复合函数

z = f [ g _ 1 (x _ 1, x _ 2, … , x _ n), g _ 2 (x _ 1, x _ 2, … , x _ n), … , g _ m (x _ 1, x _ 2, … , x _ n) ]$$z=f\left[g_1\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right),g_2\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right),\dots ,g_m\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\right]$$

关于自变量 $x_j$ 的偏导数存在且

frac ∂ z∂ x _ j = ∑_ i = 1 ^ m frac ∂ f∂ u _ i · frac ∂ u _ i∂ x _ j, j = 1, 2, … , n. (19.2)$$\frac{\partial z}{\partial x_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial u_i}\cdot \frac{\partial u_i}{\partial x_j},j=1,2,\dots ,n.\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

写成矩阵的形式为

(frac ∂ z∂ x _ 1, frac ∂ z∂ x _ 2, … , frac ∂ z∂ x _ n) = (frac ∂ f∂ u _ 1, frac ∂ f∂ u _ 2, … , frac ∂ f∂ u _ m) ( c c c c frac ∂ u _ 1∂ x _ 1 & frac ∂ u _ 1∂ x _ 2 & … & frac ∂ u _ 1∂ x _ n frac ∂ u _ 2∂ x _ 1 & frac ∂ u _ 2∂ x _ 2 & … & frac ∂ u _ 2∂ x _ n vdots & vdots & & vdots frac ∂ u _ m∂ x _ 1 & frac ∂ u _ m∂ x _ 2 & … & frac ∂ u _ m∂ x _ n ).$$\left(\frac{\partial z}{\partial x_1},\frac{\partial z}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_n}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial u_1},\frac{\partial f}{\partial u_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial u_m}\right)\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \frac{\partial u_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial u_2}{\partial x_1}& \frac{\partial u_2}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_2}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}& \frac{\partial u_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial u_m}{\partial x_n}\end{array}\right).$$

链式法则特款

特款$1$ 若 $z=f(x,y)$ ，而 $x=\phi (t),y=\psi (t)$ ，则

frac d zd t = frac ∂ f∂ x φ^ prime (t) + frac ∂ f∂ y ψ^ prime (t). (19.3)$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}{\phi }^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}{\psi }^{\prime }(t).\text{\hspace{1em}(19.3)}$$

特款$2$ 若 $z=f(x,y,t)$ ，而 $x=\phi (s,t),y=\psi (s,t)$ ，则

frac ∂ z∂ s = frac ∂ f∂ x frac ∂ φ∂ s + frac ∂ f∂ y frac ∂ ψ∂ s, (19.4)$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial s},\text{\hspace{1em}(19.4)}$$frac ∂ z∂ t = frac ∂ f∂ x frac ∂ φ∂ t + frac ∂ f∂ y frac ∂ ψ∂ t + frac ∂ f∂ t. (19.5)$$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}.\text{\hspace{1em}(19.5)}$$

注意

最后一个等式左边的 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 与等式右边的 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 不一样，$\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示函数

z = f [ φ (s, t), ψ (s, t), t ]$$z=f[\phi (s,t),\psi (s,t),t]$$

对 $t$ 求偏导，此时视 $s$ 为常数，而 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 是 $z=f(x,y,t)$ 对 $t$ 求偏导，把 $x,y$ 视为常数．为了避免混乱，有时引入下面的记号

f _ 1 = frac ∂ f∂ x (x, y, t), f _ 2 = frac ∂ f∂ y (x, y, t), f _ 3 = frac ∂ f∂ t (x, y, t),$$f_1=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,t),f_2=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,t),f_3=\frac{\partial f}{\partial t}(x,y,t),$$

其中下标 $i$ $(i=1,2,3)$ 表示对第 $i$ 个自变量求偏导，于是可将 $(19.4)$ ， $(19.5)$ 写为

z _ s = f _ 1 φ_ s + f _ 2 ψ_ s, z _ t = f _ 1 φ_ t + f _ 2 ψ_ t + f _ 3.$$z_s=f_1{\phi }_s+f_2{\psi }_s,z_t=f_1{\phi }_t+f_2{\psi }_t+f_3.$$

写成矩阵的形式为

(z _ s, z _ t) = (f _ 1, f _ 2, f _ 3) ( c c φ_ s & φ_ t ψ_ s & ψ_ t 0 & 1 ).$$(z_s,z_t)=(f_1,f_2,f_3)\left(\begin{array}{cc}{\phi }_s& {\phi }_t\\ {\psi }_s& {\psi }_t\\ 0& 1\end{array}\right).$$

19.3.2 例题

例题 19.3.1

对于幂指函数 $u=x^y$ ，令 $x=\phi (t)$ ， $y=\psi (t)$ ，求 $\frac{du}{dt}$ .

