§$8.8$ 对于教学的建议

微分学的应用极其广泛, 本章只介绍了其中的一部分内容, 主要是对于函数的研究, 还包括极限计算与方程求根的近似计算方法. 其他如曲率、渐屈线与渐伸线等在几何学上的应用均未收入. 有需要的读者可以从 [$14$, $8$, $27$, $59$, $72$] 等文献中找到微分学应用方面的更多材料.

$\mathrm{8.8.1}$ 学习要点

$1$. $L^{\prime }Hospital$ 法则无疑是求函数极限的首选工具. 但是若使用不当则会带来复杂的计算. 如何能综合使用包括 $Taylor$ 公式在内的各种方法, 初学者需要通过大量的训练才能掌握. 今后学了积分学和无穷级数等知识后, 还会提供计算极限的许多新工具. 因此计算极限这一主题并非到此为止. 复习考研的学生尤其要注意这一点.

$2$. 函数的单调性分析 (即确定其单调区间) 以及函数极值和最值的确定, 这些都是函数研究中的基本问题. 这方面可以参考 [$27$, $59$] 的 §$2.7$, §$2.11$. 对具有实际背景的极值应用题感兴趣的读者, 可以从 [$27$, $59$] 的 §$2.13$ 得到丰富多彩的材料 (例题 $\mathrm{8.3.4}$ 即是 [$27$] 中的习题 $1587$).

$3$. 凸函数在数学中是一类很重要的函数, 在理论和应用上均有其独特的地位. 有关凸函数的考题在考研中也是常见的. 本章对凸函数和有关的不等式作了基本的介绍. 请读者注意其中每个结论均有明显的几何意义, 由此出发不难掌握有关的结论和证明. 此外, 在凸函数中的许多有关问题可以从不利用导数、利用一阶导数和利用二阶导数三个层次来进行研究. 一个典型例子就是在本书中出现多次的 $Jensen$ 不等式(即命题 $\mathrm{8.4.7}$).

$4$. 不等式在几乎每个数学领域中都是一个重要主题. 可以看出, 与本书第一章 §$1.3$ 的初等不等式相比, 在本章中我们对不等式的认识上升到了一个全新的水平. 事实上在今后, 随着数学分析 (以及其他课程) 的学习, 不等式会一再出现, 在内容和方法上都会有层出不穷的新东西. 例如在 $\mathrm{8.5.2}$ 小节中的三个经典不等式在积分学和无穷级数中就都会遇到. 这方面的内容极其丰富, §$8.5$ 是用微分学来研究不等式, 在后面的 §$11.2$ 则是用积分学来研究不等式. 应当指出, [$30$] 是我国学者所写的不等式方面的专著, 材料极其丰富, 很有参考价值.

$5$. 微分学在函数作图方面的应用是明显的。但是应当看到，除了用微分学的作图方法之外，还存在另一种作草图的简便方法。这就是利用曲线的“四则运算”和移位、按比例放大缩小等技巧，将曲线的大致趋势迅速确定出来。值得注意的是在部分教科书中还专门介绍了这个方法（例如见 [$42$, $72$]）。在经典习题集 [$27$] 中为此将这两种不同的作图方法的练习分别安排在 §$1.4$ 和 §$2.12$ 中。希望上习题课的教师注意不要漏掉这方面的训练。在 [$59$] 的 §$1.4$ 和 §$2.12$ 有很多详细解答的例题可供参考。

$6$. 近似计算问题应当在数学分析的教学中占有一定的分量。尽早培养学生在这方面的意识是数学分析在今后的改革方向之一。从第二章开始，本书注意了介绍这方面的内容。当然这里还有许多不足之处。若有可能，希望在数学分析的教学中加入简单编程计算和使用 $Mathematica$ 等软件的内容。实际上本书的部分例题就是用 $Mathematica$ 来计算的 (例如例题 $\mathrm{8.7.3}$)。

$7$. 对习题课的建议 本章习题课的材料很丰富, 都比较具体. 需要注意的是不要在习题课上草草过场, 对有关材料要充分展开. 通过应用微分学解决实际问题, 让学生加强应用的意识, 提高应用的能力. 凸函数、不等式都是很重要的题材, 需要在习题课上专门花时间训练.

