§6.3 一阶微分及其形式不变性

6.3.1 基本概念

$1$. 微分是增量中的线性主部. 具体来说, 考虑 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 由自变量的增量 $\Delta x$ 引起的因变量的增量 $\Delta y$ . 若有常数 $a$ , 使得

$$\Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0),$$

则称 $\Delta y$ 有线性主部 $a\Delta x$ . 这时称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微, 并将这个线性主部称为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的微分.

$2$. 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 可导, 而且这时的导数就等于上述线性主部中的系数 $a$ , 即 $f^{\prime }(x_0)=a$ .

$3$. 由可微和可导的关系可知：并非每个函数在某点的增量中都能分离出线性主部.

$4$. 上述微分的记号是 $\mathrm{dy}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{dx}$ , 其中将自变量的增量 $\Delta x$ 写为 $\mathrm{dx}$ . 这是因为, 对于最简单的线性函数 $y=x$ , 确实有 $\mathrm{dy}=\mathrm{dx}=\Delta x$ .

$5$. 如果不只是考虑某个点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的微分, 而是一般地考虑函数 $y=f(x)$ 的微分, 则微分 $\mathrm{dy}=f^{\prime }(x)\mathrm{dx}$ 实际上是二元函数. 每当给定了自变量 $x$ 的值和增量 $\Delta x$ 的值之后, 微分 $\mathrm{dy}$ 就有确定的值. 如果 $x$ 固定, 则 $\mathrm{dy}$ 必是 $\mathrm{dx}$ 的线性函数.

$6$. 由于历史原因, 有时会将微分说成是“很小很小的量”“小于任何给定量的量”等. 应当指出这样说是错误的. 在 $\mathrm{dy}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{dx}$ 中 $\mathrm{dx}$ 只不过是一个自变量, 当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 时, 只要 $\Delta x=\mathrm{dx}$ 取得足够大, 微分 $\mathrm{dy}$ 的值就可以取到任意大的值.

$7$. 固定点 $x_0$ , 将微分 $\mathrm{dy}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{dx}$ 中的 $\mathrm{dy}$ 改写为 $y-f(x_0)$ , $\mathrm{dx}$ 改写为 $x-x_0$ , 就得到曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 的切线方程

$$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

6.3.2 微分与近似计算

由于微分是增量的线性主部, 即有 $\Delta y=\mathrm{d}y+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$ , 可见当 $\Delta x$ 充分小时, 可以用微分作为增量的近似值. 这就是所谓的“一次近似”. 这种方法的效果有限, 也不能作误差估计, 但是在一些简单问题上还是很有用的工具.

例 $6.3.1$

在没有数学用表和计算工具的情况下, 求 $\sqrt[3]{2}$ 的近似值.

解

若取 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ , 则有 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ . 这时有

$$\sqrt[3]{x}\approx \sqrt[3]{x_0}+\mathrm{d}\sqrt[3]{x},$$

其中第二项是函数 $\sqrt[3]{x}$ 在点 $x_0$ 的微分：

$$\mathrm{d}\sqrt[3]{x}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}\cdot \Delta x.$$

若取 $x_0=1$ ，则 $\Delta x=1$ ，计算很简单，即

$$\sqrt[3]{2}\approx 1+\frac{1}{3}\approx \mathrm{1.333.}$$

但是这个近似值太差. 问题出在 $\Delta x=1$ 太大了. 可以改进如下.

取近似值的前两位 $1.3$, 计算 $1.3$ 的立方, 得到 $1.3^3=2.197$ . 因此可以取

$$x_0=2.197,\Delta x=-\mathrm{0.197.}$$

再次计算如下:

$$\sqrt[3]{2}=1.3+\frac{-0.197}{3\cdot 1.3^2}=1.3-\frac{0.197}{5.07}\approx 1.3-\frac{0.2}{5}=1.3-0.04=\mathrm{1.26.}$$

实际上有 $\sqrt[3]{2}\approx 1.25992$ . 第二次的结果较好. 原因是这次的增量 $\Delta x$ 较小. $\square$

用微分代替增量, 就是在无穷小增量公式 $\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$ 中将余项 $o(\Delta x)$ 去掉. 这种做法很简单. 缺点是对于由此带来的误差不能作出定量估计. 在第八章微分学的应用中将会对此作进一步的讨论.

例 $6.3.2$

假定用测量球的直径来得到球的体积. 为了所得的球体积的相对误差不超过 $1\%$, 问测量直径的相对误差应如何才行?

解

从直径 $D$ 计算球体积 $V$ 的公式是

$$V=\frac{\pi }{6}{D}^3.$$

因此有

$$\mathrm{d}V=\frac{\pi }{2}{D}^2\mathrm{d}D.$$

我们看到, 由于用了微分代替增量, 公式就很简单, 而且一定是线性的. 这样就有

$$\frac{\mathrm{d}V}{V}=3\frac{\mathrm{d}D}{D}.$$

因此为了所得到的球体积的相对误差不超过 $1\%$, 在测量直径时的相对误差应当控制在 $0.33\%$ 之内. □

6.3.3 一阶微分的形式不变性

这是一个初学者不容易理解的问题. 由于这个不变性在一元微分学中不起重要作用, 更使它容易被忽视. 但在多元微分学中的情况不一样, 一阶微分的形式不变性将变得很有用处. 因此作为基础, 在这里应当了解: 一阶微分的形式不变性的确切意义是什么? 为什么叫“形式”不变性? 它会有什么用处?

为了讨论这些问题, 先简要回顾教科书中的内容.