解

由 $(19.3)$ 得

r l frac d ud t & = frac ∂ u∂ x φ^ prime (t) + frac ∂ u∂ y ψ^ prime (t) & = y x ^ y - 1 φ^ prime (t) + x ^ y ln x ψ^ prime (t) = x ^ y (frac yx φ^ prime (t) + ln x ψ^ prime (t)) & = [ φ (t) ] ^ ψ (t) {frac ψ (t)φ (t) φ^ prime (t) + [ ln ψ (t) ] ψ^ prime (t) }.$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}& =\frac{\partial u}{\partial x}{\phi }^{\prime }(t)+\frac{\partial u}{\partial y}{\psi }^{\prime }(t)\\ & =y{x}^{y-1}{\phi }^{\prime }(t)+x^y\ln x{\psi }^{\prime }(t)=x^y\left(\frac{y}{x}{\phi }^{\prime }(t)+\ln x{\psi }^{\prime }(t)\right)\\ & =[\phi (t){]}^{\psi (t)}\left\{\frac{\psi (t)}{\phi (t)}{\phi }^{\prime }(t)+[\ln \psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\right\}.\end{array}$$

(以前我们曾用另外的方法证明过它，参见上册 $165-166$ 页的对数求导法.)

作为公式 $(19.3)$ 的另一个应用，讨论行列式

Δ = | c c c c a _ 1 1 & a _ 1 2 & … & a _ 1 n a _ 2 1 & a _ 2 2 & … & a _ 2 n vdots & vdots & & vdots a _ n 1 & a _ n 2 & … & a _ n n |$$\Delta =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

的求导，其中假定元素 $a_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ 都是 $t$ 的一元函数，它们关于 $t$ 的导数 $\frac{d{a}_{ij}}{dt}$ 都存在．

例题 19.3.2

证明: 行列式 $\Delta$ 的导数等于把 $\Delta$ 内的第 $1$ 行直到第 $n$ 行的元素依次换成它们的导数而得出的 $n$ 个行列式之和．

证

回忆行列式关于第 $i$ 行元素的展开式

Δ = ∑_ j = 1 ^ n A _ i j a _ i j,$$\Delta =\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{a}_{ij},$$

其中 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式．容易看出 $A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{in}$ 中不含有元素 $a_{ij},1⩽j⩽n$，于是

frac ∂ Δ∂ a _ i j = A _ i j.$$\frac{\partial \Delta }{\partial a_{ij}}=A_{ij}.$$

按照公式 $(19.3)$ 有

frac d Δd t = ∑_ i = 1 ^ n ∑_ j = 1 ^ n frac ∂ Δ∂ a _ i j · frac d a _ i jd t = ∑_ i = 1 ^ n ∑_ j = 1 ^ n A _ i j frac d a _ i jd t.$$\frac{\mathrm{d}\Delta }{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial \Delta }{\partial a_{ij}}\cdot \frac{\mathrm{d}{a}_{ij}}{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}\frac{\mathrm{d}{a}_{ij}}{\mathrm{d}t}.$$

注意到 ${\sum }_{j=1}^n{A}_{ij}\frac{d{a}_{ij}}{dt}$ 也表示一个行列式的展开式，它同已知行列式 $\Delta$ 的差别仅在于把 $\Delta$ 中第 $i$ 行的元素 $a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}$ 换成它们的导数 $\frac{d{a}_{i1}}{dt},\frac{d{a}_{i2}}{dt},\cdots ,\frac{d{a}_{in}}{dt}$，由此可知结论成立．

