8.3 函数的极值与最值

§$8.3$ 函数的极值与最值

关于极值与最值的基本事实

1. 根据 $\mathrm{7.1.1}$ 小节给出的定义, 极值点必须是函数的定义域中的内点. 这就是说, 极值点必须有一个邻域在函数的定义域中.

2. 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 两侧 (邻近) 均为单调, 且具有相反的单调性, 则 $x_0$ 为极值点.

3. 根据 $Fermat$ 定理, 函数的极值点或是函数的不可导点 (包括不连续点), 或是函数的导数等于零的点.

4. 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处二阶可微, $f^{\prime }(x_0)=0$ , $f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$ , 则 $x_0$ 一定是极值点. 此时, 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ , 则 $x_0$ 是极小值点; 而若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ , 则 $x_0$ 是极大值点.

5. 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处为 $n$ 阶可微, $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$ , 但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$ , 则有以下结论 (证明见例题 $\mathrm{8.3.1}$):

(1) 若 $n$ 为奇数, 则 $x_0$ 一定不是极值点;

(2) 若 $n$ 为偶数, 则 $x_0$ 一定是 $f$ 的极值点. 若 $f^{(n)}(x_0)>0$ , 则 $x_0$ 是极小值点; 若 $f^{(n)}(x_0)<0$ , 则 $x_0$ 是极大值点.

6. 以上 $2$、$4$、$5$ 三项所列出的条件都是充分而非必要的条件. 目前还不知道函数在某个点达到极值的充分必要条件是什么.

7. 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 有任意阶的导数, 而且所有这些导数值都等于 $0$ , 则函数仍然可能在点 $x_0$ 处达到或不达到极值. 前者的例子见例题 $\mathrm{6.2.4}$, 其中的函数在点 $x=0$ 的任意阶导数为 $0$ , 又在该点取到极小值 (见图 $6.4$). 后者的例子可以从例题 $\mathrm{6.2.4}$ 中的函数经适当改造后得到 (留作思考题).

8. 若函数在内点达到最值, 则同时也达到极值.

9. 在闭区间或半闭半开区间上定义的函数的最值点位置只有两种可能: (1) 端点, (2) 极值点. 这是寻找函数最值点的基本原则.

例 $8.3.1$

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可微, 且满足条件

$$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\ne 0,$$

则有结论: (1) 若 $n$ 为奇数, 则 $x_0$ 一定不是 $f$ 的极值点; (2) 若 $n$ 为偶数, 则当 $f^{(n)}(x_0)>0(<0)$ 时, $x_0$ 是函数 $f$ 的极小值点 (极大值点).

证明

这时 $f$ 在 $x_0$ 的 $Taylor$ 公式为

$$f(x)=f\left(x_0\right)+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^n+o\left({\left(x-x_0\right)}^n\right)\left(x\to x_0\right).$$

将它改写成

$$f(x)-f(x_0)=\frac{1}{n!}\left[f^{(n)}(x_0)+o(1)\right](x-x_0{)}^n(x\to x_0),\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

由于 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$ , 则存在 $\delta >0$ , 当 $x\in O_{\delta }(x_0)$ 时, 公式 $(8.3)$ 右边的方括号中的表达式的符号完全由 $f^{(n)}(x_0)$ 确定.

若 $n$ 为奇数, 则可以从 $(8.3)$ 看出当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 和 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时, $f(x)-f(x_0)$ 异号, 因此 $x_0$ 一定不是极值点.

若 $n$ 为偶数, 则公式 $(8.3)$ 表明, 当 $x\in O_{\delta }(x_0)-\{x_0\}$ 时, $f(x)-f(x_0)$ 与 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_0)$ 的符号一致. 因此当 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时, $x_0$ 是 $f$ 的极小值点. 反之, 若 $f^{(n)}(x_0)<0$ , 则 $x_0$ 是 $f$ 的极大值点. $\square$

$n=1$ 时这就是 $Fermat$ 定理 (命题 $\mathrm{7.1.2}$)，即从 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 可推出 $x_0$ 不是 $f$ 的极值点.上述证明就是那里的证 $2$.

例 $8.3.2$

证明: $x=0$ 是 $f(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2\cos x$ 的极小值点.

