§$13.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{13.5.1}$ 学习要点

$1$．正如本章开头所指出的那样，数项级数与上册第二章的数列极限有密切联系．建议在学习本章时能经常将级数内容与数列的相应内容加以比较．

$2$．无穷级数在一系列概念和方法上又与上一章的广义积分非常相似。虽然各种教科书在这两部分内容的安排次序上并不一致，但若能沟通两者之间的联系，则对于学习是很有帮助的。

$3$. “ ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$ 是级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛的必要而非充分的条件”是体现无穷级数收敛特点的一条基本性质．

$4$．需要重点关心的一些级数是几何级数，$p$ 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ , ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ , $Leibniz$ 型级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^p}$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n^p}$．关于数项级数的绝大部分知识点可以通过对这些级数的讨论而得到展开．

$5$．比较判别法是正项级数收敛性判别法的基本出发点。要注意比较判别法对一般项级数来说，只有绝对收敛情况才有效。很能说明问题的例子是例题$\mathrm{13.3.1}$。必须明白：等价量判别法就是一种特殊的比较判别法。而对于条件收敛级数来说，比较判别法是不成立的。

$6$．如上册 $75$ 页之 ($4$) 所说，在实数系的许多等价的基本定理中，$Cauchy$ 收敛准则将在积分和级数中起主要作用．初学者不易掌握它的意义和用法是很自然的．本章的习题课应有部分时间用于围绕 $Cauchy$ 收敛准则组织一些比较具体的例题，多角度地应用 $Cauchy$ 收敛准则，以帮助学生学习这一基本工具．

$7$. $Abel$ 变换是估计乘积项之和 $\left|a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n\right|$ 的重要方法，它与分部积分公式、积分第二中值定理都有联系。程度好的学生应能学会用公式 ($13.21$)—($13.23$) 来处理类似的问题。

$8$．证明一个级数发散有时比证明级数收敛更使学生感到困难．证明级数发散常用的方法有:

($1$) 证明级数的通项不趋于零;

($2$) 利用 $Cauchy$ 收敛准则;

($3$) 证明按某种方式加括号后所得的级数发散;

($4$) 对正项级数，证明部分和数列无上界;

($5$) 对正项级数，利用 §$13.2$ 中的各种判别法;

($6$) 把级数通项分解为一个收敛级数的通项与一个发散级数的通项之和．

$\mathrm{13.5.2}$ 参考题

第一组参考题

$1$．试用两种方法证明：对于正数数列 $\{a_n\}$ ，必有

lim _ n arrow ∞ frac a _ n(1 + a _ 1) (1 + a _ 2) … (1 + a _ n) = 0.$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}=0.$$

$Abel$-$Pringsheim$ 定理

$2$. ($Abel$-$Pringsheim$ (普林斯海姆) 定理) 设正项级数 $\sum a_n$ 的通项单调减少，且已知级数收敛，证明: ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$ . (举例说明，若通项非单调，则结论不成立.)

$3$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的通项单调减少，又已知级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$ 收敛，证明: 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^2$ 收敛．

$4$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的通项单调减少收敛于 $0$ . ($1$) 证明: 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n(a_n-a_{n+1})$ 同敛散，且在收敛时具有相同的和．($2$) 对于通项不是单调减少的情况，试举例说明上述“同敛散”的结论不再成立．

$5$．由于数列 $\{a_n\}$ 与无穷级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_n)$ 具有相同的敛散性，试用级数理论讨论下列数列的敛散性:

a _ n = 1 + frac 12 + … + frac 1n - ln n, n = 1, 2, … ;$$a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n,n=1,2,\dots ;$$ a _ n = 1 + frac 1sqrt 2 + … + frac 1sqrt n - 2 sqrt n, n = 1, 2, … ;$$a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n},n=1,2,\dots ;$$ a _ n = frac 12 ln 2 + frac 13 ln 3 + … + frac 1n ln n - ln ln n, n = 2, 3, … . tag 3$$a_n=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{3\ln 3}+\cdots +\frac{1}{n\ln n}-\ln \ln n,n=2,3,\dots .\text{\hspace{1em}(3)}$$

(题($1$)即上册 $43$ 页命题 $\mathrm{2.5.6}$，题($2$)见上册 $56$ 页参考题 $14$．又可以与上册 $371$ 页参考题 $10$ 作比较.)

