§8.6 函数作图

在用微分学知识作函数 $y=f(x)$ 的图像时, 应注意以下基本内容:

1. 基本初等函数的图像 (中学数学中的基本内容).

2. 多项式函数 $y=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ 的图像, 特别是其中 $n=2$, $3$ 时的所有可能情况, 以及 $n$ 为奇数和偶数时的各种可能情况.

3. 利用某个函数的已知图像经过简单变换得到新的图像的方法. 这里的内容有, 设已知 $y=f(x)$ 的图像, 求以下函数的图像: (1) $y=f(-x)$ ; (2) $y=-f(x)$ ; (3) $y=-f(-x)$ ; (4) $x=f(y)$ ; (5) $y=f(x+a)$ ; (6) $y=f(kx)$ ; (7) $y=kf(x)$ ; (8) $y=f(x)+a$ ; (9) $y=|f(x)|$ .

4. 已知函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像, 作出函数 $y=f(x)+g(x)$ , $y=f(x)-g(x)$ , $y=f(x)\cdot g(x)$ 的图像.

熟练掌握以上技巧对于作出函数的大致图像 (即所谓作草图) 有很大帮助. 作草图时不需要微分学的知识, 但是若能将作草图的方法与微分学相结合, 就可以既迅速又准确地作出函数的图像.

对于函数 $y=f(x)$ 的一般作图步骤在教科书中均有介绍, 这里不必重复. 对于用参数方程表示的函数 $x=x(t),y=y(t)$ 的作图问题, 一般是先分别作出 $x=x(t)$ 和 $y=y(t)$ 的图像, 然后再拼成为一张图 (见下面的例题). 对于用方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数, 往往引入参数 $t$ 而转化为上一问题.

8.6.1 例题

例题 8.6.1

作出用参数方程 $x=2t-4t^3$ , $y=t^2-3t^4$ 给出的曲线图像.

证明

$x(t)$ 和 $y(t)$ 只是 $t$ 的三次和四次多项式, 容易分别作出它们的图像如图 $8.9$ ($a$) 、$8.9$ ($b$) 所示:

($a$)

($b$)
图 $8.9$

关于三次多项式 $x(t)=2t-4t^3$ 的主要分析如下: $x(t)$ 是奇函数; 导函数 $x_t^{\prime }=2-12t^2$ 的零点为 $t=\pm 1/\sqrt{6}$ , 其中 $-1/\sqrt{6}\approx -0.4082$ 是极小值点, 极小值为 $-2\sqrt{6}/9\approx -0.5443$, $1/\sqrt{6}\approx 0.4082$ 是极大值点, 极大值为 $2\sqrt{6}/9\approx 0.5443$; $x(t)$ 有三个零点: $0$ 和 $\pm \sqrt{2}/2\approx \pm 0.7071$.

关于四次多项式 $y=t^2-3t^4$ 的主要分析如下: $y(t)$ 是偶函数; 导函数 $y_t^{\prime }=2t-12t^3$ 有三个零点: $0$ 和 $\pm 1/\sqrt{6}\approx \pm 0.4082$, 其中 $t=0$ 为极小值点, 极小值为 $0$, 其他两个零点是 $y(t)$ 的极大值点, 极大值为 $1/12\approx 0.0833$; $y(t)$ 除了二重零点 $0$ 之外还有两个零点: $\pm \sqrt{3}/3\approx \pm 0.5774$.

现在已经可以将以上分析合并以得到所要求的参数方程的图像, 这就是图 $8.10$, 其中参数 $t$ 的变化范围为从 $-0.95$ 到 $0.95$.

图 $8.10$ 的作法如下. 首先, 当 $x$ 换为 $-x$ 时, 对应的参数值 $t$ 也反号, 但 $y$ 是 $t$ 的偶函数, 从而可见在 $xOy$ 坐标系中曲线关于 $y$ 轴对称. 因此以下只需讨论参数 $t>0$ 的情况. 根据 $\mathrm{6.2.3}$ 小节的参数方程求导法则, 就有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=t\cdot \frac{1-6t^2}{1-6t^2},$$

因此当 $t\ne 1/\sqrt{6}\approx 0.4082$ 时, 就得到 $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=t$ .

图 $8.10$

从前面对 $x_t^{\prime }$ 和 $y_t^{\prime }$ 的分析已经知道当 $t=1/\sqrt{6}$ 时这两个导数均为 $0$, 我们将这样的点称为奇点. 这是本例中的主要困难. 由于关于 $y$ 轴对称, 因此有两个奇点: $(\pm 2\sqrt{6}/9,1/12)$ , 两个坐标的近似值为 $\pm 0.5443$ 和 $0.0833$.

