§$11.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{11.5.1}$ 学习要点

1. 在第一节中所说的“微元法”虽然不是一种严格的数学方法，但是在学习多元微积分以前，对于一些利用定积分进行计算的几何与物理问题，我们还经常要利用它．在教学上，对这种方法不作严格论证，只要使学生在一些具体计算问题中能够使用就行了．

2. 本章分各个专题介绍积分学的应用，与上一章一起组成积分学的比较完整的内容．本章的取材是围绕积分学中的基本内容来选取的，其中考虑到了本科和考研两方面的需要．由于篇幅所限，没有能够收入积分学在力学和物理学等方面的应用，在数值积分方面也未作更多的介绍．在这些方面 [27, 59] 的第四章提供了一定的补充材料，可供读者选用．

3. 对习题课的建议 本章除了积分学在几何上的应用之外，对于本科学习来说，至少需要学习利用定积分计算某些数列的极限 ($\mathrm{11.4.1}$ 小节) 和 $Stirling$ 公式 ($11.32$). 这些内容对于前面的数列极限内容也是重要的补充和发展．至于其他内容，则机动余地较大，教师可以根据教材和学生情况来决定取舍．

$\mathrm{11.5.2}$ 参考题

第一组参考题

1. 设 $f\in C^1[0,1]$，且 $f(0)=0$ , $f(1)=1$，证明:

∫_ 0 ^ 1 | f (x) - f ^ prime (x) | d x ≥slant frac 1e.$${\int }_0^1|f(x)-f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩾\frac{1}{\mathrm{e}}.$$

2. 设 $a>0$，证明:

∫_ 0 ^ π x a ^ sin x d x ∫_ 0 ^ π / 2 a ^ - cos x d x ≥slant frac π^ 34.$${\int }_0^{\pi }x{a}^{\sin x}\mathrm{d}x{\int }_0^{\pi /2}{a}^{-\cos x}\mathrm{d}x⩾\frac{{\pi }^3}{4}.$$

3. ( $Tchebycheff$ (切比雪夫) 不等式) (1) 设 $F\in C[a,b]$，处处大于 0, 且单调减少，证明:

∫_ a ^ b F (x) d x ∫_ a ^ b x F ^ 2 (x) d x ≤slant ∫_ a ^ b F ^ 2 (x) d x ∫_ a ^ b x F (x) d x;$${\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}x{F}^2(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^b{F}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}xF(x)\mathrm{d}x;$$

(2) 设 $f,g$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且对于任何 $x<y$ 具有性质 $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))⩾0$，又设 $p\in R[a,b]$，且处处大于 0, 证明:

∫_ a ^ b p (x) f (x) d x ∫_ a ^ b p (x) g (x) d x ≤slant ∫_ a ^ b p (x) d x ∫_ a ^ b p (x) f (x) g (x) d x.$${\int }_a^{b}p(x)f(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}p(x)g(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}p(x)\mathrm{d}x{\int }_a^{b}p(x)f(x)g(x)\mathrm{d}x.$$

4. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0⩽f(x)<1$，证明:

∫_ 0 ^ 1 frac f (x)1 - f (x) d x ≥slant frac ∫_ 0 ^ 1 f (x) d x1 - ∫_ 0 ^ 1 f (x) d x.$${\int }_0^1\frac{f(x)}{1-f(x)}\mathrm{d}x⩾\frac{{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}{1-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}.$$

5. 证明不等式:

∫_ 0 ^ 1 frac cos xsqrt 1 - x ^ 2 d x ≥slant ∫_ 0 ^ 1 frac sin xsqrt 1 - x ^ 2 d x.$${\int }_0^1\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x⩾{\int }_0^1\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x.$$

6. 设 $f^{(2n)}\in C[a,b]$ ，且 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,k=0,1,2,\cdots ,n-1$ ，证明：

| ∫_ a ^ b f (x) d x | ≤slant frac (n !) ^ 2 (b - a) ^ 2 n + 1(2 n) ! (2 n + 1) ! · max _ a ≤slant x ≤slant b {| f ^ (2 n) (x) | }.$$\left|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{(n!{)}^2(b-a{)}^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)!}\cdot \underset{a⩽x⩽b}{\max }\{|f^{(2n)}(x)|\}.$$

7. 设函数 $f,g\in C[a,b]$，且 $f(x)\ne 0$ , $g(x)$ 处处大于 0. 记

d _ n = ∫_ a ^ b | f (x) | ^ n g (x) d x, n = 1, 2, … ,$$d_n={\int }_a^b|f(x){|}^{n}g(x)\mathrm{d}x,n=1,2,\dots ,$$

证明: 数列 $\left\{\frac{d_{n+1}}{d_n}\right\}$ 收敛，并求出其极限．

8. 计算 ${\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{\sin (\pi /n)}{n+1}+\frac{\sin (2\pi /n)}{n+1/2}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+1/n}\right]$ .

