$5.1.4$ 练习题

例 $5.1.1$

设函数 $f$ 在 $x=0$ 处连续，对每一个 $x\in \mathbf{R}$ 成立 $f(x)=f(2x)$ 。证明： $f$ 是常值函数。

证明

任取一个 $x\in \mathbf{R}$ ，则

$$f(x)=f\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=f\left(\frac{x}{2}\right)=f\left(\frac{x}{2^2}\right)=\cdots =f\left(\frac{x}{2^n}\right).$$

利用 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，因此 (根据连续性的第二定义)

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(\frac{x}{2^n}\right)=f(0).$$

这样就知道对每一个 $x\in \mathbf{R}$ 成立 $f(x)=f(0)$ 。

例 $5.1.2$

设函数 $f,g$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的连续函数，又在所有有理点上 $f(x)=g(x)$ ，证明： $f(x)\equiv g(x)$ 。

证明

只要对 $\mathbf{R}$ 中的每个无理数 $x$ 证明 $f(x)=g(x)$ 成立即可。 取有理数列 $\{r_n\}$ ，使 ${\lim }_{n\to \infty }{r}_n=x$ 。例如，取无理数 $x$ 的不足近似值 $r_n=[10^{n}x]/10^n$ ，则有

$$r_n=\frac{[10^{n}x]}{10^n}=\frac{10^{n}x-{\theta }_{x,n}}{10^n},$$

其中 $0⩽{\theta }_{x,n}<1$ 。因此就有 $r_n\to x(n\to \infty )$ 。

由于 $f(r_n)=g(r_n),n\in {\mathbf{N}}_{+},f,g$ 在点 $x$ 连续，利用连续性的第二定义，就有

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(r_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }g(r_n)=g(x).$$

例 $5.1.3$（一个函数方程的连续解）

设函数 $f$ 在 $x=0$ 处连续，且对一切 $x,y$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 。证明： $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $f(x)=f(1)x$ 。

证明

在方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 中令 $y=0$ ，可知 $f(0)=0$ 。因此有

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0.$$

任取点 $x_0\in \mathbf{R}$ ，将 $x$ 写成 $x=x_0+\Delta x$ ，计算极限

$$\begin{array}{rl}{\lim }_{x\to x_0}f(x)& ={\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)\\ & ={\lim }_{\Delta x\to 0}[f(x_0)+f(\Delta x)]\\ & =f(x_0)+{\lim }_{\Delta x\to 0}f(\Delta x)=f(x_0),\end{array}$$

可见 $f$ 处处连续。

由于 $f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0$ ，可见有 $f(-x)=-f(x)$ 。因此只需讨论 $x$ 为正数的情况．对正有理数 $x=m/n,$ 其中 $m,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，用数学归纳法可以知道对正整数 $m\in {\mathbf{N}}_{+}$ 成立

$$f(mx)=mf(x).$$

再从

$$f(x)=f\left(n\cdot \frac{x}{n}\right)=nf\left(\frac{x}{n}\right)$$

得到 $f\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n}f(x)$ 。因此就有

$$f\left(\frac{m}{n}x\right)=mf\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{m}{n}f(x).$$

令 $x=1$ ，代入得到

$$f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m}{n}f(1).$$

因此，等式 $f(x)=f(1)x$ 对一切有理数 $x\in \mathbf{Q}$ 已成立。最后，利用例题 $\mathrm{5.1.2}$ 的结论，就知道 $f(x)=f(1)x$ 对一切实数 $x$ 成立。

本例与例题 $\mathrm{5.1.1}$ 都是函数方程问题(参见[14,44]).但本例的结论和证明的方法具有较大的典型意义.函数方程方面的基本材料可以看[59]第一册的§1.10.在[66]的第48—50页有这方面的较新材料.此外,本题所求出的是该函数方程的连续解.实际上,这个函数方程还有不连续解.由以上证明可见,这个方程的解只要在一个点上连续,就处处连续.因此所说的不连续解一定是处处不连续的函数.有兴趣的读者可以参考[58]的第68—70页.