$\mathrm{8.8.2}$ 参考题

第一组参考题

$1$. ($1$) 设 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)+f^{\prime }(x)]=0$ ，证明： ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$;

($2$) 设 $|f(x)+f^{\prime }(x)|⩽1$ , $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界, 证明: $|f(x)|⩽1$ .

$2$. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域上二阶可微, 且 ${\lim }_{x\to 0}{\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}={\mathrm{e}}^3$ . 求 $f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)$ 和 ${\lim }_{x\to 0}{\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}$ .

$3$. 例题 $\mathrm{8.1.10}$ 可以推广如下：设正数数列 $\{x_n\}$ 为满足递推公式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 的无穷小量，函数 $f$ 有 $Maclaurin$ 展开式 $f(x)=x+A{x}^k+o(x^k)(x\to 0)$ ，其中 $k$ 为大于 $1$ 的某正整数，系数 $A\ne 0$ ，证明：有 $\alpha >0$ ，使得存在非零极限 ${\lim }_{n\to \infty }n{x}_n^{\alpha }$ 并求出此极限.

$4$. 设 $f\in C[a,b]$ , 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 内没有极值点的充分必要条件是 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上为严格单调函数.

$5$. 证明关于三点不等式 (命题 $\mathrm{1.3.4}$) 的一个推广: 在 $0<p<1$ 时, 成立不等式

$$|a+b{|}^p⩽|a{|}^p+|b{|}^p.$$

$6$. 证明: 对每个正整数 $n$ , 成立不等式

$$\frac{\mathrm{e}}{2n+2}<\mathrm{e}-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{\mathrm{e}}{2n+1}.$$

$7$. 证明: 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时, 成立不等式 ${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^3>\cos x$ .

$8$. 证明: 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时, 成立不等式 $2\sin x+\tan x>3x$ .

$9$. 证明: 当 $0<x<1$ 时, 成立不等式

$$\pi <\frac{\sin \pi x}{x(1-x)}⩽4.$$

$10$. 证明: 当 $x\in [0,\pi /2]$ 时, 成立比 $Jordan$ 不等式 (例题 $\mathrm{8.5.6}$) 更好的结果:

$$\sin x⩾\frac{2}{\pi }x+\frac{1}{12\pi }x({\pi }^2-4x^2).$$

$11$. 证明: 对 $n$ 个正数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，成立不等式

$$\frac{x_1{x}_2\cdots x_n}{(x_1+x_2+\cdots +x_n{)}^n}⩽\frac{(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)}{(n+x_1+x_2+\cdots +x_n{)}^n},$$

并讨论成立等号的条件.

$12$. 证明：当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时，成立 $(\sin x{)}^{\cos x}<(\cos x{)}^{\sin x}$ ; 而在 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，不等式反向.

$13$. 设 $p>1,a,b>0$ , 证明:

($1$) 当 $t>0$ 时, 成立

$$\frac{1}{p}{t}^{\frac{1}{p}-1}a+(1-\frac{1}{p})t^{\frac{1}{p}}b⩾a^{\frac{1}{p}}{b}^{1-\frac{1}{p}};$$

($2$) 当 $0<t<1$ 时, 成立

$$t^{1-p}{a}^p+(1-t{)}^{1-p}{b}^p⩾(a+b{)}^p.$$

$14$. 设 $p(x)$ 为三次多项式, $p(a)=p(b)=0$ , 证明: $p(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号的充分必要条件是 $p^{\prime }(a)p^{\prime }(b)⩽0$ .