证明

计算得到 $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=f^{\prime \prime \prime }(0)=0$ , $f^{(4)}(0)=4$ . 用上一命题的结论可见 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点. □

例 $8.3.3$

现在可以解决在 §$2.5$ 中引进数 $\mathrm{e}$ 时所提出的下列问题.

已知正数 $a$, 把它分成若干部分, 如果要求各部分的乘积达到最大, 应该怎样分法?

解

设将 $a$ 分成 $n$ 份, 然后相乘. 由平均值定理知道, 若给定 $n$ , 则应将 $a$ 分成相等的 $n$ 份最为有利. 这时所得到的乘积为

$${\left(\frac{a}{n}\right)}^n.$$

问题是如何取 $n$ 才能使这个乘积最大.

令 $x=\frac{a}{n}$ , 则上述乘积为 ${\left(x^{\frac{1}{x}}\right)}^a$ . 因此所提的问题和求函数

$$f(x)=x^{\frac{1}{x}}(x>0)\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

的最大值有密切关系.

求 $f(x)$ 的导数, 得到

$$f^{\prime }(x)=f(x){\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{\prime }=f(x)\cdot \frac{1}{x^2}(1-\ln x).$$

可见导函数 $f^{\prime }(x)$ 只有一个零点 $x=\mathrm{e}$ . 从导函数的表达式可见, 在 $(0,\mathrm{e})$ 上 $f$ 严格单调增加, 而在 $(\mathrm{e},+\infty )$ 上 $f$ 严格单调减少. 因此 $x=\mathrm{e}$ 是函数 $f$ 的最大值点 (见图 $8.3$).

图8.3

由于在一开始时令 $x=a/n$ ，所以要求 $a/x$ 为正整数．如果 $a/\mathrm{e}$ 不是正整数，则应当取 $n$ 为多少？

若 $0<a<\mathrm{e}$ , 则可以看出 $n=1$ . 也就是说不分比分好. 若 $a/\mathrm{e}\notin {\mathbf{N}}_{+}$ 且 $a>\mathrm{e}$ , 则总可以找到一个正整数 $n$ , 使得

$$\frac{a}{n+1}<\mathrm{e}<\frac{a}{n}.$$

然后比较 $f\left(\frac{a}{n+1}\right)$ 和 $f\left(\frac{a}{n}\right)$ 的大小, 决定将 $a$ 分成 $n$ 份还是 $n+1$ 份. $\square$

另一个与此相关的问题是: 若 $a\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 且要求所分成的每一份都是正整数, 则应当如何分才能使乘积最大?

这个问题的答案是: 首先每一份应当不是 $2$ 就是 $3$, 也就是说与数 $\mathrm{e}$ 尽可能接近. 一旦知道这个结论后, 可以用数学归纳法来证明它, 并不需要上述微分学的知识. 然后, 由于 $2+2+2=3+3$ , 但 $2^3<3^2$ , 因此在将正整数 $a$ 分成若干个 $2$ 与 $3$ 之和时, $2$ 最多出现两次. 这样就将分法完全确定下来, 并保证乘积最大.

最后将分法小结如下: 设 $a\in {\mathbf{N}}_{+}$ . (1) 若 $a$ 是 $3$ 的倍数, 则每一份为 $3$; (2) 若 $a\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ , 则取两份 $2$, 其余均为 $3$; (3) 若 $a\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ , 则取一份 $2$, 其余均为 $3$.

在 $(8.4)$ 中的函数的最大值也可以从不等式

$${\mathrm{e}}^u⩾1+u$$

得到, 其中仅当 $u=0$ 时成立等号. 这从带 $Lagrange$ 余项的 $Taylor$ 公式 (其中 $0<\theta <1$ )

$${\mathrm{e}}^u=1+u+\frac{{\mathrm{e}}^{\theta u}}{2!}{u}^2⩾1+u$$

就可以得到. 然后令

$$u=\frac{x-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}$$

代入, 略加整理, 即可得到不等式

$${\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}⩾x^{\frac{1}{x}},$$

当且仅当 $x=\mathrm{e}$ 时成立等号.

例 $8.3.4$

问: 能通过图 $8.4$ 的直角河道的最长船身是多少?

