§$18.3$ 对于教学的建议

$\mathrm{18.3.1}$ 学习要点

$1$．学生在学习多元函数极限与连续性时，面临着两个任务: 一方面要复习，巩固以前学到的 $\epsilon -\delta$ 方法，这是数学分析的基本功; 另一方面，多元函数的情况更为复杂，有许多新的问题产生，如何对以前的方法进行调整，有哪些新的注意事项，都要一一弄清．为此，要十分注意习题课内容的条理性．

$2$．例子在这一章的学习中有着十分重要的地位。学生首先是模仿，然后自己要能举出一些说明问题的反例。比如，针对重极限与累次极限的关系、多元函数连续与一元函数连续的相同点与不同点的一些例子。

$3$．对习题课的建议

($1$) 关于求极限．极坐标变换是讨论二元函数极限的有效手段，学生们很喜欢用，但在使用时必须小心．例如

f (x, y) = frac x ^ 2 yx ^ 4 + y ^ 2, (x, y) ≠ (0, 0)$$f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2},(x,y)\ne (0,0)$$

的极限 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在，但如果用极坐标变换，则

f (x, y) = frac r cos^ 2 θ sin θr ^ 2 cos^ 4 θ + sin^ 2 θ → 0, text 如果 θ ≠ 0, π ;$$f(x,y)=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }\to 0,\text{如果}\theta \ne 0,\pi ;$$

而当 $\theta =0,\pi$ 时， $y=0$ ，故 $f(x,y)=0$ ，因此容易误认为 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$ 。产生错误的原因在于忽视了用极坐标变换计算二元函数极限时，要求极限过程对 $\theta \in [0,2\pi )$ 一致地成立。而上述计算中极限过程与 $\theta$ 有关。事实上，如果我们选择一条特殊的趋于原点的曲线

L = {(r, θ) | sin θ = r cos^ 2 θ },$$L=\{(r,\theta )\mid \sin \theta =r{\cos }^2\theta \},$$

则

f (x, y) | _ L = frac r cos^ 2 θ sin θr ^ 2 cos^ 4 θ + sin^ 2 θ | _ L = frac 12,$$f(x,y){|}_L=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }{|}_L=\frac{1}{2},$$

从而二元函数极限不存在．

($2$) 关于连续性．在证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续时，如果需要的话，学生们都会将 $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ 写为

f (x, y) - f (x _ 0, y _ 0) = [ f (x, y) - f (x _ 0, y) ] + [ f (x _ 0, y) - f (x _ 0, y _ 0) ].$$f(x,y)-f\left(x_0,y_0\right)=\left[f(x,y)-f\left(x_0,y\right)\right]+\left[f\left(x_0,y\right)-f\left(x_0,y_0\right)\right].$$

但经常会犯的错误是，由 $f$ 对 $x$ 的连续性得出 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,$ 当 $|x-x_0|<\delta$ 时

| f (x, y) - f (x _ 0, y) | < frac ε2.$$\left|f(x,y)-f\left(x_0,y\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}.$$

要提醒他们，对每一个 $y$ , $f(x,y)$ 是一个关于 $x$ 的一元函数，但含有 $y$．因此 $f(x,y)$ 是一族含参数 $y$ 的关于 $x$ 的一元函数，所以上述 $\delta$ 应该与 $y$ 有关．这还不是我们在二元连续时需要的 $\delta$ .