9. 对任意实数 $a$，证明: ${\lim }_{n\to \infty }{\prod }_{k=1}^{n+1}\cos \left(\frac{\sqrt{2k-1}}{n}{a}^2\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{a^4}{2}}$ .

10. 设 $f$ 是 $[1,+\infty )$ 上的非负单调减少函数，令

a _ n = ∑_ k = 1 ^ n f (k) - ∫_ 1 ^ n f (x) d x, n ∈ mathbf N _ +,$$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x,n\in {\mathbf{N}}_{+},$$

证明: 数列 $\{a_n\}$ 收敛．

(这是“面积原理”的一种简单情况 (参见 $[26]$). 取 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，就得到关于 $Euler$ 常数的命题 $\mathrm{2.5.6}$; 取 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，就是第二章第一组参考题 $14$.)

11. 计算积分 ${\int }_0^1\sin x^2\mathrm{d}x,$ 使得误差不超过 $0.001$ .

12. 证明: 函数 $F(x)={\int }_0^x\sin \frac{1}{t}\mathrm{d}t$ 在区间 $(0,1]$ 上有无穷多个零点．

13. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，$f^{\prime }$ 单调增加且有 $f^{\prime }(x)⩾m>0$，证明:

| ∫_ a ^ b cos f (x) d x | ≤slant frac 2m.$$\left|{\int }_a^b\cos f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{2}{m}.$$

14. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，且满足 $f^{\prime }(x)⩾m>0$ , $|f(x)|⩽\pi$，证明:

| ∫_ a ^ b sin f (x) d x | ≤slant frac 2m.$$\left|{\int }_a^b\sin f(x)\mathrm{d}x\right|⩽\frac{2}{m}.$$

15. 对 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，定义

S _ n = 1 + frac n - 1n + 2 + frac n - 1n + 2 · frac n - 2n + 3 + … + frac n - 1n + 2 · frac n - 2n + 3 · … · frac 12 n,$$S_n=1+\frac{n-1}{n+2}+\frac{n-1}{n+2}\cdot \frac{n-2}{n+3}+\cdots +\frac{n-1}{n+2}\cdot \frac{n-2}{n+3}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2n},$$

证明： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

第二组参考题

1. 曲线 $K$ 的极坐标方程为 $\rho =\rho (\theta )$ , $0⩽\theta ⩽\pi$ , $\rho \in C[0,\pi ]$，且已知 $K$ 上任何两点之间的距离不超过 1, 证明: 由曲线 $K$ 与射线 $\theta =0$ , $\theta =\pi$ 围成的扇形面积

S = frac 12 ∫_ 0 ^ π ρ^ 2 (θ) d θ ≤slant frac π4.$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{\rho }^2(\theta )\mathrm{d}\theta ⩽\frac{\pi }{4}.$$

(由此可见，直径不超过 1 的图形面积最多为 $\pi /4$ .)

2. 设 $f\in C[a,b]$ ，且处处大于 $0$。记 $f_{kn}=f(a+k{h}_n)$ ， $h_n=(b-a)/n$ ， $k=1,2,\cdots ,n$ 。证明：

lim _ n arrow ∞ sqrt [ n ]f _ 1 n f _ 2 n … f _ n n = exp [ frac 1b - a ∫_ a ^ b ln f (x) d x ],$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{f_{1n}{f}_{2n}\cdots f_{nn}}=\exp \left[\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\ln f(x)\mathrm{d}x\right],$$

并用于证明 ( $Poisson$ 积分):

frac 12 π ∫_ 0 ^ 2 π ln (1 - 2 r cos x + r ^ 2) d x = 2 ln r,$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\ln (1-2r\cos x+r^2)\mathrm{d}x=2\ln r,$$

其中 $r>1$

3. 设 $f\in C[0,1]$ , ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$ .