若 $y=y(x)$ 可导, 则有微分

$$\mathrm{d}y=y^{\prime }(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

又若在 $y=y(x)$ 中的 $x$ 并非自变量, 而只是中间变量, 即有 $x=x(t)$ , 这里的 $t$ 才是真的自变量. 这时若假定 $x(t)$ 也可导, 则对于函数 $y=y(x(t))$ 有微分

$$\mathrm{d}y=[y(x(t)){]}_t^{\prime }\mathrm{d}t=y_x^{\prime }(x(t))x^{\prime }(t)\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

从 $x=x(t)$ 又可以写出微分 $\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ 将它代入 $(6.13)$，就可以将这个公式改写为

$$\mathrm{d}y=y_x^{\prime }(x(t))\mathrm{d}x=y^{\prime }(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

因此从形式上看, 公式 $(6.14)$ 与公式 $(6.12)$ 是一样的. 从而, 不论在 $y=y(x)$ 中的 $x$ 是否是真的自变量, 一阶微分 $(6.12)$ 在形式上是不变的.

仔细考察以上论证过程就可以发现, 这种不变性只是形式上的, 而并非真正的不变性. 这里至少可以列出以下几点:

$1$. 在 $(6.12)$ 中的 $\mathrm{d}x=\Delta x$ , 如将公式写成 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\Delta x$ 也是正确的. 但在 $(6.14)$ 中的 $\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ 一般不等于 $\Delta x$ . 我们知道它们之间相差一个 $o(\Delta t)(\Delta t\to 0)$ .

$2$. 在 $(6.12)$ 中的 $\mathrm{dy}$ 与 $\Delta x$ 成比例, 而在 $(6.14)$ (即 $(6.13)$) 中的 $\mathrm{dy}$ 与 $\Delta t$ 成比例. 它也与 $\mathrm{dx}$ 成比例, 但并不一定与 $\Delta x$ 成比例, 因为 $\mathrm{dx}$ 一般不等于 $\Delta x$ .

$3$. 在 $(6.12)$ 中的 $\mathrm{dy}$ 是 $x$ 和 $\mathrm{dx}(=\Delta x)$ 的二元函数, 但在 $(6.14)$ (即 $(6.13)$) 中的 $\mathrm{dy}$ 是 $t$ 和 $\mathrm{dt}(=\Delta t)$ 的二元函数. 只不过在 $(6.14)$ 中我们故意抹去了它与 $t$ 和 $\mathrm{dt}$ 的真正依赖关系, 从而造成了形式上的不变性.

既然我们关于一阶微分的形式不变性讲了这样多的“坏话”，那么学习这种不变性还有什么意义呢？先观察一个例子。

例 $6.3.3$

计算函数 $y={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}$ 的微分.

解1

根据 $\mathrm{dy}=y^{\prime }(x)\mathrm{dx}$ , 只要计算出导数 $y^{\prime }(x)$ . 根据复合函数的求导法则, 可以得到

$$\begin{array}{rl}& ({\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot [\sin (ax+b){]}^{\prime }\\ & ={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot \cos (ax+b)\cdot (ax+b{)}^{\prime }\\ & ={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot \cos (ax+b)\cdot a\\ & =a\cos (ax+b){\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}.\end{array}$$

因此有

$$\mathrm{d}y=a\cos (ax+b){\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\mathrm{d}x.$$

解2

根据一阶微分的形式不变性, 可以计算如下:

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}({\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)})={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot \mathrm{d}(\sin (ax+b))\\ & ={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot (\cos (ax+b))\cdot \mathrm{d}(ax+b)\\ & ={\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\cdot \cos (ax+b)\cdot a\mathrm{d}x\\ & =a\cos (ax+b){\mathrm{e}}^{\sin (ax+b)}\mathrm{d}x.\end{array}$$

一方面, 可以认为这两个解法没有很大的本质差别. 从 $(6.13)$ 到 $(6.14)$ 的推导可以知道, 其中的主要工具就是复合函数的求导法则. 因此从这一点来看, 两个解法之间的差别只是表面的, 其实质是完全一样的.

另一方面，一阶微分的形式不变性毕竟为一阶微分的计算提供了一种新解法。它的优点就是在每一步计算时不必考虑真正的自变量是什么。由于微分的定义是由真正的自变量的增量所引起的因变量增量中的线性主部，因此上述第二种解法确实含有新的思想。

6.3.4 练习题

$1$. 证明: 若 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ , 则 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\mathrm{d}y}=1$ .

$2$. 设 $u,v,w$ 均为 $x$ 的可微函数, 求 $y$ 的微分:

$(1)$ $y=uvw$ ;

$$y=\frac{u}{v^2};$$ $$y=\arctan \frac{u}{vw};$$ $$y=\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}}.\text{\hspace{1em}(4)}$$

$3$. 证明：在 $x/a^n\approx 0$ 时有近似公式：

$$\sqrt[n]{a^n+x}\approx a+\frac{x}{n{a}^{n-1}}(a>0).$$

并用于计算: $(1)$ $\sqrt[3]{9}$ ; $(2)$ $\sqrt[4]{80}$ ; $(3)$ $\sqrt[7]{100}$ ; $(4)$ $\sqrt[10]{1000}$ .

$4$. 设通过单摆振动的实验, 用公式 $g=4{\pi }^{2}l/T^2$ 求重力加速度 $g$ . 分别研究 $(1)$ 测量摆长 $l$ , $(2)$ 测量周期 $T$ 时的相对误差对 $g$ 的影响.

$5$. 设要求测量值 $x$ 的常用对数, 问: $x$ 的相对误差会给结果带来什么影响?