§17.3 对于教学的建议

17.3.1 学习要点

1. 本章有很多集合论的知识，对于初学者来说是比较抽象的，但它们却是进一步学习数学的基本语言之一。在教学中最基本的要求是理解各类集合的概念。根据我们的经验，以聚点作为一个切入点来展开一些练习很有效果。此外，举例是理解概念的最有效的手段。通常的教科书中有足够的例子供习题课选用。

2. 在上册第三章中的实数系基本定理中，除去单调有界定理和确界存在定理需要用到实数的有序性外，其余四个基本定理都得到了推广，其中闭区间套定理被推广成比较方便的闭集套定理的形式。

3. 在以后的学习中，用得最多的集合概念是区域。我们给出了它的比较正规的描述。根据命题 $\mathrm{17.1.1}$，也可以道路连通开集来定义 ${\mathbf{R}}^n$ 中的区域，这样可以在现阶段避开连通与道路连通这两个易混淆的概念。

4. 多元基本定理延续了第三章的内容，相对而言，学生理解不是很困难。因而有条件时可适当布置一些应用题，如本章的第一组参考题 $2$。

5. 对习题课的建议 教师应该根据实际教学课时来选取材料，确定教案。一般来说，本章的教学时段只有一次多一点的习题课。因此，习题课的安排首先要保证学生能理解概念，能正确叙述多元基本定理的内容。其次是一些初步的集合证明题和基本定理的应用题（可集中于某一个定理，如闭集套定理的应用）。至于连通性的讨论和紧性的等价描述完全是补充内容。

学生们在证明某个集合 $S$ 具有某种性质时，有时采用如下错误证法：先对 $S$ 是开集时证明结论，然后对 $S$ 是闭集时证明结论。由以上两步得到结论成立。要告诉他们尽管开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，但这并不意味着集合只有开集和闭集两大类。

在证明像 $\mathrm{17.2.3}$ 小节中的练习题 $1$ 时，学生们往往不会下手，或者是不会做，或者是不得要领地写一大堆。要引导他们从最简单的情况开始思考。如果 $A$ 为单点集 $\{x\}$ 时，用反证法，设 $d(x,B)=0$，则存在 $y_n\in B$，使得 $|x-y_n|\to 0(n\to \infty )$ 因而 $\{y_n\}$ 是有界列，有收敛子列，然后如例题 $\mathrm{17.2.4}$ 第一步那样推出矛盾。当 $A$ 为一般有界闭集时，讨论是类似的（此时如何证明 $\{y_n\}$ 也是有界列呢？）。

17.3.2 参考题

第一组参考题

1. 证明：${\mathbf{R}}^n$ 中每个闭集可表为可列个开集的交，每个开集可表为可列个闭集的并。

2. 用闭集套定理证明三角形三边上的中线交于一点。

3. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，证明：$E=\{(x,f(x))\mid x\in (-\infty ,+\infty )\}$ 是平面上的闭集（称为 $f$ 的图像）。

4. 证明：$\mathrm{int}S$ 是开集，而且是包含于 $S$ 的最大开集。

5. (${\mathbf{R}}^n$ 的正规性) 设 $S_1,S_2$ 为 ${\mathbf{R}}^n$ 中不相交的闭集（不一定有界）。证明：存在开集 $O_1,O_2$ 满足 $S_i\subset O_i,i=1,2$，且 $O_1\cap O_2=\varnothing$。

6. (1) 设 $S$ 是 $R^n$ 中的有界集合。证明：$\forall \delta >0,\exists S$ 中有限个点 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$，使得 ${\bigcup }_{i=1}^k{O}_{\delta }(p_i)\supset S$；

(2) 证明覆盖定理的 $Lebesgue$ 形式：若 $\{G_{\alpha }\}$ 是有界闭集 $F$ 的开覆盖，则 $\exists \delta >0$，使得 $\forall p\in F$，存在 $\{G_{\alpha }\}$ 中的一个开集 $G$，满足 $O_{\delta }(p)\subset G$；

(3) 证明覆盖定理的 $Lebesgue$ 形式与通常的表述形式（若 $\{G_{\alpha }\}$ 是有界闭集 $F$ 的开覆盖，则存在 $\{G_{\alpha }\}$ 中的有限个开集 $G_1,G_2,\cdots ,G_m$，使得 ${\bigcup }_{i=1}^m{G}_i\supset F$）等价。

第二组参考题

1. 证明：${\mathbf{R}}^n$ 中开集 $D$ 是连通集的充分必要条件是 $D$ 不能分解为两个不相交的非空子开集的并。

2. 证明：$\mathbf{R}$ 中集合 $D$ 是连通集的充分必要条件是 $D$ 为区间。

3. 证明：有公共点的连通集的并集是连通集。

4. 证明：$A=\{(x,y)\mid x,y\text{ 至少有一个是有理数}\}$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的道路连通集。

5. 证明：道路连通集一定是连通集，但连通集未必是道路连通集。（考察例子 $E=\left\{(x,y)\mid y=\sin \frac{1}{x},0<x⩽\frac{2}{\pi }\right\}$，证明 $\overline{E}$ 是连通而非道路连通的。）

6. 设 $A,B$ 为 $R^n$ 的非空子集，定义 $A+B$ 为 $R^n$ 中一切形如 $x+y$ 的点组成的集合，其中 $x\in A,y\in B$。

(1) 如果 $K$ 为 $R^n$ 的紧子集，$C$ 为 $R^n$ 的闭子集，证明：$K+C$ 为 $R^n$ 的闭子集；

(2) 如果 $K,C$ 均为 ${\mathbf{R}}^n$ 的闭子集，$K+C$ 未必为 ${\mathbf{R}}^n$ 的闭子集。考虑 $K$ 为整数集合，$C$ 为一切形如 $\alpha m$ 的数组成的集合，其中 $m\in K$，$\alpha$ 是某个确定的无理数。证明：$\overline{K+C}=\mathbf{R}$，但 $K+C\ne \mathbf{R}$。

第十八章 多元函数的极限与连续

本章讨论多元函数的极限与连续性。其中 §$18.1$ 引进重极限与累次极限的概念，讨论了它们的相互关系，并介绍了一些常用方法。§$18.2$ 讨论多元函数的连续性，介绍了一些多元函数连续的充分条件及以集合语言刻画连续性的命题，然后介绍紧集上的连续函数性质及其应用，最后对于向量值函数介绍了 ${\mathbf{R}}^n$ 中的压缩映射原理。§$18.3$ 是学习要点和两组参考题。