例 $5.1.4$ ($Riemann$ 函数的连续性)

$Riemann$ 函数的定义为

$$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q},\text{其中}p,q\text{为互素整数},q>0,\\ 0,& x\text{为无理数}.\end{array}$$

确定 $R$ 的间断点及其类型。 (对于 $x=0$ , 可写出 $0=\frac{0}{1}$ , 因此取 $R(0)=1$ 。)

解

以下主要是证明对每个 $x_0\in \mathbf{R}$ 成立

$$\underset{x\to x_0}{\lim }R(x)=0.\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

如果这一点已得到证明，则从函数 $R(x)$ 的定义即可以知道，在所有无理点处 $R(x)$ 连续，而在所有有理点处 $R(x)$ 不连续，且为可去间断点。

取定 $x_0$ 。由于 (5.1) 与 $R(x_0)$ 无关，因此无需区分 $x_0$ 是有理点或无理点。

对给定的 $\epsilon >0$ ，我们只需要证明有 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立 $(0⩽)R(x)<\epsilon$ 。考虑其反面，使这个不等式不成立 (即 $R(x)⩾\epsilon$ ) 的 $x$ 是什么？当然 $x$ 只能是有理数。将它写成 $x=p/q$ ，其中 $p,q$ 为互素的整数， $q>0$ ，则有

$$R\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}⩾\epsilon .$$

这等价于 $q⩽\frac{1}{\epsilon }$ ，即

$$q\in \left\{1,2,\dots ,\left[\frac{1}{\epsilon }\right]\right\}.$$

由以上分析可见，可以先取 ${\delta }_1=1$ ，然后将去心邻域

$$(x_0-1)\cup (x_0+1)$$

中分母为 $q\in \{1,2,\cdots ,[1/\epsilon ]\}$ 的所有有理数 $p/q$ 都挑出来。由于这样的有理数至多只有有限个，可以将它们记为 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$ ，然后取

$$\delta =\min \{1,|x_1-x_0|,|x_2-x_0|,\dots ,|x_k-x_0|\},$$

则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时就成立 $0⩽R(x)<\epsilon$ 。因此 (5.1) 成立。

如果用 ${\delta }_1={\epsilon }^2/2$ 代替 ${\delta }_1=1$ ，则可以证明：在 $(x_0-{\delta }_1)\cup (x_0+{\delta }_1)$ 中分母 $q⩽1/\epsilon$ 的有理数 $p/q$ 至多只有一个 (见 [42]).

1. (1) 将对偶法则用于连续性的第一定义和第二定义，写出函数 $f$ 在点 $a$ 处不连续的两个正面叙述；

(2) 证明连续性的两个定义的等价性。

2. 讨论下述函数的间断点及其类型：

(1) $f(x)=[x];$ (2) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{e}}^{\sin x}-1}{x},& x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty ),\\ 1,& x=0;\end{array}$ (3) $f(x)=[x]+[-x];$ (4) $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-x}{|x|(x^2-1)},& x\ne 0,\pm 1,\\ 1,& x=0,\pm 1.\end{array}$

3. 设函数 $f\in C[a,b]$ 。若有数列 $\{x_n\}\subset [a,b]$ ，使得 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ ，证明：存在 $\xi \in [a,b]$ ，使得 $f(\xi )=A$ 。

4. 设函数 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上定义，在 $x=0,1$ 两点连续，且满足 $f(x)=f(x^2),x\in \mathbf{R}$ 。证明： $f$ 是常值函数。

5. 设在区间 $I$ 上函数 $f,g$ 连续，证明： $\max \{f,g\},\min \{f,g\}\in C(I)$ 。(可以从连续定义证，也可用公式 $\max \{a,b\}=\frac{a+b}{2}+\frac{|a-b|}{2}$ 等。)

6. 设有三个函数 $f_1,f_2,f_3\in C[a,b]$ ，对每个 $x\in [a,b]$ ，定义 $f(x)$ 是三个函数值 $f_1(x),f_2(x),f_3(x)$ 中处于中间的一个值，证明： $f\in C[a,b]$ 。

7. 证明： $f$ 为区间上连续函数的充分必要条件是：对每个正整数 $n$ ，函数

$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}-n,& f(x)⩽-n,\\ f(x),& -n<f(x)⩽n,\\ n,& f(x)>n\end{array}$$

连续。

(必要性证明可用 $f_n(x)=\max \{-n,\min \{f(x),n\}\}$ 归结为上一题。)

8. 证明 $Dirichlet$ 函数 $D(x)$ (其定义见第四章 $\mathrm{4.1.5}$ 小节题 $11$) 处处不连续，并确定其类型。

9. 构造一个在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有定义的函数，使得它在某个指定点处连续，但在所有其他点处都不连续。

10. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ ，且对任意 $x,y\in \mathbf{R}$ 有 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 。证明：这个函数方程的解除了 $f\equiv 0$ 之外，就是 $f(x)=a^x$ ，其中 $a=f(1)>0$ 。

11. 设 $f\in C(-\infty ,+\infty )$ ，且对任意 $x,y\in \mathbf{R}$ 有 $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]$ 。证明： $f(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)$ 。

12. 根据 $\mathrm{5.1.1}$ 小节中第 $5$ 点给出的定义，证明：函数 $f$ 在点 $a$ 连续的充分必要条件是 $f$ 在该点的振幅为 $0$，即 ${\omega }_f(a)=0$ 。