$6$．证明：($1$) 若 $f$ 是 $[1,+\infty )$ 上的非负单调减少函数，则存在极限

lim _ n arrow ∞ (∑_ k = 1 ^ n f (k) - ∫_ 1 ^ n f (x) d x) = A,$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x\right)=A,$$

且 $0⩽A⩽f(1)$ ; ($2$) ${\lim }_{x\to +\infty }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x}{x^2+n^2}=\frac{\pi }{2}$ .

$7$．若函数 $f$ 在 $[-1,1]$ 上定义，且存在 $f^{\prime \prime }(0)$ ，证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充分必要条件是 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ .

$8$．设函数 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调增加且有极限 $f(+\infty )=A$．证明:

($1$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }[f(n+1)-f(n)]$ 收敛，并求其和;

($2$) 又若 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 上二次可微，且 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}^{\prime }(n)$ 也收敛．

$9$. (二重正项级数的求和顺序交换定理) 设对每个正整数 $n$，正项级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_{n,k}$ 收敛，且其和为 $a_n$．若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，证明:

∑_ n = 1 ^ ∞ a _ n = ∑_ n = 1 ^ ∞ ∑_ k = 1 ^ ∞ a _ n, k = ∑_ k = 1 ^ ∞ ∑_ n = 1 ^ ∞ a _ n, k.$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{n,k}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n,k}.$$

$10$．对正整数 $m⩾2$，用 $s_m$ 表示级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^m}$ 的和，证明: ${\sum }_{m=2}^{\infty }{s}_m=1$ .

$11$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的通项单调减少趋于 $0$，且已知数列 $\left\{{\sum }_{k=1}^n(a_k-a_n)\right\}$ 有界，证明: ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛．

$12$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，且数列 $\{a_n-a_{n+1}\}$ 严格单调减少，证明:

lim _ n arrow ∞ (frac 1a _ n + 1 - frac 1a _ n) = + ∞ .$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}\right)=+\infty .$$

$13$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，数列 $\{n{a}_n\}$ 单调，证明: ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n\ln n=0$ .

$14$．设 $a_1=1,a_2=2,a_n=a_{n-1}+a_{n-2},n=3,4,\cdots$ ，证明： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}$ 收敛． ($Fibonacci$ 数列的倒数所成级数收敛.)

$15$．设 $0<p<1$, $a_1>0$ , $a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^p}$ , $n=1,2,\cdots$，证明: ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛．

$16$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则对于 $p>\frac{1}{2}$，证明: 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{a_n}}{n^p}$ 收敛．举例说明 $p=\frac{1}{2}$ 时级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{a_n}}{n^{1/2}}$ 可能发散．

$17$．证明下列两个级数发散: ($1$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin n$ ; ($2$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin n^2$ .

$18$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散，讨论下列级数的敛散性: ($1$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{1+n^2{a}_n}$ ; ($2$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{1+n{a}_n}$ ; ($3$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{1+a_n}$ ; ($4$) ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{1+a_n^2}$ .

$19$．设有收敛级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=S,$ 证明: ($1$) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n}=0;$ ($2$) 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n(n+1)}$ 收敛，且其和也是 $S$.

$20$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=s$ 为条件收敛，${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{f(n)}=t$ 是 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的一个重排．若 $t\ne s$，证明: 对于任意 $N$，存在 $n$，使 $|n-f(n)|>N$ . (这表明，对于条件收敛级数作重排时，如果每一项的新位置与原有位置之差不超过某个界限的话，则级数的和不会改变.)

第二组参考题

$1$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}$ 收敛，证明: 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n^2{a}_n}{(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2}$ 收敛．

$2$．设 $a>0,a_n⩾0,n=1,2,\cdots$ ，证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{(a+a_1+\cdots +a_n{)}^{3/2}}$ 收敛，且其和 $S⩽\frac{2}{\sqrt{a}}$ .

