§5.4 一致连续性与 $Cantor$ 定理

函数的一致连续性是一个比较精细的概念。可以认为这个概念是由于数学分析内部理论发展的需要而产生的。因此我们在下面先对这个概念列出要点，提出几个思考题，然后给出$Cantor$（康托尔）定理的证明，并讨论其应用。

$\mathrm{5.4.1}$ 内容提要

关于函数的一致连续性的要点如下.

1. 定义: 函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续, 如果对每一个 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in I$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

2. 若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续, 则 $f$ 在 $I$ 上一定连续.

3. 若 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续, 又有区间 $J\subset I$ , 则 $f$ 在 $J$ 上也一致连续.

4. 函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续就是在 $I$ 的每一点连续, 因此这是一个逐点 (pointwise) 定义的概念. 从本质上看, 连续性是个局部概念. 但是 $f$ 在区间 $I$ 上的一致连续性则是由 $f$ 和 $I$ 两者共同确定的整体性概念. 与此类似的是函数在区间上的有界性等概念.

5. $Cantor$ 定理: 有界闭区间上的连续函数必在这个区间上一致连续.

6. 有界开区间 $(a,b)$ 上的连续函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的充分必要条件是存在两个有限的单侧极限 $f(a^{+})$ 和 $f(b^{-})$ (见下面的例题$\mathrm{5.4.5}$).

7. 有界区间 (不论开或闭或半开半闭) 上的一致连续函数一定有界 (留作练习).

$\mathrm{5.4.2}$ 思考题

1. 写出函数 $f$ 在区间 $I$ 上不一致连续的正面叙述.

2. 判断对或错: $f$ 在区间 $[a,b)$ 上连续, 则 $f$ 在 $[a,b)$ 上一致连续.

3. 判断对或错: $f$ 在区间 $(a,b)$ 内的每一个闭子区间上连续, 则 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续.

4. 判断对或错: $f$ 在区间 $(a,b)$ 上连续, 又有 $a<c<d<b$ , 则 $f$ 在区间 $(c,d)$ 上一致连续.

$\mathrm{5.4.3}$ $Cantor$ 定理的证明

例题 $5.4.1$

用覆盖定理证明 $Cantor$ 定理.

证明

$\forall \epsilon >0$ 和 $x_0\in [a,b]$ , 由于 $f$ 在 $x_0$ 连续, 存在 ${\delta }_0>0$ , 当 $x\in O_{{\delta }_0}(x_0)\cap [a,b]$ 时, 成立 $|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2}\epsilon$ . 因此当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in O_{{\delta }_0}(x_0)\cap [a,b]$ 时, 就有

$$\left|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|⩽\left|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_0\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|<\frac{1}{2}\epsilon +\frac{1}{2}\epsilon =\epsilon .$$

对每个点 $x\in [a,b]$ 都这样做, 就得到区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖. 这里出现了一个困难. 即如果对这个开覆盖直接应用覆盖定理的话, 则难以完成定理的证明. (读者可以试一下, 看看困难何在.) 再次应用例题$\mathrm{3.5.3}$ (即加强形式的覆盖定理), 将其中的$Lebesgue$数记为 $\eta$ . 当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b]$ , 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\eta$ 时, 在开覆盖中存在一个开区间, 它覆盖点 $x^{\prime }$ 和 $x^{\prime \prime }$ . 由上述构造方法, 就知道成立

$$\left|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })\right|<\epsilon .$$

这样就已经证明了 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续.

例题 $5.4.2$

用凝聚定理证明 $Cantor$ 定理.

证明

用反证法. 设 $f\in C[a,b]$ , 但在 $[a,b]$ 上不一致连续. 应用 §$1.4$ 的对偶法则, 可以得到不一致连续的正面叙述: $\exists {\epsilon }_0>0,\forall \delta >0,\exists x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,b],|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ , 使得 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|⩾{\epsilon }_0$ 成立.