解

在图上我们看到宽度为 $a$ 和 $b$ 的河道成直角相接。现在设想将船简化为一个直线段。在图上经过河岸的突出角作出一条斜线段。以图示的角度 $\theta$ 为这个线段位置的参数， $0<\theta <\frac{1}{2}\pi$ 。可以看出，能通过直角河道的船身长度在任何情况都不会超出这个线段的长度 $l(\theta )$ 。由于这对每个 $\theta$ 都成立，因此能通过这个河道的最长船身不会超过

图8.4

$$\underset{0<\theta <\frac{\pi }{2}}{\min }\{l(\theta )\}.$$

另一方面, 可以看出, 在用一个直线段来表示船时, 只要船身不超过这个最小值, 船就能够通过这个直角河道. 所以求最大船长的问题就转变成为求函数 $l(\theta )$ 的最小值问题, 这里自变量 $\theta$ 的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ .

容易写出函数 $l(\theta )$ 的表达式:

$$l(\theta )=a\sec \theta +b\csc \theta ,0<\theta <\frac{\pi }{2}.$$

求导得到

$$l^{\prime }(\theta )=\frac{a\sin \theta }{{\cos }^2\theta }-\frac{b\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }\cdot (a{\sin }^3\theta -b{\cos }^3\theta ).$$

由于当 $\theta$ 从 $0$ 变到 $\frac{1}{2}\pi$ 时最后一个因子 $a{\sin }^3\theta -b{\cos }^3\theta$ 的值从 $-b$ 到 $a$ 严格单调增加, 因此 $l^{\prime }(\theta )$ 存在唯一的零点

$${\theta }_0=\arctan \sqrt[3]{\frac{b}{a}}.$$

从 $l^{\prime }(\theta )$ 的符号变化可见 ${\theta }_0$ 是函数 $l(\theta )$ 的最小值点.

最后计算出 $l(\theta )$ 的最小值

$$l({\theta }_0)={\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}},$$

这就是能通过所示直角河道的最大船身长度。由于我们无法考虑各种船的具体形状，而是将船简化为一个直线段，因此所求出的数值只有参考价值。但是这个值肯定是能通过的船身长度的一个上界。

$8.3.2$ 练习题

1. 设 $f\in C(I)$ , $I$ 为区间, 证明: 若 $x_0\in I$ 是 $f$ 的唯一极值点, 则 $x_0$ 一定是最值点; 又若 $x_0$ 是极小值点 (极大值点), 则它也是 $f$ 的唯一最小值点 (唯一最大值点).

2. 求出方程 $x^3+px+q=0$ 有三个不同实根的充分必要条件.

3. 求出方程 $\frac{1}{x^2}+px+q=0$ 有三个不同实根的充分必要条件.

4. 证明: $f(x)=a^2{\mathrm{e}}^{\lambda x}+b^2{\mathrm{e}}^{-\lambda x}(a,b>0)$ 存在与 $\lambda$ 无关的极小值.

5. 证明: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 若不是常值函数, 则不会有极值.

6. 比较两个数的大小: (1) ${\pi }^{\mathrm{e}}$ 和 ${\mathrm{e}}^{\pi }$ , (2) $(\sqrt{n}{)}^{\sqrt{n+1}}$ 和 $(\sqrt{n+1}{)}^{\sqrt{n}}$ .

7. 考虑下列几何极值问题 (能用初等方法做就不一定用微分学工具):

(1) 在面积为定值的三角形中, 什么三角形的周长最小?

(2) 在周长为定值的三角形中, 什么三角形的面积最大?

(3) 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 内, 各边平行于坐标轴的内接矩形中, 面积最大的矩形的长和宽为多少?

(4) 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 内, 各边平行于坐标轴的内接矩形中, 周长最大的矩形的长和宽为多少?

8. 考虑给定边界值的二阶线性非齐次微分方程

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x),a<x<b,y(a)=A,y(b)=B,$$

其中 $p,q,r$ 是给定的函数, $A$ 和 $B$ 是给定的数. 又设 $q(x)<0,\forall x\in (a,b)$ , 证明: 如果这个微分方程在闭区间 $[a,b]$ 上存在解, 则必唯一.

前面与极值问题有关的材料还有 $\mathrm{5.3.3}$ 小节的题 $9$, 第五章第二组参考题 $16$-$18$.