可以要求学生总结一下: 如果一个二元函数对每个变元分别连续，还须加何种条件才可保证二元函数连续 (结合例题 $\mathrm{18.2.2}$). 这个问题可以作为习题课上进一步深入的一个内容．

$\mathrm{18.3.2}$ 参考题

第一组参考题

$1$．设 $f(x,y)$ 关于 $x$ 在 $[a,b]$ 上连续，且关于 $y$ 单调增加。如果有

lim _ y arrow d ^ - f (x, y) = f (x, d), x ∈ [ a, b ],$$\underset{y\to d^{-}}{\lim }f(x,y)=f(x,d),x\in [a,b],$$

证明：这一收敛关于 $x\in [a,b]$ 是一致的，即 $\forall \epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，当 $0<d-y<\delta$ 时，对所有的 $x\in [a,b]$ ，都有

| f (x, y) - f (x, d) | < ε .$$\left|f(x,y)-f(x,d)\right|<\epsilon .$$

$2$．设 $f$ 在 $[a,b]\times [a,b]$ 上连续，定义

φ (x) = max _ a ≤slant ξ ≤slant x {max _ a ≤slant y ≤slant ξ {f (ξ , y) } },$$\phi (x)=\underset{a⩽\xi ⩽x}{\max }\left\{\underset{a⩽y⩽\xi }{\max }\{f(\xi ,y)\}\right\},$$

证明： $\phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续．

$3$．设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的紧子集，$f$ 为定义在 $D$ 上的函数，证明: $f$ 在 $D$ 上连续的充分必要条件是下列集合

{(x, y) ∈ mathbf R ^ n + 1 | y = f (x), x ∈ D }$$\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^{n+1}\mid y=f(x),x\in D\}$$

是 $R^{n+1}$ 中的紧集．

$4$．设 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 是 [0,1] 上的 $n$ 个连续函数，称 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 在 [0,1] 上线性相关，若存在不全为零的常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ ，使得

∑_ j = 1 ^ n c _ j f _ j (x) ≡ 0, x ∈ [ 0, 1 ].$$\sum _{j=1}^n{c}_j{f}_j(x)\equiv 0,x\in [0,1].$$

证明： $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 在 [0,1] 上线性相关的充分必要条件是

det ([ ∫_ 0 ^ 1 f _ i (x) f _ j (x) d x ] _ n × n) = 0,$$\det \left({\left[{\int }_0^1{f}_i(x)f_j(x)\mathrm{d}x\right]}_{n\times n}\right)=0,$$

其中 $\det (A)$ 是 $A$ 的行列式．

$5$．设 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$ 是 $R^2$ 上的 $k$ 个相异的点，证明: 存在一个最小半径的圆盘 $B$，把这 $k$ 个点覆盖．对于 $R^n$ 中的点，也有类似的命题．

$6$．设 $A$, $B$ 是两个 $n$ 阶的实对称方阵，其中 $B$ 是正定矩阵．设函数 $G(x)=(x^{\mathrm{T}}Bx{)}^{-1}(x^{\mathrm{T}}Ax)$ 定义在 $E=R^n\setminus \{0\}$ 上，其中 $x^T$ 是 $x$ 的转置．证明:

($1$) $G(x)$ 可以在 $E$ 上取到最大值;

($2$) $G(x)$ 的最大值点是与 $A$, $B$ 有关的某个矩阵的特征向量．请写出这个矩阵．

第二组参考题

$1$．设 $\mathcal{T}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个映射，如果存在常数 $\theta$ , $0⩽\theta <1$ 以及正整数 $n_0$，使得

| mathcal T ^ n _ 0 boldsymbol x - mathcal T ^ n _ 0 boldsymbol y | ≤slant θ | boldsymbol x - boldsymbol y |, ∀ boldsymbol x, boldsymbol y ∈ mathbf R ^ n,$$\left|{\mathcal{T}}^{n_0}\mathbf{x}-{\mathcal{T}}^{n_0}\mathbf{y}\right|⩽\theta |\mathbf{x}-\mathbf{y}|,\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbf{R}}^n,$$

证明：映射 $T$ 有惟一的不动点．

$2$．设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的有界闭集，$f$ 是 $\Omega$ 到 $\Omega$ 的一个映射，满足

| f (x) - f (y) | < | x - y |, ∀ x, y ∈ Ω , x ≠ y.$$|f(x)-f(y)|<|x-y|,\forall x,y\in \Omega ,x\ne y.$$

证明：$f$ 在 $\Omega$ 中存在惟一的不动点．能否把命题中有界闭集的假设减弱为一般的有界集或无界的闭集?