取 ${\delta }_n=1/n$ ，将对应的点 $x^{\prime },x^{\prime \prime }$ 记为 $x_n$ 和 $x_n^{\prime }$ . 并对每一个 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 都这样做，就得到区间 $[a,b]$ 中的两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{x_n^{\prime }\}$ ，使得

$$\left|x_n-x_n^{\prime }\right|<\frac{1}{n},\left|f(x_n)-f(x_n^{\prime })\right|⩾{\epsilon }_0,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

对数列 $\{x_n\}$ 用凝聚定理, 知道存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ . 记它的极限为 $\xi$ , 即有

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=\xi .$$

由于

$$x_{n_k}-\frac{1}{n_k}<x_{n_k}^{\prime }<x_{n_k}+\frac{1}{n_k},$$

以及 $n_k⩾k$ , 因此数列 $\{x_n^{\prime }\}$ 的对应子列 $\{x_{n_k}^{\prime }\}$ 也收敛于 $\xi$ , 即有

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}^{\prime }=\xi .$$

由于 $f$ 在点 $\xi$ 连续, 因此对 ${\epsilon }_0$ , 存在 $\eta >0$ , 当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in O_{\eta }(\xi )$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<{\epsilon }_0$ . 但当 $k$ 充分大时, 就有 $x_{n_k},x_{n_k}^{\prime }\in O_{\eta }(\xi )$ . 这样就和

$$\left|f(x_{n_k})-f(x_{n_k}^{\prime })\right|⩾{\epsilon }_0$$

矛盾.

$\mathrm{5.4.4}$ 例题

例题 $5.4.3$

根据定义证明:

(1) 对于满足 $0<\eta <1$ 的每个 $\eta ,f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $[\eta ,1)$ 上一致连续;

(2) $f(x)=\frac{1}{x}$ 在开区间 $(0,1)$ 上不一致连续.

证明

(1) 对 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [\eta ,1)$ , 有

$$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|=\left|\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{x^{\prime \prime }}\right|=\frac{|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|}{x^{\prime }{x}^{\prime \prime }}⩽\frac{|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|}{{\eta }^2}.$$

因此对 $\epsilon >0$ ，只要取

$$\delta ={\eta }^2\epsilon ,$$

就可以使得 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [\eta ,1)$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，成立 $\left|\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{x^{\prime \prime }}\right|<\epsilon$ 。这表明 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[\eta ,1)$ 上一致连续。

(2) 用反证法. 设 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上一致连续. 则对 $\epsilon =1$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (0,1)$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时, 成立

$$|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|=\left|\frac{1}{x^{\prime }}-\frac{1}{x^{\prime \prime }}\right|=\frac{|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|}{x^{\prime }{x}^{\prime \prime }}<1.$$

设 $n⩾2$ ，并令

$$x^{\prime }=\frac{1}{n},x^{\prime \prime }=\frac{1}{2n},$$

则有

$$\left|x^{\prime }-x^{\prime \prime }\right|=\frac{1}{2n},\left|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })\right|=n⩾2>1.$$

因此只要取

$$n>\frac{1}{2\delta },$$

就引出矛盾, 所以 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续.

注 1

若初学者对理解一致连续性概念有困难, 建议先将本例题彻底搞清楚. 利用 $y=1/x$ 的几何图形, 可以体会出一致连续性与函数的“陡度”有关. 从证明也可看出, 本例中的困难完全发生在点 $x=0$ 的右侧邻近.

注 2

可以类比: 同一个函数 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上无界, 但在 $(0,1)$ 内的每一个闭子区间上有界. 由此可见, 有界性和一致连续性是属于同一类型的概念, 即整体性质, 也就是说与函数在整个区间上的性质有关. 而连续性、极限的存在性等是局部性质, 即只与所考虑的点附近的函数性质有关.

例题 $5.4.4$

若函数 $f$ 在区间 $(a,b]$ 和 $[b,c)$ 上分别为一致连续, 证明: $f$ 在 $(a,c)$ 上一致连续.

证明

对 $\epsilon >0$ , 由条件知道存在 ${\delta }_1>0$ , 使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<{\delta }_1$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon /2$ . 又存在 ${\delta }_2>0$ , 使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [b,c)$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<{\delta }_2$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon /2$ .

