§9.3 对于教学的建议

学习要点

1. 计算不定积分是微积分课程的基本技能之一 (这方面可参看 [59] 第二册的第三章). 在计算机科学突飞猛进的今天, 许多不定积分都可以在计算机上用 Mathematica, Maple 等软件直接求出. 因此, 许多教师在教“不定积分”这一章时, 可能会产生这样一个问题: 关于求不定积分的方法与技巧, 究竟应该教些什么? 本章的内容反映了我们对这个问题的观点. 有兴趣的读者可以参看《美国数学月刊》(1985) 第 92 卷 214—215 页中的意见.

2. 不定积分的计算含有大量的技巧。这些技巧对于好数学的大学一年级学生往往有很大的吸引力。当然，学生需要进行必要的训练来掌握这一项技能，这对于今后的学习与数学素养的提高都是必不可少的。但是如果在这方面花费太多的精力与时间，特别是追求一些针对特殊类型不定积分的特殊技巧，则是枉费心机和得不偿失的。教师需要向学生强调，例如

$$\begin{array}{rl}& \int {\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x,\int \sin x^2\mathrm{d}x,\int \cos x^2\mathrm{d}x,\\ & \int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x,\int \frac{\cos x}{x}\mathrm{d}x,\int \frac{\mathrm{d}x}{\ln x},\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}},\int \sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x,\\ & \int \frac{\mathrm{d}x}{(1+k^2{\sin }^{2}x)\sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}}(0<k<1)\end{array}$$

等在各种领域有重要应用的许多不定积分都不是初等函数。这些不定积分的可积性，就像中学时代遇到过的“用尺规三等分任意角”问题一样，不是未解决的难题，而是在19世纪早已解决的问题。(关于二项式微分式除三种情况外不可积的证明见[11]中的第六章.)

3. 许多初等函数的原函数不是初等函数并不是坏事, 而是好事. 例如上面列出的许多非初等不定积分都是有重要意义和多方面应用的新函数.

4. 利用求导运算是求不定积分的逆运算, 而求导运算要容易得多, 初学者在求得不定积分后应当用求导运算加以验证, 这样就可以纠正绝大部分错误.

5. 对习题课的建议 不定积分计算灵活多变, 在学习中可以用一些不是很困难的题引导学生寻找多种解法. 这对于掌握基本技能很有好处. 例如

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2{)}^2},\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x},\int \frac{\sin x\mathrm{d}x}{\sin x+\cos x}$$

都是值得使用的积分题. 此外, 根据教材和时间的情况还可以介绍双曲代换和复数计算方法等内容.

参考题

1. 设 $f^{\prime }({\sin }^{2}x)=\cos 4x+{\tan }^{2}x,0<x<1$ , 求函数 $f(x)$ .

2. 计算下列不定积分:

(1) $\int x\arctan x\ln (1+x^2)\mathrm{d}x;$

(2) $\int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x{)}^2}\mathrm{d}x;$

(3) $\int [x]|\sin \pi x|\mathrm{d}x$ ( $x⩾0$ );

(4) $\int \sin x\ln (\sin x)\mathrm{d}x$ ;

(5) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin (x+a)\sin (x+b)};$

(6) $\int \frac{1-x^n}{x(1+x^n)}\mathrm{d}x(n\in {\mathbf{N}}_{+})$ .

3. 对每个正整数 $n$ , 定义 $I_n=\int \frac{(ax+b{)}^n}{\sqrt{cx+b}}\mathrm{d}x$ , 求出计算 $I_n$ 的递推公式.

4. 对于实数 $a\ne 0$ 与正整数 $n>2$ , 定义 $I_n=\int {\left[\frac{\sin (x-a)/2}{\sin (x+a)/2}\right]}^n\mathrm{d}x$ . 证明: 对于 $I_n$ 有递推公式

$$I_n=-I_{n-2}+2\cos a\cdot I_{n-1}+\frac{2\sin a}{n-1}{\left[\frac{\sin (x-a)/2}{\sin (x+a)/2}\right]}^{n-1}.$$

5. 设 $Q$ 为 $n$ 次多项式, 且具有 $n$ 个相异实根 $x_i,i=1,2,\cdots ,n$ . 又设 $P$ 是与 $Q$ 不可约的 $m$ 次多项式, 且 $m<n$, 证明:

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x=\sum _{i=1}^n\frac{P(x_i)}{Q^{\prime }(x_i)}\ln |x-x_i|+C.$$

6. 求 $\int f(x)\mathrm{d}x$ , 其中 $f(x)$ 为 $x$ 到离其最近的整数的距离.

7. $Liouville$ 在 19 世纪 30 年代对于初等函数的不定积分在什么条件下是初等函数进行过深入的研究 (参见 [55]), 他得到的一个结果是:

定理

设 $f,g$ 为有理函数, $g$ 不是常值函数, 如果 $\int f(x){\mathrm{e}}^{g(x)}\mathrm{d}x$ 是初等函数, 则存在有理函数 $h$ , 使得

$$\int f(x){\mathrm{e}}^{g(x)}\mathrm{d}x=h(x){\mathrm{e}}^{g(x)}+C.$$

试用这个定理证明: $\int {\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 和 $\int \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\mathrm{d}x$ 都是非初等不定积分 (由后者又可推出 $\int \frac{\mathrm{d}x}{\ln x}$ 也是非初等不定积分).

第十章 定积分

这一章是一元函数积分学的基本理论.

在 §$10.1$ 中利用可积性的三个充分必要条件对于可积函数类进行了深入讨论. §$10.2$ 为定积分的性质, 主要是积分中值定理与对积分求极限. 在 §$10.3$ 中讨论变限积分与微积分基本定理. §$10.4$ 为定积分的计算. 最后一节为学习要点和两组参考题.

定积分的应用极其广泛, 将在下一章中分专题介绍.