§6.4 对于教学的建议

6.4.1 学习要点

1. 本章的重点包含: (1) 导数和微分的概念, (2) 求导的计算能力.

2. 在求导计算中, 主要的错误有这样几类: (1) 基本求导法则记不住, (2) 粗心, (3) 概念不清. 由于一般读者都明白如何克服前两类毛病, 因此本书在这一章中的内容主要是围绕概念来展开的. 实际上在运用反函数求导法则和复合函数求导法则时的错误主要是对于这两个法则并不真正理解.

3. 在一元微分学中, 微分的概念从另一种与变化率完全不同的角度加深了我们对导数的了解. 这对于今后多元微分学的学习是必要的基础.

4. 既然微分 $\mathrm{dy}$ 是增量 $\Delta y$ 的线性主部, 因此在 $\Delta x$ 充分小时可以用微分作为增量的近似值. 但这里不能对误差作出定量估计, 因此这只是近似计算的初步方法, 它是在以后学习 $Taylor$ 公式的基础.

5. 本章没有提到二阶微分和一般的高阶微分的概念。但是应当知道，对于二阶微分以及更高阶的微分来说，不存在形式上的不变性。

6. 对习题课的建议 本章内容不难理解. 训练重点应当放在基本概念和基本运算能力上. 在习题课上要对概念模糊和运算马虎的学生提出警告. 同时, 在第一学期数学分析的讲授中这一章的内容也是比较容易的部分, 习题课教师可以利用这段时间处理一些前面的遗漏事项. 初学者往往对微分不予重视, 其实微分这种线性近似的观点是十分重要的. 要重视无穷小增量公式. 这是进入下一章学习的重要基础.

6.4.2 参考题

第一组参考题

1.

利用导数的定义计算极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+\tan x{)}^{10}-(1-\sin x{)}^{10}}{\sin x}.$

2.

设 $f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2}$ ，计算 $f^{(100)}(0)$ ，要求相对误差不超过 $1\%$ .

3.

设 $f$ 在点 $a$ 处可导, $f(a)\ne 0$ . 计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]}^n$ .

4.

设 $a\ne 0$ , 计算 $f(x)=\frac{\sin x+\sin (x+a)}{\cos x-\cos (x+a)}$ 的导数并对结果作出解释.

5.

设 $f(0)=0,f^{\prime }(0)$ 存在. 定义数列

$$x_n=f\left(\frac{1}{n^2}\right)+f\left(\frac{2}{n^2}\right)+\cdots +f\left(\frac{n}{n^2}\right),n\in {\mathbf{N}}_{+},$$

试求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n.$

6.

求下列数列极限:

(1) ${\lim }_{n\to \infty }\left(\sin \frac{1}{n^2}+\sin \frac{2}{n^2}+\cdots +\sin \frac{n}{n^2}\right);$

(2) ${\lim }_{n\to \infty }\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n^2}\right)\right].$

7.

设 $y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$ ，计算 $y^{(n)}(x),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

8.

设 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上有任意阶导数, 证明: 对每个正整数 $n$ 成立

$$\frac{1}{x^{n+1}}{f}^{(n)}\left(\frac{1}{x}\right)=(-1{)}^n{\left[x^{n-1}f\left(\frac{1}{x}\right)\right]}^{(n)}.$$

9.

利用 $1+x+x^2+\cdots +x^n$ 的和, 求以下各式之和:

(1) $1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1};$

(2) $1^2+2^{2}x+3^2{x}^2+\cdots +n^2{x}^{n-1}$ .

又问: 不用微分学方法能否求出 (1) 与 (2) 中的和?

10.

证明组合恒等式:

(1) ${\sum }_{k=1}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n{2}^{n-1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ;

(2) ${\sum }_{k=1}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n(n+1)2^{n-2},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

11.

证明：由抛物线的焦点出发的射线经抛物线反射后一定平行于抛物线的对称轴.

12.

证明：由椭圆的焦点出发的射线经椭圆反射后一定经过椭圆的另一个焦点.

13.

证明：在曳物线 $x=a\left(\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t\right),y=a\sin t$ 的每一条切线上从切点到与 $x$ 轴的交点的长度为常数.

14.

证明: 函数 $f$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域上可以写为 $f(x)=f(x_0)+\phi (x)(x-x_0)$ , 其中 $\phi (x)$ 于 $x_0$ 连续.

上述充分必要条件称为导数的 $Carath\acute{e}odory$ (卡拉泰奥多里) 定义. 若在教学中一开始就用它作为导数的定义, 则有不少优点. 这方面可以参考《美国数学月刊》上的两篇文章: (1991) 第 $98$ 卷 $40$—$44$ 页, (1994) 第 $101$ 卷 $332$—$338$ 页. 还可以参考教材 [73] 在这方面的内容. 本章多次利用例题 $\mathrm{6.1.4}$ 中的无穷小增量公式 $(6.3)$ 的做法与此类似.

15.

设 $n⩾2$ , 函数 $f(x)=f(x_0)+\phi (x)(x-x_0)$ , $\phi (x)$ 在某邻域 $O(x_0)$ 上 $n-1$ 阶可微, 且 ${\phi }^{(n-1)}(x)$ 于 $x_0$ 连续. 证明: 存在 $f^{(n)}(x_0)$ .

16.

设 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上有 $n$ 阶导数, 且存在不全为 $0$ 的 $n+1$ 个常数 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ , 使得

$$a_{0}f(x)+a_1{f}^{\prime }(x)+\cdots +a_n{f}^{(n)}(x)\equiv 0.$$

证明： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上存在任意阶导数.

17.

设多项式 $p(x)$ 只有实零点. 证明: $[p^{\prime }(x){]}^2-p(x)p^{\prime \prime }(x)⩾0,\forall x\in \mathbf{R}$ .

18.

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且使得数集 $\{x\in [0,1]\mid f(x)=0=f^{\prime }(x)\}=\varnothing$ . 证明: $f$ 在 $[0,1]$ 中只有有限个零点.

19.

对于 $y=\arctan x$ , 证明:

(1) $y^{(n)}(x)=(n-1)!{\cos }^{n}y\sin n(y+\frac{\pi }{2});$

(2) $y^{(n)}(x)=\frac{P_{n-1}(x)}{(1+x^2{)}^n}$ ，其中 $P_{n-1}(x)$ 是最高次项系数等于 $(-1{)}^{n-1}n!$ 的 $n-1$ 次多项式.

20.

定义 $f_0(x)\equiv 1,f_{n+1}(x)=x{f}_n(x)-f_n^{\prime }(x),n=0,1,\cdots$ . 证明:

(1) $f_n(x)$ 是 $n$ 次多项式;

(2) $f_n(x)$ 有 $n$ 个不同实根, 且关于原点对称.

第二组参考题

1.

(1) 求 ${\sum }_{k=1}^n\sin kx$ 和 ${\sum }_{k=1}^n\cos kx$ ;

(2) 求 ${\sum }_{k=1}^{n}k\sin kx$ 和 ${\sum }_{k=1}^{n}k\cos kx$ .

2.

证明: (例题 $\mathrm{5.1.4}$ 中的) $Riemann$ 函数 $R(x)$ 处处不可导.