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ . 我们断言：当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (a,c)$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

先考虑 $x^{\prime }<b<x^{\prime \prime }$ 的情况. 这时从 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 推出 $|x^{\prime }-b|<{\delta }_1,|x^{\prime \prime }-b|<{\delta }_2$ 成立, 因此

$$\left|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|⩽\left|f\left(x^{\prime }\right)-f(b)\right|+\left|f(b)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

对于其他情况, 即 $x^{\prime },x^{\prime \prime }$ 同属区间 $(a,b]$ 或 $[b,c)$ , 结论是明显的. 因此就证明了 $f$ 在 $(a,c)$ 上是一致连续的. $\square$

注

用下一个例题的结果可立即导致本题的结论. 但上面的证明只涉及一致连续性的定义, 完全是初等的. 而下一个例题的证明则需要用到 $Cantor$ 定理和 $Cauchy$ 收敛准则, 要“高级”得多.

例题 $5.4.5$

证明: 有界开区间 $(a,b)$ 上的连续函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的充分必要条件是存在两个有限的单侧极限 $f(a^{+})$ 和 $f(b^{-})$ .

证明

先证充分性. 在闭区间 $[a,b]$ 上构造辅助函数

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(a^{+}),& x=a,\\ f(x),& x\in (a,b),\\ f(b^{-}),& x=b.\end{array}$$

则可以看出 $F\in C[a,b]$ . 对 $F$ 应用 $Cantor$ 定理, 可见 $F$ 在 $[a,b]$ 上一致连续. 因此 $f$ 在 $(a,b)$ 上也一致连续. (这与例题 $\mathrm{5.3.3}$ 的第一个证明完全相同.)

再证必要性．不妨只写出存在 $f(a^{+})$ 的证明．对 $\epsilon >0$ ，由于 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (a,b)$ ，且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

因此当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in (a,a+\delta )$ 时，就有 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ 成立。应用关于右侧极限的 $Cauchy$ 收敛准则 (命题 $\mathrm{4.2.5}$)，可见存在极限 $f(a^{+})$ .

以下讨论在无限区间上函数的一致连续性. 首先有如下的一个基本结果.

例题 $5.4.6$

设 $f\in C[a,+\infty )$ , 且存在有限极限 $f(+\infty )=A$ . 证明: $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续.

证明

对 $\epsilon >0$ , 存在 $M>a$ , 当 $x>M$ 时成立 $|f(x)-A|<\frac{1}{2}\epsilon$ . 又利用 $Cantor$ 定理, 知道 $f$ 在 $[a,M+1]$ 上一致连续. 因此对上述 $\epsilon$ , 存在 $\delta >0$ , 使得当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,M+1]$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

不妨假定上述 $\delta <1$ . 我们断言：当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,+\infty )$ 且 $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

实际上, 如 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [a,M+1]$ , 则已无问题. 又若 $x^{\prime },x^{\prime \prime }>M$ , 则有

$$\left|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|⩽\left|f\left(x^{\prime }\right)-A\right|+\left|A-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

由于 $\left|x^{\prime }-x^{\prime \prime }\right|<\delta <1$ ，只可能发生以上两种情况.

注

在教学中发现, 学生经常会对上述命题作出以下错误的证明:

“ $\forall \epsilon >0$ ，由于 $f(+\infty )=A$ ，因此存在 $M>a$ ，使当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in [M,+\infty )$ 时， $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ 。由 $\epsilon$ 的任意性，得 $f$ 在 $[M,+\infty )$ 上一致连续。再由 $Cantor$ 定理， $f$ 在 $[a,M+1]$ 上一致连续，所以 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续。”

请读者思考上述证明错在哪里.

但是对于在无限区间上的函数的一致连续性来说, 上述极限 $f(+\infty )$ 的存在并非必要. 函数的有界性也不是必要的. 例如 $f(x)=ax+b$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续. 再举一个更有意义的例题.

例题 $5.4.7$

证明: 函数 $\sqrt{x}$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上一致连续.

证1

先分别证明 $\sqrt{x}$ 在区间 $(0,1]$ 和 $[1,+\infty )$ 上的一致连续性.

从例题 $\mathrm{5.4.5}$ 或在 $[0,1]$ 上用 $Cantor$ 定理, 就知道 $\sqrt{x}$ 在 $(0,1]$ 上一致连续.

在区间 $[1,+\infty )$ 上, 可以从

$$|\sqrt{x^{\prime }}-\sqrt{x^{\prime \prime }}|=\frac{|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|}{\sqrt{x^{\prime }}+\sqrt{x^{\prime \prime }}}⩽\frac{1}{2}|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|$$

推出 $\sqrt{x}$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续.