$3$．证明：连续映射将连通集映为连通集．

$4$．设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的区域，函数 $f$ 定义在 $\Omega$ 上，对于点 $x_0\in \Omega$，如果 $\forall \epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当点 $x\in \Omega$，且 $|x-x_0|<\delta$ 时

f (±b x) < f (±b x _ 0) + ε (text 或 f (±b x) > f (±b x _ 0) - ε),$$f(x)<f(x_0)+\epsilon (\text{或}f(x)>f(x_0)-\epsilon ),$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 处上半连续 (或下半连续). 证明:

(1) f 在点 $x_0$ 处上半连续的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 的邻近有上界，且

varlimsup_ Ω ni boldsymbol x arrow boldsymbol x _ 0 f (boldsymbol x) ≤slant f (boldsymbol x _ 0);$$\underset{\Omega \ni \mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0}{\overline{\lim }}f(\mathbf{x})⩽f({\mathbf{x}}_0);$$

(2) f 在点 $x_0$ 处下半连续的充分必要条件是 $f$ 在点 $x_0$ 的邻近有下界，且

varliminf_ Ω ni x → x _ 0 f (x) ≥slant f (x _ 0).$$\underset{\Omega \ni x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)⩾f(x_0).$$

$5$．设 $\Omega$ 是 $R^n$ 中的紧集，$f$ 是 $\Omega$ 上的上半连续函数 (下半连续函数), 则 $f$ 在 $\Omega$ 上有上界并达到最大值 (有下界并达到最小值).

$6$．设 $\{f_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中紧集 $\Omega$ 上的连续函数列，如果对每个点 $x\in \Omega$，均有

sup _ k {f _ k (boldsymbol x) } < + ∞ ,$$\underset{k}{\sup }\left\{f_k(\mathbf{x})\right\}<+\infty ,$$

证明：函数

f (boldsymbol x) = sup _ k {f _ k (boldsymbol x) }$$f(\mathbf{x})=\underset{k}{\sup }\left\{f_k(\mathbf{x})\right\}$$

在 $\Omega$ 上达最小值．

$7$. ($Peano$ 曲线 ^① ) 设 $\Delta$ 是 $R^2$ 中由 y = 0, $y=\sqrt{3}x$ 和 $y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ 所围成的正三角形闭区域．映射 $f_0:[0,1]\to \Delta$ 定义为 $f_0(0)=(0,0)$ , $f_0\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ , $f_0(1)=(1,0)$，其余线性联结．则 $f_0([0,1])$ 是 $\Delta$ 中从端点 $A$ 到重心 $K$ 再到端点 $B$ 的一条折线 $L$ (见图 $18.1$($a$)).

然后将 $\Delta$ 等分成四个边长为 $\frac{1}{2}$ 的小正三角形区域 ${\Delta }_i,i=1,2,3,4,L$ 等分成长度为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的四段 $L_i,i=1,2,3,4$．设 $g_0:L\to \Delta$ 以类似于 $f_0$ 的方式依次把 $L_i,i=1,2,3,4$ 映到 ${\Delta }_i,i=1,2,3,4$ 中．令 $f_1=g_0\circ f_0$，则 $f_1([0,1])$ 就是 $\Delta$ 中一条联结 $A,B$ 的折线，由 $2\times 4$ 段直线段连成 (见图 $18.1$($b$)).

再设 $g_1$ 把 $f_1([0,1])$ 的每一段作类似于 $g_0$ 那样的变换．令 $f_2=g_1\circ f_1$ ，则 $f_2([0,1])$ 就如图所示是一条由 $2\times 4^2$ 段直线段连成的折线（见图 $18.1$($c$)).