注

在使用链式法则 $(19.2)$ 时，要求 $f(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 在点 $(u_1,u_2,\cdots ,u_m)$ 可微，否则公式 $(19.2)$ 有可能失效，请看下面的例子:

f (x, y) = { l l frac x ^ 2 yx ^ 2 + y ^ 2, & text 当 (x, y) ≠ (0, 0), 0, & text 当 (x, y) = (0, 0). .$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0).\end{array}$$

由于

f _ x (x, y) = { l l frac 2 x y ^ 3(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, & text 当 (x, y) ≠ (0, 0), 0, & text 当 (x, y) = (0, 0), .$$f_x(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x{y}^3}{(x^2+y^2{)}^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0),\end{array}$$f _ y (x, y) = { l l frac x ^ 2 (x ^ 2 - y ^ 2)(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, & text 当 (x, y) ≠ (0, 0), 0, & text 当 (x, y) = (0, 0), .$$f_y(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2{)}^2},& \text{当}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{当}(x,y)=(0,0),\end{array}$$

可以看出 $f_x$ 与 $f_y$ 都在 $(0,0)$ 点不连续，容易证明 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微．令 $x=y=t$ ，则 $f(t,t)=\frac{1}{2}t$ ，从而 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}$．如果用链式法则，有

frac d fd t = f _ x x _ t ^ prime + f _ y y _ t ^ prime.$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=f_x{x}_t^{\prime }+f_y{y}_t^{\prime }.$$

当 $(x,y)=(0,0)$ 时， $\frac{df}{dt}=0.$

问题出在 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 不可微，也就是不满足链式法则的条件．

例题 19.3.3

设 $f(x,y)$ 在 $R^2$ 上有连续偏导数，且 $f(x,x^2)\equiv 1$ .

(1) 若 $f_x(x,x^2)=x$，求 $f_y(x,x^2)$ ;

(2) 若 $f_y(x,y)=x^2+2y$，求 $f(x,y)$ .

解

(1) 对 $f(x,x^2)\equiv 1$ 两边求导得

f _ x + 2 x f _ y = 0.$$f_x+2x{f}_y=0.$$

由条件得

x + 2 x f _ y = 0,$$x+2x{f}_y=0,$$

所以当 $x\ne 0$ 时，$f_y(x,x^2)=-\frac{1}{2}$．由 $f_y$ 的连续性知，当 $x=0$ 时也有 $f_y(x,x^2)=-\frac{1}{2}$ .

(2) 令 $F(x,y)=f(x,y)-(x^{2}y+y^2)$ ，则 $F(x,y)$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上连续可微，且

F _ y (x, y) = 0.$$F_y(x,y)=0.$$

于是 $F(x,y)$ 只是 $x$ 的函数，即 $F(x,y)=\phi (x)$ ，从而

f (x, y) = x ^ 2 y + y ^ 2 + φ (x).$$f(x,y)=x^{2}y+y^2+\phi (x).$$

再由 $f(x,x^2)\equiv 1$ 得 $\phi (x)=1-2x^4$ ，所以

f (x, y) = x ^ 2 y + y ^ 2 + 1 - 2 x ^ 4.$$f(x,y)=x^{2}y+y^2+1-2x^4.$$

例题 19.3.4

设 $u=f(x,y)$ ， $v=g(x,y,u)$ ， $w=h(x,u,v)$ ，求 $\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y}.$

解

复合这几个函数得到

w = h [ x, f (x, y), g (x, y, f (x, y)) ].$$w=h[x,f(x,y),g(x,y,f(x,y))].$$

从而

frac ∂ w∂ x = h _ 1 + h _ 2 frac ∂ f∂ x + h _ 3 (g _ 1 + g _ 3 frac ∂ f∂ x),$$\frac{\partial w}{\partial x}=h_1+h_2\frac{\partial f}{\partial x}+h_3\left(g_1+g_3\frac{\partial f}{\partial x}\right),$$frac ∂ w∂ y = h _ 2 frac ∂ f∂ y + h _ 3 (g _ 2 + g _ 3 frac ∂ f∂ y).$$\frac{\partial w}{\partial y}=h_2\frac{\partial f}{\partial y}+h_3\left(g_2+g_3\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