$15$. 证明在 $\mathbf{R}$ 上的任何可微函数都不可能满足下列函数方程:

$$(1)g(g(x))=-x^3+x+1;(2)g(g(x))=-x^3+x^2+1;(3)g(g(x))=x^2-3x+3.$$

$16$. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微, $f(0)=f(1)=0$ , ${\min }_{0⩽x⩽1}\{f(x)\}=-1$ , 证明: 存在 $\xi \in (0,1)$ , 使成立 $f^{\prime \prime }(\xi )⩾8$

$17$. 设 $f$ 在 $[-1,1]$ 上三阶可微, $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ , $f(1)=1$ , $f(-1)=0$ , 证明: 存在 $\xi \in (-1,1)$ , 使成立 $f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$ .

$18$. 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续可微, $f(a)=f(b)=0$ , $Wronski$ (朗斯基) 行列式

$$W(f,g)=\left|\begin{array}{cc}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}\right|\ne 0,\forall x\in [a,b],$$

证明: $g(x)$ 在 $(a,b)$ 中有零点.

第二组参考题

$1$. 设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调减少、可微，且满足不等式 $0<f(x)<|f^{\prime }(x)|$ ，证明：当 $0<x<1$ 时，成立不等式

$$xf(x)>\frac{1}{x}f\left(\frac{1}{x}\right).$$

$2$. 若 $f(0)=0$ , 且存在 $f^{(n+1)}(0)$ , 定义

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x},& x\ne 0,\\ f^{\prime }(0),& x=0,\end{array}$$

证明: $g(x)$ 的 $n$ 阶导函数 $g^{(n)}(x)$ 在 $x=0$ 连续, 且 $g^{(n)}(0)=\frac{1}{n+1}{f}^{(n+1)}(0)$ . (例题 $\mathrm{8.1.9}$ 的推广.)

$3$. 设 $f$ 在点 $a$ 存在 $f^{(n)}(a)$ ，且 $f(a)=0$ 。令 $F(x)=[f(x){]}^n$ ，证明：对于 $k=0,1,\cdots ,n-1$ ， $F^{(k)}(a)=0$ 。又举例说明：导数 $f^{(n)}(a)$ 存在的条件不能去掉。

$4$. 记 $P_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，证明：

($1$) $n$ 为偶数时, $P_n(x)>0,\forall x\in \mathbf{R}$ ;

($2$) $n$ 为奇数时, $P_n(x)$ 有唯一的实零点;

($3$) 若将 $P_{2n+1}(x)$ 的零点记为 $x_n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 则 $\{x_n\}$ 是严格单调减少的负无穷大量;

($4$) 当 $x<0$ 时, 成立不等式 $P_{2n}(x)>{\mathrm{e}}^x>P_{2n+1}(x)$ ;

($5$) 当 $x>0$ 时, 成立不等式 ${\mathrm{e}}^x>P_n(x)⩾{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ ;

($6$) 对一切 $x\in \mathbf{R}$ , 成立 ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n(x)={\mathrm{e}}^x$ .

$5$. 定义 $x_0=a,x_1=b,x_{n+1}=\frac{(2n-1)x_n+x_{n-1}}{2n}$ , 求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ .

$6$. 设 $0<x_0<y_0⩽\frac{\pi }{2}$ , 并用递推公式 $x_{n+1}=\sin x_n$ 和 $y_{n+1}=\sin y_n$ 生成两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ , 证明: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=1$ .

$7$. 证明：若函数 $y=\frac{a{x}^2+2bx+c}{\alpha x^2+2\beta x+\gamma }(\alpha \ne 0)$ 有三个拐点，则它们必在一条直线上.

$8$. 下凸函数的 $Jensen$ 定义是: 称函数 $f$ 在区间 $I$ 上为下凸, 如果对所有 $x_1,x_2\in I$ , 成立

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)⩽\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)].$$

证明: 对连续函数来说, 下凸的 $Jensen$ 定义和 §$8.4$ 中的下凸定义等价.