然后可以用例题 $\mathrm{5.4.4}$ 中的方法合并两个区间, 得到所要的结论 (从略). □

证2

利用一个可以直接验证的不等式, 即当 $0⩽b⩽a$ 时成立

$$\sqrt{a}-\sqrt{b}⩽\sqrt{a-b},$$

就有对任何 $x^{\prime },x^{\prime \prime }⩾0$ 成立的不等式

$$\left|\sqrt{x^{\prime }}-\sqrt{x^{\prime \prime }}\right|⩽\sqrt{\left|x^{\prime }-x^{\prime \prime }\right|}.$$

因此对 $\epsilon >0$ ，只要取 $\delta ={\epsilon }^2$ ，就可以直接得到所要的结论.

例题 $5.4.8$

证明: 函数 $\sin x^2$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上不一致连续.

证明

用反证法. 设 $\sin x^2$ (如图$5.2$所示) 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续, 则 $\forall \epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 当 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 时, 成立

$$\left|\sin x_1^2-\sin x_2^2\right|<\epsilon .\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

设 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，令

$$x_1=\sqrt{n\pi },x_2=\sqrt{n\pi +\frac{\pi }{2}},$$

则 $\sin x_1^2=0,\sin x_2^2=\pm 1$ . 因此当 $\epsilon <1$ 时, 不等式 $(5.3)$ 不能成立.

但又有

$$\left|x_1-x_2\right|=\frac{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{n\pi }+\sqrt{n\pi +\frac{\pi }{2}}},$$

因此可以看出, 当 $n$ 充分大时就有 $|x_1-x_2|<\delta$ 成立. 由此引出矛盾.

$\mathrm{5.4.5}$ 练习题

1. 若 $f$ 在区间 $I$ 上定义, 且存在 $L>0$ , 使得对任意 $x_1,x_2\in I$ 成立 $|f(x_1)-f(x_2)|⩽L|x_1-x_2|$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上满足 $Lipschitz$ (利普希茨) 条件. 证明: 在区间 $I$ 上满足 $Lipschitz$ 条件的函数必是一致连续函数.

2. 根据一致连续性的定义直接证明: 若 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续, 则 $f$ 有界.

3. (1) 设 $f,g$ 在区间 $I$ 上均为一致连续, 问: 它们的线性组合 $af+bg$ 和乘积 $fg$ 在 $I$ 上是否一致连续?

(2) 设 $f$ 在区间 $I_1$ 上一致连续, $g$ 在区间 $I_2$ 上一致连续, 且区间 $I_2$ 包含了 $f$ 的值域, 问: 复合函数 $g\circ f$ 在区间 $I_1$ 上是否一致连续?

4. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ ，且为周期函数。证明： $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致连续。

5. (1) 设 $f\in C[0,+\infty )$ , 且有 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-(ax+b)]=0$ , 证明 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续;

(2) 若将 (1) 中的 $ax+b$ 换成 $a{x}^2+bx+c$ , 结论是否成立?

(3) 又若将 $ax+b$ 换成某个函数 $g(x)$ , 问: 当 $g(x)$ 具有什么性质时 (1) 中的结论仍成立?

6. 证明: 当 $n>1$ 时, $x^n$ 在 $[0,+\infty )$ 上不一致连续.

7. 证明: $f(x)=\ln x$ 在 $(1,+\infty )$ 一致连续, 但在 $(0,1)$ 上不一致连续.

8. (1) 证明: 函数 $f(x)=|\sin x|/x$ 在区间 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 均为一致连续, 但在 $(-1,0)\cup (0,1)$ 上不一致连续 (注意 $(-1,0)\cup (0,1)$ 不是一个区间);

(2) 若函数 $f$ 在区间 $(a,b)$ 和 $[b,c)$ 上分别为一致连续, 问: $f$ 在 $(a,c)$ 上是否一致连续?

9. 讨论以下函数在指定区间上是否一致连续 (可参考图 $4.2$):

(1) 在区间 $(0,1)$ 上的函数 $x\sin \frac{1}{x}$ ;

(2) 在区间 $(0,+\infty )$ 上的函数 $\frac{\sin x}{x}$ ;

(3) 在区间 $[0,+\infty )$ 上的函数 $x\sin x$ .