(1) 证明: ${\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}⩾3$ ;

(2) 又知 ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=0$，证明: ${\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}>10.2$ .

4. 设 $f\in C[0,1]$，如果对某个正整数 $n>1$，成立

∫_ 0 ^ 1 f (x) d x = ∫_ 0 ^ 1 x f (x) d x = … = ∫_ 0 ^ 1 x ^ n - 1 f (x) d x = 0, ∫_ 0 ^ 1 x ^ n f (x) d x = 1,$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=\cdots ={\int }_0^1{x}^{n-1}f(x)\mathrm{d}x=0,{\int }_0^1{x}^{n}f(x)\mathrm{d}x=1,$$

求证: $M={\max }_{0⩽x⩽1}\{|f(x)|\}⩾2^n(n+1)$ .

5. 求出使不等式

c _ 1 ≤slant ∫_ a ^ b frac sin xx d x ≤slant c _ 2$$c_1⩽{\int }_a^b\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x⩽c_2$$

成立的最佳常数 $c_1,c_2$，对其中的积分限分两种情况讨论: (1) $0⩽a<b$ ; (2) $a<b$ .

6. 在命题 $\mathrm{11.2.3}$ (即 $Young$ 不等式) 中的可微条件可以去掉，此外还可以得到另一个方向的不等式．设 $f\in C[0,+\infty )$，严格单调增加，且 $f(0)=0$，记其反函数为 $g(y)$．对 $a,b>0$，证明下列不等式并解释其几何意义:

a b ≤slant ∫_ 0 ^ a f (x) d x + ∫_ 0 ^ b g (y) d y ≤slant b g (b) + a f (a) - f (a) g (b),$$ab⩽{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{b}g(y)\mathrm{d}y⩽bg(b)+af(a)-f(a)g(b),$$

其中成立等号的充分必要条件是 $b=f(a)$ （即 $a=g(b)$ ）

7. 设 $f\in C(a,b)$，证明:

(1) 若对任何 $a<x_1<x_2<b$ 成立不等式

f (frac x _ 1 + x _ 22) ≤slant frac 1x _ 2 - x _ 1 ∫_ x _ 1 ^ x _ 2 f (x) d x,$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)⩽\frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d}x,$$

则 $f$ 为下凸函数;

(2) 若对任何 $a<x_1<x_2<b$ 成立不等式

frac 1x _ 2 - x _ 1 ∫_ x _ 1 ^ x _ 2 f (x) d x ≤slant frac f (x _ 1) + f (x _ 2)2,$$\frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则 $f$ 为下凸函数;

(3) 若以上两个不等式中的任何一个始终成立等号，则 $f$ 只能是线性函数．

(因此 $Hadamard$ 不等式 ($11.7$) 中的每个不等式都是 $f$ 下凸的充分必要条件.)

8. 设 $f\in C^1[0,a]$ , $f(0)=0$ .

(1) 证明:

∫_ 0 ^ a | f (x) f ^ prime (x) | d x ≤slant frac a2 ∫_ 0 ^ a | f ^ prime (x) | ^ 2 d x,$${\int }_0^a|f(x)f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩽\frac{a}{2}{\int }_0^a|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x,$$

且其中成立等号当且仅当 $f(x)=cx$ ;

(2) ( $Opial$ 不等式) 增加条件 $f(a)=0$ , $f$ 在 $(0,a)$ 上大于 0, 证明:

∫_ 0 ^ a | f (x) f ^ prime (x) | d x ≤slant frac a4 ∫_ 0 ^ a | f ^ prime (x) | ^ 2 d x.$${\int }_0^a|f(x)f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x⩽\frac{a}{4}{\int }_0^a|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x.$$

9. ( $Bellman-Gronwall$ 不等式) 设当 $x⩾0$ 时 $f(x),g(x)$ 为非负连续函数，且有

f (x) ≤slant A + ∫_ 0 ^ x f (t) g (t) d t,$$f(x)⩽A+{\int }_0^{x}f(t)g(t)\mathrm{d}t,$$