依类似的方式定义 $f_k=g_{k-1}\circ f_{k-1}:[0,1]\to \Delta ,k=3,4,\cdots$ ，使得 $f_k([0,1])$ 是一条由 $2\times 4^k$ 段直线段连成的折线，每段直线分别位于边长为 $\frac{1}{2^k}$ 的小正三角形区域中，且 $g_{k-1}$ 保持 $f_{k-1}([0,1])$ 的点在它所在的小正三角形区域中．

($a$)

图 18.118.1

($c$)

(1) 证明: 任取 n > m, 有 $\left|f_n(t)-f_m(t)\right|⩽\frac{1}{2^m}$，从而 $f_n(t)(n=1,2,\cdots )$ 在 [0,1] 上一致收敛．设其极限映射为 $f$，证明 $f:[0,1]\to \Delta$ 连续;

(2) 证明: $f([0,1])=\Delta$，即连续映射 $f$ 把一个区间 $[0,1]$ 映为 ${\mathbf{R}}^2$ 中的一个面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的区域 $\Delta$ .

$8$. ($Tietze$ (蒂策) 扩张定理) 设 $D\subset {\mathbf{R}}^n$ 为闭子集，$f:D\to \mathbf{R}$ 为连续函数，且 $|f(x)|⩽M$ , $x\in D$．设 $g_0(x)=0$ , $g_k(x)$ 归纳定义为

g _ k (boldsymbol x) = frac 2 ^ k - 1 d (boldsymbol x , A _ k)3 ^ k (d (boldsymbol x , A _ k) + d (boldsymbol x , B _ k)) - frac 2 ^ k - 1 d (boldsymbol x , B _ k)3 ^ k (d (boldsymbol x , A _ k) + d (boldsymbol x , B _ k)),$$g_k(\mathbf{x})=\frac{2^{k-1}d(\mathbf{x},A_k)}{3^k(d(\mathbf{x},A_k)+d(\mathbf{x},B_k))}-\frac{2^{k-1}d(\mathbf{x},B_k)}{3^k(d(\mathbf{x},A_k)+d(\mathbf{x},B_k))},$$

其中

A _ k = {±b x ∈ D m | φ_ k (±b x) ≥slant frac 2 ^ k - 13 ^ k M },$$A_k=\{x\in D|{\phi }_k(x)⩾\frac{2^{k-1}}{3^k}M\},$$B _ k = {boldsymbol x ∈ D | φ_ k (boldsymbol x) ≤slant - frac 2 ^ k - 13 ^ k M },$$B_k=\left\{\mathbf{x}\in D\mid {\phi }_k(\mathbf{x})⩽-\frac{2^{k-1}}{3^k}M\right\},$$text 而 φ_ k (±b x) = f (±b x) - [ g _ 0 (±b x) + g _ 1 (±b x) + … + g _ k - 1 (±b x) ], k = 1, 2, … .$$\text{ 而 }{\phi }_k(x)=f(x)-[g_0(x)+g_1(x)+\cdots +g_{k-1}(x)],k=1,2,\dots .$$

(1) 证明: $g_k(x)(k=1,2,\dots )$ 连续，级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{g}_k(x)$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 上一致收敛到 ${\mathbf{R}}^n$ 上的连续函数 $g(x)$，并且当 $x\in D$ 时 $g(x)=f(x)$．因此 $g$ 称为 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的连续扩张，也称连续开拓;

(2) 证明: (1) 的结论当 $f$ 并不有界时也成立．

(以上两题取自 [2], 又见 [3] 之 §$16.3$.)

$9$．是否能把开集上的连续函数连续扩张到全空间？一致连续函数呢？考察 $R$ 中的例子．

$10$．证明: 可以把定义在 ${\mathbf{R}}^n$ 中有理点集上的一致连续函数惟一扩张到全空间．

第十九章 偏导数与全微分

本章前两节分别讨论多元函数的偏导数与全微分．在 §$19.3$ 介绍求多元函数偏导数的链式法则． §$19.4$ 是向量值函数的微分学定理．最后一节是学习要点和参考题．方向导数、梯度、Taylor 公式等将在第二十一章 (偏导数的应用) 中介绍．