$3$．设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛且存在 M > 0, 使对每个正整数 $n$ 成立

a _ k ≤slant M a _ n, n ≤slant k ≤slant 2 n,$$a_k⩽M{a}_n,n⩽k⩽2n,$$

证明： ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0.$

$4$．试构造两个发散的正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$，它们的通项都单调减少，但级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\min \{a_n,b_n\}$ 收敛．

$Frink$ 判别法

$5$. ($Frink$ (弗林克) 判别法) 设对正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)}^n=\lambda$，则当 $\lambda <e^{-1}$ 时级数收敛，而当 $\lambda >e^{-1}$ 时级数发散．

$Ermakov$ 判别法

$6$. ($Ermakov$ (叶尔马科夫) 判别法) 设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调减少且大于 $0$，又知存在极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{x}f({\mathrm{e}}^x)}{f(x)}=p$ ，则正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 当 $p<1$ 时收敛，而当 $p>1$ 时发散．

$Lobatchevski$ 判别法

$7$. ($Lobatchevski$ (罗巴切夫斯基) 判别法) 通项单调趋于 $0$ 的正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n{2}^{-n}$ 同敛散，其中 $b_n=\max \{k\mid a_k⩾2^{-n}\}$ .

$8$．证明: 下列两个无穷乘积收敛于自然对数的底 $e$:

($1$) ${\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{a_n}\right)$，其中 $a_1=1,a_n=n(a_{n-1}+1),\forall n⩾2$ ;

($2$) $2{\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\right)}^{1/4}{\left(\frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\right)}^{1/8}\cdots .$

(题($2$)来自《美国数学月刊》($1980$)第$87$卷$391$页.)

$9$．证明: 若 $p⩽1$，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (\ln n)}{n^p}$ 发散．

$10$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n$ 收敛，证明: ($1$) 对任一正整数 $k$，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_{n+k}$ 收敛; ($2$) ${\lim }_{k\to \infty }{\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_{n+k}=0.$

$11$．若对每一个满足 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$ 的数列 $\{b_n\}$ ，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛，证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛．

$12$．若对每一个收敛级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ ，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛，证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n-a_{n+1}|$ 必定收敛． $13$．举出一个收敛级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ，使得级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^3$ 发散．

$14$．设函数 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 上连续可微，且 ${\int }_1^{+\infty }|f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，证明：广义积分 ${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与无穷级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)$ 同敛散．

$15$．设 p > 0, 证明: 交错级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^p}$ 的和 $S$ 满足估计 $\frac{1}{2}<S<1$ .

$16$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛，又知 $\{b_n\}$ 单调减少收敛于 0, 证明: ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)b_n=0.$ (第一组参考题 $19$ 之 ($1$) 为本题之特例.)

$17$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^p}$ 收敛，其中 p>0, 证明: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n^p}=0$ .

$18$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的部分和数列为 $\{S_n\}$ ，并令 ${\sigma }_n=\frac{S_1+S_2+\cdots +S_n}{n},n=1,2,\cdots$ 。定义：若存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sigma }_n=\sigma$ ，则称级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 可以 $Ces\grave{a}ro$（切萨罗）求和（或称级数在 $Ces\grave{a}ro$ 意义下可求和），并将极限值 $\sigma$ 称为级数的 $Ces\grave{a}ro$ 和。证明：收敛级数一定可以 $Ces\grave{a}ro$ 求和，且其 $Ces\grave{a}ro$ 和与收敛级数在通常意义下的和相等，但反之不真。

$19$．证明: 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 可以 $Ces\grave{a}ro$ 求和的必要条件是 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{n}=0$ . (这个条件比通常意义下级数 $\sum a_n$ 收敛时通项必须为无穷小量的必要条件弱得多.)

$20$．下列级数是否可以 $Ces\grave{a}ro$ 求和？如果可以，试求出它们的 $Ces\grave{a}ro$ 和． ($1$) $1-1+1-1+\cdots$ ; ($2$) $1-2^2+3^2-4^2+\cdots$ ; ($3$) $1+0-1+1+0-1+\cdots$ ; ($4$) $\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots$ .

$21$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的通项满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0$，证明: 该级数在通常意义下收敛的充分必要条件是级数可以 $Ces\grave{a}ro$ 求和．

$22$．设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 可以 $Ces\grave{a}ro$ 求和，证明: 该级数在通常意义下收敛的充分必要条件是 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n}{n}=0$ .

第十四章 函数项级数与幂级数

无穷级数为研究函数提供了全新的有力工具，如果说数项级数是无穷级数的基础，则函数项级数就是无穷级数的理论核心．

本章共分五节，前两节是函数项级数的一般理论．在 §$14.1$ 中，我们讨论函数项级数与函数列的一致收敛性; §$14.2$ 是和函数与极限函数性质的讨论．接下来的两节用于讨论最重要的一类函数项级数——幂级数． §$14.3$ 为其一般理论， §$14.4$ 为 $Taylor$ 级数展开．最后一节是学习要点和两组参考题．