其中 $A>0$ ，证明：当 $x⩾0$ 时

f (x) ≤slant A exp (∫_ 0 ^ x g (t) d t).$$f(x)⩽A\exp \left({\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t\right).$$

10. 设 $f\in C^2[0,1]$ , $f(0)=f(1)=0$ , $f$ 在 $(0,1)$ 中无零点，证明:

∫_ 0 ^ 1 | frac f ^ prime prime (x)f (x) | d x > 4,$${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x>4,$$

且其中 4 是最佳下界．

11. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $0<m⩽f(x)⩽M$，则有

∫_ 0 ^ 1 f (x) d x ∫_ 0 ^ 1 frac 1f (x) d x ≤slant frac (m + M) ^ 24 m M.$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x⩽\frac{(m+M{)}^2}{4mM}.$$

(这是 $Cauchy-Schwarz$ 不等式的反向不等式，也称为 $Kantorovich$ (康托罗维奇) 不等式.)

12. 设非常值函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$，证明: 在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$，使

| f ^ prime (ξ) | > frac 4(b - a) ^ 2 ∫_ a ^ b | f (x) | d x.$$\left|f^{\prime }(\xi )\right|>\frac{4}{(b-a{)}^2}{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x.$$

13. 设 $f\in C^2[0,1]$ , $f(0)=f(1)=f^{\prime }(0)=0$ , $f^{\prime }(1)=1$，证明:

∫_ 0 ^ 1 (f ^ prime prime (x)) ^ 2 d x ≥slant 4,$${\int }_0^1(f^{\prime \prime }(x){)}^2\mathrm{d}x⩾4,$$

且其中成立等式当且仅当 $f(x)=x^3-x^2$

14. 设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上处处大于 $0$，且对于 $L>0$ 满足 $Lipschitz$ 条件 $|f(x_1)-f(x_2)|⩽L|x_1-x_2|$ ，又已知对于 $a⩽c⩽d⩽b$ 有

∫_ c ^ d frac d xf (x) = α , ∫_ a ^ b frac d xf (x) = β ,$${\int }_c^d\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\alpha ,{\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\beta ,$$

证明下列积分不等式:

∫_ a ^ b f (x) d x ≤slant frac e ^ 2 L β - 12 L α ∫_ c ^ d f (x) d x.$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽\frac{{\mathrm{e}}^{2L\beta }-1}{2L\alpha }{\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x.$$

15. 先用微分学或其他方法证明: 当 $0<x<1$ 时，成立不等式

0 < frac 12 ln frac 1 + x1 - x - x < frac x ^ 33 (1 - x ^ 2),$$0<\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}-x<\frac{x^3}{3(1-x^2)},$$

并用 $x=1/(2n+1)$ 代入，得到比 ($11.34$) 更强的不等式．然后证明比 ($11.32$) 更为精细的 $Stirling$ 公式，也就是一般性公式 ($11.31$) 中 $m=0$ 的情况:

ln n! = ln sqrt 2 π + (n + frac 12) ln n - n + frac θ_ n1 2 n,$$\ln n!=\ln \sqrt{2\pi }+\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln n-n+\frac{{\theta }_n}{12n},$$

或者其等价形式:

n! = sqrt 2 π n (frac ne) ^ n e ^ frac θ_ n1 2 n,$$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^n{\mathrm{e}}^{\frac{{\theta }_n}{12n}},$$

其中 $0<{\theta }_n<1$ .

第十二章 广义积分

广义积分 (也称反常积分) 作为变限积分函数的极限，其许多性质与定积分类似．本章共分 $5$ 节． §$12.1$ 讨论广义积分的定义． §$12.2$ 与 §$12.3$ 分别讨论广义积分的敛散性判别与计算． §$12.4$ 讨论无穷限广义积分的一些特殊性质．最后一节为学习要点和两组参考题．

广义积分与无穷级数之间有密切联系．在各种数学分析教材中两者的教学顺序并不相同．虽然本书在第二章中已经提到了无穷级数的概念 (见 $\mathrm{2.2.3}$ 小节末的注解以及例题 $\mathrm{2.2.6}$, $\mathrm{2.2.9}$，命题 $\mathrm{2.5.2}$ 等), 但是要到下册中才有关于无穷级数的全面论述．因此这方面的联系也要到后面介绍 (例如下册命题 $\mathrm{13.2.1}$ 等).