§12.4 广义积分的特殊性质

这方面只提出需要注意的两点．第一点是: 对广义积分，绝对可积必可积，但反之未必; 对定积分，可积必绝对可积，但反之未必．两者恰恰相反．就此点而言，广义积分与其说像定积分，倒不如说更像数项级数 (见下册命题$\mathrm{13.3.1}$). 第二点是无穷限广义积分所特有的性质，将在本节讨论．

12.4.1 收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质

由例题$\mathrm{2.2.9}$及其注知道，如果无穷级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$．与之类比，初学者容易认为对无穷限广义积分应当成立以下结论:

∫_ a ^ + ∞ f (x) d x text 收敛 Longrightarrow lim _ x → + ∞ f (x) = 0.$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x\text{收敛}⟹\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$

但是从例题 $\mathrm{12.2.5}$ 和图 $12.1$ 中我们知道极限 $f(+\infty )$ 完全可以不存在．

首先建立以下基本结论:

例 12.4.1

设无穷限广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 有意义，则它一定等于$0$.

证明

证 若 $f(+\infty )$ 为有限正数或正无穷大，则都存在 $x_0>a$ 和 $c>0$，使得当 $x>x_0$ 时成立 $f(x)>c$．因此对于 $A>x_0$，有

l∫_ a ^ A f (x) d x = ∫_ a ^ x _ 0 f (x) d x + ∫_ x _ 0 ^ A f (x) d x > ∫_ a ^ x _ 0 f (x) d x + c (A - x _ 0) arrow + ∞ (A arrow + ∞).$$\begin{array}{l}{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{x_0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{x_0}^{A}f(x)\mathrm{d}x\\ >{\int }_a^{x_0}f(x)\mathrm{d}x+c(A-x_0)\to +\infty (A\to +\infty ).\end{array}$$

这与无穷限积分收敛的条件矛盾，可见 $f(+\infty )$ 不可能是有限正数或正无穷大．同样地可以证明 $f(+\infty )$ 也不可能是负数或负无穷大，因此得到 $f(+\infty )=0$ . $\square$

若 $f$ 单调，则 $f(+\infty )$ 一定有意义，从而有 $f(+\infty )=0$．但是实际上这时还有更强的结论．

例 12.4.2

若无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $f$ 单调，则有

lim _ x → + ∞ x f (x) = 0.$$\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=0.$$

证明

证 不妨设 $f$ 单调减少．与例题$\mathrm{12.4.1}$的证明类似，可以知道 $f$ 非负．由于广义积分收敛，对于 $\epsilon >0$，有正数 $M>a$，使得对于任何一对 $A_1,A_2>M$，成立不等式

| ∫_ A _ 1 ^ A _ 2 f (t) d t | < ε .$$\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(t)\mathrm{d}t\right|<\epsilon .$$

取 $A_1=x,A_2=2x$ ，则当 $x>M$ 时，就有

0 ≤slant x f (2 x) ≤slant ∫_ x ^ 2 x f (t) d t < ε ,$$0⩽xf(2x)⩽{\int }_x^{2x}f(t)\mathrm{d}t<\epsilon ,$$

即已经得到 ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=0.$

下面是无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛时使 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ 成立的主要结果．

命题 12.4.1

设无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且被积函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，则

lim _ x arrow + ∞ f (x) = 0.$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$

证明

证 用反证法．假设 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ 不成立，则 $\exists {\epsilon }_0>0$，使 $\forall A>a$ , $\exists x_0>A$，满足 $|f(x_0)|⩾2{\epsilon }_0$ .

因为 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，因此对 ${\epsilon }_0>0,\exists \delta >0,\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,+\infty )$ ( $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta )$ ，成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<{\epsilon }_0$ 。所以当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，有

| f (x) | ≥slant | f (x _ 0) | - | f (x _ 0) - f (x) | > ε_ 0,$$|f(x)|⩾|f(x_0)|-|f(x_0)-f(x)|>{\epsilon }_0,$$

并且 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 同号．因此就有

| ∫_ x _ 0 ^ x _ 0 + δ f (x) d x | ≥slant ε_ 0 ∫_ x _ 0 ^ x _ 0 + δ d x = ε_ 0 δ . (12.9)$$\left|{\int }_{x_0}^{x_0+\delta }f(x)\mathrm{d}x\right|⩾{\epsilon }_0{\int }_{x_0}^{x_0+\delta }\mathrm{d}x={\epsilon }_0\delta .\text{\hspace{1em}(12.9)}$$

由于这个不等式右边的 ${\epsilon }_0\delta$ 是一个固定的正数，而对于每个 $A>a$，都存在 $x_0>A$ 满足 $(12.9)$，因此与无穷限积分的 $Cauchy$ 收敛准则矛盾．

在无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛时，我们不知道保证 $f(+\infty )=0$ 的充分必要条件是什么．但若有 $f\in C[a,+\infty )$，则在积分收敛时，条件 $f(+\infty )=0$ 等价于 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续 (参见例题$\mathrm{5.4.6}$).

此外下面的一个结论也是基本的，它表明虽然极限 $f(+\infty )$ 不一定存在，但若将数列的极限点概念 ($\mathrm{3.6.1}$ 小节) 推广到函数极限，则当连续被积函数的无穷限广义积分收敛时，必有一个极限点是 $0$.

例 12.4.3

设 $f\in C[a,+\infty )$，且 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$，满足条件

lim _ n arrow ∞ x _ n = + ∞ , lim _ n arrow ∞ f (x _ n) = 0.$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty ,\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0.$$

证明

证 根据广义积分收敛的条件得到

lim _ n arrow ∞ ∫_ n ^ n + 1 f (x) d x = 0.$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_n^{n+1}f(x)\mathrm{d}x=0.$$

对上面的积分用积分第一中值定理，并且用 $x_n$ 记其中的中值，就有

lim _ n → ∞ f (x _ n) = 0,$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0,$$

这时 $x_n\in (n,n+1)$．因此 $\{f(x_n)\}$ 是无穷小量，而 $\{x_n\}$ 是正无穷大量．$\square$

可以进一步证明存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$，满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ , ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n}f(x_n)=0$．见下面的练习题$6$.

12.4.2 练习题

1. 设 $f$ 于 $[a,+\infty )$ 上可导，$f^{\prime }$ 内闭可积，且广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_a^{+\infty }{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 都收敛，证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ .

2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上有有界的导函数且无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，证明: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ .

3. 举例说明例题$\mathrm{12.4.2}$之逆不成立，也就是说，当函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上单调，且满足条件 ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=0$ 时，广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 仍可能发散．

4. 若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $xf(x)$ 单调，证明: ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)\ln x=0$ .

5. 设函数 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上可微且无穷限积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，证明: 存在数列 $\{x_n\}$，使 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ , ${\lim }_{n\to \infty }{f}^{\prime }(x_n)=0$ .

6. (1) 设 $f\in C[a,+\infty )$ ，且 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，证明存在数列 $\{x_n\}\subset [a,+\infty )$ ，满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ ， ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n}f(x_n)=0;$

(2) 证明在 $f\in C[a,+\infty )$，且 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的广义积分为条件收敛时有与 (1) 同样的结论;

(3) 问: 在 $f$ 不满足连续条件时结论是否成立? 根据 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的广义积分为绝对收敛和条件收敛分别讨论．