当 $t$ 从 $0$ 变化到 $1/\sqrt{6}$ 时, 由于 $y_x^{\prime }=t$, 而 $x(t)$ 和 $y(t)$ 均为 $t$ 的严格单调增加函数, 因此可以知道 $y$ 是 $x$ 的严格单调增加函数. 又由于导函数 $y_x^{\prime }$ 也是 $x$ 的严格单调增加函数, 因此 $y=y(x)$ 是下凸函数.

从同样的分析可以知道, 当 $t$ 从 $1/\sqrt{6}$ 起增加时, $y$ 是 $x$ 的严格单调增加函数, 而且是上凸函数.

从前面已经得到的导数公式可以知道, 有

$$\underset{t\to \frac{1}{\sqrt{6}}}{\lim }\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0.4082,$$

因此在奇点处存在切线. 确切地说, 在奇点 $(2\sqrt{6}/9,1/12)$ 的左侧邻近, 存在 $y=y(x)$ 的两个分支, 它们在 $x=1/\sqrt{6}$ 处存在相同的左侧导数. (这里对每一支可以应用命题 $\mathrm{7.1.7}$, 即单侧导数极限定理.) 我们将这样的奇点称为尖点.

根据对称性就可以得到 $t<0$ 时的曲线图像. 此外, 从表达式可以知道不存在任何渐近线.

值得注意的是, 参数方程 $x=x(t)$ 和 $y=y(t)$ 都是简单的多项式, 但在 $xOy$ 平面上的曲线却会出现复杂的性态. 这个例子就是在突变理论 ($CatastropheTheory$) 中燕尾突变 ($SwallowtailCatastrophe$) 的分歧集合的图像 (见 $[52]$). 图 $8.10$ 就是燕尾突变这个名称的由来. 此外, 本题又见于《数学译林》($1992$) 第 $4$ 期《数学的基本要求》一文中的题 $6$.

以上关于凸性的结论是从导函数 $y_x^{\prime }$ 的单调性得到的, 即利用了命题 $\mathrm{8.4.4}$. 也可以直接计算出

$$y_x^{\prime \prime }=(y_x^{\prime }{)}_x^{\prime }=\frac{(y_x^{\prime }{)}_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{1}{2(1-6t^2)},$$

然后用命题 $\mathrm{8.4.6}$ 作出结论.

当 $t\to 0$ 时 $x(t)$ 和 $y(t)$ 均为无穷小量, 且有 $y(t)\sim \frac{1}{4}x(t{)}^2(t\to 0)$ . 这是对图 $8.10$ 上的曲线在原点附近的渐近描述.

在 $[59]$ 的第一册中, 对 $[27]$ 中关于函数作图的 §$1.4$ 和 §$2.12$ 有较详细的讲解与分析, 并在附录 $1$ 和附录 $2$ 中, 利用软件 $PSTricks$ 分别作出了这两节的作图题的全部答案. (附录 $1$ 中的习题号为 $237$—$380$, 附录 $2$ 中的习题号为 $1471$—$1555$.)

8.6.2 练习题

1. 随手画出一条曲线代表 $y=f(x)$ , 然后试画出其一阶导函数和二阶导函数的图形 (本题是《数学译林》($1992$) 第 $4$ 期《数学的基本要求》一文中的第 $1$ 题).

2. 证明: 曲线 $y=\frac{x+1}{x^2+1}$ 有位于同一直线上的三个拐点, 并作图.

3. 作出以下函数的图像:

   (1) $y={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x(x>0)$; (2) $y=\frac{1}{1+x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{1-x^2}}$; (3) $y=\frac{x^4}{(1+x{)}^3}$; (4) $y=(1+x^2){\mathrm{e}}^{-x^2}$; (5) $y=\frac{\ln x}{x}(x>0)$; (6) $y=x^{\frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-x}$; (7) $y=\frac{(x-1{)}^3}{(x+1{)}^2}$; (8) $y=\sqrt{\frac{x^3}{x-a}}(a>0)$; (9) $y=x^x(x>0)$; (10) $y=x^{\frac{1}{x}}(x>0)$.

4. 证明: 方程 $x^y=y^x$ 在第一象限内的图像由一条直线和一条曲线组成, 并作出此图像.

5. 作出以下用参数方程给出的曲线:

   (1) $x=t^2-2,y=t(t^2-2)$ ;

   (2) $x=2t-t^2,y=3t-t^3$ ;

   (3) $x=\frac{3t}{1+t^3},y=\frac{3t^2}{1+t^3}$;

   (4) $x=t-t^3,y=1-t^4$ ;

   (5) $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$ (摆线);

   (6) $x=a(\cos t+t\sin t),y=a(\sin t-t\cos t)$ (圆的渐开线).