例题 19.3.5

设二元连续可微函数 $F$ 在直角坐标下可写为 $F(x,y)=f(x)g(y)$ ，在极坐标系中可写为 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(r)$ 。若 $F(x,y)$ 无零点，求 $F(x,y)$ 。

解

注意

r l frac ∂ F∂ θ & = frac ∂ F∂ x frac ∂ x∂ θ + frac ∂ F∂ y frac ∂ y∂ θ & = f ^ prime (x) g (y) (- r sin θ) + f (x) g ^ prime (y) r cos θ & = - y f ^ prime (x) g (y) + x f (x) g ^ prime (y).$$\begin{array}{rl}\frac{\partial F}{\partial \theta }& =\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }\\ & =f^{\prime }(x)g(y)(-r\sin \theta )+f(x)g^{\prime }(y)r\cos \theta \\ & =-y{f}^{\prime }(x)g(y)+xf(x)g^{\prime }(y).\end{array}$$

另一方面有

frac ∂ F∂ θ = frac ∂ h (r)∂ θ = 0.$$\frac{\partial F}{\partial \theta }=\frac{\partial h(r)}{\partial \theta }=0.$$

于是 $-y{f}^{\prime }(x)g(y)+xf(x)g^{\prime }(y)=0.$ 当 $x\ne 0,y\ne 0$ 时有

frac f ^ prime (x)x f (x) = frac g ^ prime (y)y g (y). (19.6)$$\frac{f^{\prime }(x)}{xf(x)}=\frac{g^{\prime }(y)}{yg(y)}.\text{\hspace{1em}(19.6)}$$

由于上式对任意的 $x\ne 0,y\ne 0$ 恒成立，于是

frac f ^ prime (x)x f (x) = frac g ^ prime (y)y g (y) = λ , (19.7)$$\frac{f^{\prime }(x)}{xf(x)}=\frac{g^{\prime }(y)}{yg(y)}=\lambda ,\text{\hspace{1em}(19.7)}$$

其中 $\lambda$ 为任一常数．由 $(19.7)$ 得

frac f ^ prime (x)f (x) = λ x,$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\lambda x,$$

即 $(\ln f{)}^{\prime }={\left(\frac{\lambda }{2}{x}^2\right)}^{\prime }$，所以

ln f (x) = frac λ2 x ^ 2 + C, (19.8)$$\ln f(x)=\frac{\lambda }{2}{x}^2+C,\text{\hspace{1em}(19.8)}$$

其中 $C$ 为任意常数．由 $(19.8)$ 得到

f (x) = C _ 1 e ^ frac λ x ^ 22,$$f(x)=C_1{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda x^2}{2}},$$

其中 $C_1$ 为任意常数．由 $(19.7)$ 还可得到

g (y) = C _ 2 e ^ frac λ y ^ 22,$$g(y)=C_2{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda y^2}{2}},$$

其中 $C_2$ 为任意常数．最后得到

F (x, y) = C e ^ frac λ (x ^ 2 + y ^ 2)2,$$F(x,y)=C{\mathrm{e}}^{\frac{\lambda \left(x^2+y^2\right)}{2}},$$

其中 $C,\lambda$ 为任意常数．$F(x,y)$ 在 $x=0$ 或 $y=0$ 的值由连续性得到．

例题 19.3.6

设 $a,b\ne 0,f$ 具有二阶连续偏导数，且

a ^ 2 frac ∂^ 2 f∂ x ^ 2 + b ^ 2 frac ∂^ 2 f∂ y ^ 2 = 0, (19.9)$$a^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+b^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0,\text{\hspace{1em}(19.9)}$$f (a x, b x) = a x, (19.10)$$f(ax,bx)=ax,\text{\hspace{1em}(19.10)}$$f _ x (a x, b x) = b x ^ 2. (19.11)$$f_x(ax,bx)=b{x}^2.\text{\hspace{1em}(19.11)}$$

求 $f_{xx}(ax,bx),f_{xy}(ax,bx),f_{yy}(ax,bx)$ .