(确实存在按 $Jensen$ 定义为下凸但不满足 §$8.4$ 中的下凸定义的函数, 例题 $\mathrm{5.1.3}$ 的不连续解就是如此 (参见 [$54$, $56$, $58$]).)

$9$. 设 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上按 $Jensen$ 定义为下凸函数, 且至多只有第一类间断点, 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上连续.

$10$. 设 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上按 $Jensen$ 定义为下凸函数, 且在 $(a,b)$ 内的每个闭子区间上有界, 证明: $f$ 在 $(a,b)$ 上连续.

$11$. 函数 $f$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可微， $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ ，且在该区间上满足不等式 $|f^{\prime \prime }(x)|⩽|f(x)|+|f^{\prime }(x)|$ ，证明： $f(x)\equiv 0$ .

$12$. 设 $f(x)$ 为区间 $I$ 上的可微函数, 满足微分方程 $f^{\prime }(x)=g(f(x))$ , 其中 $g$ 是在 $f$ 的值域上有定义的函数, 证明: $f$ 一定是单调函数.

$13$. 证明：在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶可微的函数 $f$ 不可能对于一切 $x$ , 同时满足不等式

$$f(x)>0,f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)<0.$$

$14$. 设 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上三阶可微, 证明: 存在一个点 $a$ 使得

$$f(a)f^{\prime }(a)f^{\prime \prime }(a)f^{\prime \prime \prime }(a)⩾0.$$

$15$. 设 $p(x)$ 是多项式, 证明: 若对每个 $x$ 成立不等式

$$p^{\prime \prime \prime }(x)-p^{\prime \prime }(x)-p^{\prime }(x)+p(x)⩾0,$$

则 $p(x)⩾0$ 对每个 $x$ 成立.

$16$. 设 $P$ 为多项式, $P(x)=0$ 有 $n$ 个大于 $1$ 的互异实根, 令

$$Q(x)=\left(x^2+1\right)P(x)P^{\prime }(x)+x\left[{\left(P(x)\right)}^2+{\left(P^{\prime }(x)\right)}^2\right],$$

证明： $Q(x)=0$ 至少有 $2n-1$ 个互异实根.

(下面两个题用于证明在第二章第二组参考题 $18$ 中所用到的结论.)

$17$. 设 $f(x)=a^x$ ，证明：

($1$) 如 $a>{\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ , 则 $f$ 无不动点;

($2$) 如 $a={\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ , 则 $f$ 恰有一个不动点;

($3$) 如 $1<a<{\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ , 则 $f$ 有两个不动点.

$18$. 设 $g(x)=a^{a^x}$ , 证明:

($1$) 如 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{e}}⩽a<1$ , 则 $g$ 只有一个不动点;

($2$) 如 $0<a<{\mathrm{e}}^{-\mathrm{e}}$ ，则 $g$ 有三个不动点.

$19$. 讨论三角方程 $a\sin \theta +b\cos \theta -\sin \theta \cos \theta =0$ 在 $[0,2\pi )$ 中的实根个数.

$20$. 从平面上的一个定点向一个给定的椭圆可以引出多少条法线？讨论在什么区域上法线的条数最多。（参见后面 $412$ 页上关于本题所附的图 $1$ 和图 $2$。） (本题以及类似的问题最早是由 $Apollonius$ (阿波罗尼奥斯,约公元前 $262$—前 $190$ 年)提出和解决的.又见于《数学译林》($1992$)第 $4$ 期,即 $V.I.Arnold$ 给出的《构成对物理专业学生的最低限度的数学的一百个问题》中的第 $7$ 题.)

第九章 不定积分

本章主要讨论不定积分的计算, 要点是掌握不定积分的基本计算方法与常见的可积函数类. 本章共分三节: 在 §$9.1$ 中以分部积分法和换元积分法为中心, 通过例题介绍不定积分的计算方法; 在 §$9.2$ 中讨论几类主要的可积函数; 最后一节为学习要点和参考题.