§16.4 用级数构造函数 · 《数学分析》

无穷级数不仅是研究函数的工具，而且可以用于构造出具有各种特殊性质的函数，其中有不少例子在数学发展史上起了重要的作用．

这里应当指出，认为这些“病态”函数只是用作反例而没有其他意义的观点早已过时．与 §5.6 介绍的混沌几乎同时发展起来的另一个新的非线性科学领域是“分形”(fractal), 其中的主要角色就是包括本节内容在内的各种“怪物”. 对此有兴趣的读者可以参考 [32, 20].

16.4.1 处处连续处处不可微的函数

在很长时间内人们对于连续性与可微性之间的关系不清楚，许多人猜测连续函数只会在个别点或很少的点上不可微．由于举出了处处连续处处不可微函数的例子，这个问题得到了彻底解决．

这类例子最早出现在 $Bolzano$ 的 1830 年的手稿中，但只有曲线，并无解析表达式，也没有证明 (见 [15]). 正式发表并有严格证明的第一个例子则属于 $Weierstrass$ (1872 年) (可参考 [15, 26, 29] 等).

$Weierstrass$ 函数是一个缺项 $Fourier$ 级数:

F (x) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} a ^ {n} \sin (b ^ {n} \pi x),

其中 $b$ 为奇数， $0 < a < 1$ ，且 $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$ ．由于右边的级数一致收敛，因此函数 $F$ 的连续性是明显的．关于 $F$ 处处不可微的证明可以在 [51, 29] 中找到．

目前教科书中在介绍处处连续处处不可微函数时一般均用 $van der Waerden$ (范德瓦尔登) 于 1930 年提出的例子．它在几何上相当直观，证明也比较简单．下面的证明可能比 [18] 第二卷的 444 小节更简单一些．主要工具是利用关于差商的一个简单命题①: 若函数 $f$ 于点 $x_0$ 可导，且 $\{[a_n, b_n]\}$ 是以点 $x_0$ 为惟一公共点的闭

区间套，则就有

\lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {f (b _ {n}) - f (a _ {n})}{b _ {n} - a _ {n}} = f ^ {\prime} (x _ {0}).\tag{16.24}

与 $Weierstrass$ 函数类似， $van der Waerden$ 函数是用无穷级数来构造的．现在按照下列步骤定义这个无穷级数的通项 $\{f_n\}$ :

将区间 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)=|x|$ 按周期 $2$ 延拓成为 $(-∞,+∞)$ 上的周期连续函数，仍记为 $f$ .
以 $f$ 为模板构造函数列 $\{f_{n}\}$ :

f _ {n} (x) = \frac {1}{2 ^ {n}} f (2 ^ {n} x), n = 1, 2, \dots , x \in (- \infty , + \infty).\tag{16.25}

可以看出 $f_{n}$ 为周期 $\frac{1}{2^{n-1}}$ 的连续周期函数，且有 $0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ．还可看出 $f_{n}$ 的极值点等距分布，相邻极值点之间的距离也是 $\frac{1}{2^{n}}$ .

重要的是 $f_{n}$ 与 $f_{n + 1}$ 之间有如下的关系：

(1) $f_{n}$ 的极值点必是 $f_{n + 1}$ 的零点，

(2) $f_{n + 1}$ 的任意两个相邻极值点必落在 $f_{n}$ 为线性的一个子区间内．

对任意正整数 $n$ ，设 $a_{n}, b_{n}$ 为 $f_{n}$ 的任意两个相邻的极值点，则

(1) $k > n$ 时，由3.(1)知 $a_{n}, b_{n}$ 为 $f_{k}$ 的零点，因此

\frac {f _ {k} (a _ {n}) - f _ {k} (b _ {n})}{a _ {n} - b _ {n}} = 0.\tag{16.26}

(2) $k \leqslant n$ 时，由3.(2)知

\frac {f _ {k} (a _ {n}) - f _ {k} (b _ {n})}{a _ {n} - b _ {n}} = 1 \text {或} - 1.\tag{16.27}

以上关于 $\{f_n\}$ 的性质非常直观，读者可以对照图 16.3( $a$ )中对于 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 在区间[0,1]上的曲线段来理解这些性质

现在定义 $van der Waerden$ 函数如下:

W (x) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} f _ {n} (x), x \in (- \infty , + \infty).\tag{16.28}

从 $|f_n(x)| \leqslant \frac{1}{2^n}$ 可知 $(16.28)$ 右边的函数项级数一致收敛，因此和函数 $W(x)$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 内处处连续．最后，我们来证明:

命题 16.4.1

连续函数 $W$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处不可导．

证明

证对任意指定的点 $x_0$ ，由 $(16.24)$ 可知，只要能找到以 $x_0$ 为惟一公共点的闭区间套 $\{[a_n, b_n]\}$ ，使得极限

\lim _ {n \rightarrow \infty} \frac {W (b _ {n}) - W (a _ {n})}{b _ {n} - a _ {n}}

不存在即可．

利用 $f_{n}$ 的极值点等距分布，且相邻极值点的距离为 $1 / 2^{n}$ ，取 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 为 $f_{n}$ 的两个极值点，满足条件：(1) $a_{n} \leqslant x_{0} \leqslant b_{n}$ ，(2) $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ .

记 $d_{n}=\frac{W(b_{n})-W(a_{n})}{b_{n}-a_{n}},\quad n=1,2,\cdots,$ 则

d _ {n} = \frac {1}{b _ {n} - a _ {n}} \left(\sum_ {k = 1} ^ {\infty} f _ {k} (b _ {n}) - \sum_ {k = 1} ^ {\infty} f _ {k} (a _ {n})\right) = \sum_ {k = 1} ^ {\infty} \frac {f _ {k} (b _ {n}) - f _ {k} (a _ {n})}{b _ {n} - a _ {n}}.

由式 $(16.26)$ 知上式右边和式中的项当k>n时均为0,因此有

d _ {n} = \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {f _ {k} (b _ {n}) - f _ {k} (a _ {n})}{b _ {n} - a _ {n}}.

由式 $(16.27)$ 知上式右边和式的每一项为-1或1.因此当 $n$ 为偶数时 $d_{n}$ 为偶整数，而当 $n$ 为奇数时 $d_{n}$ 为奇整数．由此可见这样的数列 $\{d_n\}$ 一定发散，从而函数 $W$ 在点 $x_0$ 处不可导． □

注 1

在图 16.3( $b$ ),( $c$ )中分别作出了 $(16.28)$ 右边级数的前3个和第7个部分和函数，后者与 $W(x)$ 已很接近．读者可以结合证明来理解 $van der Waerden$ 函数处处不可导的直观原因．在[18]等著作中一般是证明两个单侧导数都不存在，讨论比这里要更细致一点．此外，在定义 $f_{n}$ 的公式 $(16.25)$ 中的比例因子 $2^{n}$ 改为 $4^{n}$ 或 $10^{n}$ 都是可以的．在[15]中的证明则完全不依赖于几何直观，也可供参考．

注 2

这方面的工作很多，较近的成果见《美国数学月刊》(2002) 第 109 卷 378-380 页上的一文及其中的文献．

16.4.2 填满正方形的连续曲线

$Cantor$ 首先证明: 直线上的所有点全体和平面上的所有点全体之间存在一一对应．同样在区间 $[0,1]$ 内的所有点全体和单位正方形 $[0,1;0,1]$ 内的所有点全体之间也存在一一对应．

填满正方形的连续曲线就是将区间 $[0,1]$ 连续映射到单位正方形的满射． $Peano$ 在1890年第一次构造出了这样的例子．此后人们经常将这类曲线称为

$Peano$ 曲线．它使我们对于如何合理定义曲线的概念起了重要的推动作用 (参见 [5, 31]). 这里要注意， $Peano$ 曲线一定有自交点．这是因为在 $[0, 1]$ 和 $[0, 1; 0, 1]$ 之间的一一映射不可能是连续的．

下面这个例子是 1938 年由 $Schoenberg$ (舍恩贝格) 作出的．显然，这样的曲线需要用参数方程

x = x (t), y = y (t), x \in [ 0, 1 ]

来表示．定义

\varphi (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & t \in [ 0, 1 / 3 ], \\ 3 t - 1, & t \in (1 / 3, 2 / 3 ], \\ 1, & t \in (2 / 3, 1 ]. \end{array} \right.

按照

\varphi (t) = \varphi (- t), \varphi (t + 2) = \varphi (t), t \in (- \infty , + \infty)

将 $\varphi(t)$ 延拓到 $(- \infty, + \infty)$ 上，再令

x (t) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {\varphi \left(3 ^ {2 n - 2} t\right)}{2 ^ {n}}, y (t) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {\varphi \left(3 ^ {2 n - 1} t\right)}{2 ^ {n}}, t \in [ 0, 1 ].

这就是所要作的曲线．将正方形 $[0,1;0,1]$ 中每个点的坐标 $(x,y)$ 用二进制展开就不难证明存在 $t\in [0,1]$ ，使得 $x(t) = x, y(t) = y$ (可以参看[8,15]等).