解

对 $(19.10)$ 两边求导，得

a f _ x (a x, b x) + b f _ y (a x, b x) = a. (19.12)$$a{f}_x(ax,bx)+b{f}_y(ax,bx)=a.\text{\hspace{1em}(19.12)}$$

对 $(19.11)$ ， $(19.12)$ 两边求导得

a f _ x x (a x, b x) + b f _ x y (a x, b x) = 2 b x, (19.13)$$a{f}_{xx}(ax,bx)+b{f}_{xy}(ax,bx)=2bx,\text{\hspace{1em}(19.13)}$$a ^ 2 f _ x x (a x, b x) + 2 a b f _ x y (a x, b x) + b ^ 2 f _ y y (a x, b x) = 0. (19.14)$$a^2{f}_{xx}(ax,bx)+2ab{f}_{xy}(ax,bx)+b^2{f}_{yy}(ax,bx)=0.\text{\hspace{1em}(19.14)}$$

由 $(19.9)$ ， $(19.14)$ 得

f _ x y (a x, b x) = 0. (19.15)$$f_{xy}(ax,bx)=0.\text{\hspace{1em}(19.15)}$$

将 $(19.15)$ 代入 $(19.13)$ 得

f _ x x (a x, b x) = frac 2 ba x.$$f_{xx}(ax,bx)=\frac{2b}{a}x.$$

最后将 $(19.16)$ 代入 $(19.9)$ 得

f _ y y (a x, b x) = - frac 2 ab x. (19.16)$$f_{yy}(ax,bx)=-\frac{2a}{b}x.\text{\hspace{1em}(19.16)}$$

19.3.3 齐次函数

定义 如果函数 $f(x,y)$ 满足 $f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$ ，其中 $t>0$，则称 $f$ 是 $n$ 次齐次函数。齐次函数有如下性质：

命题 19.3.1

设 $f$ 有连续偏导数，则 $f$ 是 $n$ 次齐次函数的充分必要条件是

x frac ∂ f∂ x (x, y) + y frac ∂ f∂ y (x, y) = n f (x, y).$$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=nf(x,y).$$

命题 19.3.2

设 $f(x,y)$ 是二次连续可微的 $n$ 次齐次函数，则

(x frac ∂∂ x + y frac ∂∂ y) ^ 2 f (x, y) = n (n - 1) f (x, y),$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(x,y)=n(n-1)f(x,y),$$

这里 ${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2=x^2{\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^2+2xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)+y^2{\left(\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2$ 是一种缩写的形式记号，即把 $x,y,\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}$ 都看成为常数后按二项式展开，但并不是将算子 $x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$ 对 $f(x,y)$ 接连作用两次．

命题 19.3.3

若 $f(x,y)$ 是二次连续可微的 $n$ 次齐次函数，则 $f_x(x,y),f_y(x,y)$ 是 $(n-1)$ 次齐次函数．

命题 19.3.4

若 $f(x,y)$ 是在 $R^2\setminus \{0\}$ 上连续的 $n$ 次齐次函数，则

| f (x, y) | ≤slant C (x ^ 2 + y ^ 2) ^ frac n2,$$|f(x,y)|⩽C(x^2+y^2{)}^{\frac{n}{2}},$$

其中 $C$ 为正常数．

以上命题都可以推广到任意个自变量的情形．它们的证明都不难，留给读者．

例题 19.3.7

证明： $u=\phi \left(\frac{y}{x}\right)+y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 满足方程

x ^ 2 frac ∂^ 2 u∂ x ^ 2 + 2 x y frac ∂^ 2 u∂ x ∂ y + y ^ 2 frac ∂^ 2 u∂ y ^ 2 = 0, (19.17)$$x^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2xy\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\text{\hspace{1em}(19.17)}$$

其中 $\phi ,\psi$ 均为二次连续可微函数．

分析

当然可以通过复合函数求导数来验证方程，但观其特点，首先是由 $\phi$ 和 $\psi$ 的任意性知 $\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 与 $y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 都应该满足方程．又注意到 $\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 为零次齐次函数，$y\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ 为一次齐次函数，且方程 $(19.17)$ 可写为

(x frac ∂∂ x + y frac ∂∂ y) ^ 2 u = 0.$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}u=0.$$

证

由命题 $\mathrm{19.3.2}$ 知

(x frac ∂∂ x + y frac ∂∂ y) ^ 2 φ (frac yx) = 0 (0 - 1) φ (frac yx) = 0,$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\phi \left(\frac{y}{x}\right)=0(0-1)\phi \left(\frac{y}{x}\right)=0,$$(x frac ∂∂ x + y frac ∂∂ y) ^ 2 [ y ψ (frac yx) ] = 1 · 0 · [ y ψ (frac yx) ] = 0.$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\left[y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=1\cdot 0\cdot \left[y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=0.$$

于是

(x frac ∂∂ x + y frac ∂∂ y) ^ 2 [ φ (frac yx) + y ψ (frac yx) ] = 0.$${\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2\left[\phi \left(\frac{y}{x}\right)+y\psi \left(\frac{y}{x}\right)\right]=0.$$

这就是所要证明的．

19.3.4 练习题

1. 设 $u={\mathrm{e}}^x+\sin y+t,x=st,y=s+t,$ 求 $\frac{\partial u}{\partial t}$ .

2. 设 $u=f(s,t)$ , $s=\frac{x}{y}$ , $t=\frac{y}{z}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}$ .

3. 设 $u=f(s,t,y)$ , $s=\phi (x,y)$ , $t=\psi (x,y)$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ .

4. 设 $u=e^x\sin y,x=2st,y=t+s^2$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial s},\frac{\partial u}{\partial t}$ .

5. 设 $u=f(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2)$，求 $\mathrm{d}u$ .

6. 设 $f(x,y,z)={\left(\frac{x}{y}\right)}^{1/z}$ ，求 $\mathrm{d}f(1,1,1)$ .

7. 设 $w=F(xy,yz)$ , $F$ 为有连续偏导数的二元函数，证明:

x frac ∂ w∂ x + z frac ∂ w∂ z = y frac ∂ w∂ y.$$x\frac{\partial w}{\partial x}+z\frac{\partial w}{\partial z}=y\frac{\partial w}{\partial y}.$$

8. 设 $z=f(xy)$ , $f$ 为可微的一元函数，证明:

x frac ∂ z∂ x - y frac ∂ z∂ y = 0.$$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=0.$$

9. 设二元函数 $u=F(x,y)$ 满足方程

x frac ∂ u∂ x + y frac ∂ u∂ y = 0,$$x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0,$$

证明： $F(x,y)$ 在极坐标系下只是 $\theta$ 的函数．

10. 设二元函数 $F$ 在直角坐标系中可写成 $F(x,y)=f(x)g(y)$ ，在极坐标中可写成 $F(r\cos \theta ,r\sin \theta )=h(\theta )$ ，求 $F(x,y)$ .

11. 证明: $u=\phi (x+at)+\psi (x-at)$ 满足方程

frac ∂^ 2 u∂ t ^ 2 - a ^ 2 frac ∂^ 2 u∂ x ^ 2 = 0,$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,$$

其中 $\phi ,\psi$ 为具有二阶连续导数的一元函数．

12. 设 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 满足

frac ∂ x∂ u = frac ∂ y∂ v, frac ∂ x∂ v = - frac ∂ y∂ u,$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u},$$

又设 $w=w(x,y)$ 满足方程

frac ∂^ 2 w∂ x ^ 2 + frac ∂^ 2 w∂ y ^ 2 = 0,$$\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}=0,$$

证明：

(1) $w=w(x(u,v),y(u,v))$ 满足方程 $\frac{{\partial }^{2}w}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial v^2}=0;$

(2) $\frac{{\partial }^2(xy)}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^2(xy)}{\partial v^2}=0.$

13. 证明：可微函数 $z=f(x,y)$ 仅是 $ax+by(ab\ne 0)$ 的函数的充分必要条件是

b frac ∂ z∂ x = a frac ∂ z∂ y.$$b\frac{\partial z}{\partial x}=a\frac{\partial z}{\partial y}.$$

14. 设 $u(x,y)$ 有连续二阶偏导数，$F(s,t)$ 有连续一阶偏导数，且满足

F (u _ x, u _ y) = 0, F _ s ^ 2 + F _ t ^ 2 ≠ 0,$$F(u_x,u_y)=0,F_s^2+F_t^2\ne 0,$$

证明： $u_{xx}{u}_{yy}-u_{xy}^2=0.$

15. 设 $u=f(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$．试求 $u(x,y)$ .