§4.2 函数极限的基本性质

$\mathrm{4.2.1}$ 基本性质

数列极限的一系列基本性质都可以移植到每一种函数极限 (或广义极限) 上去. 对于基本类型 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ ，以下几个基本性质或定理在教科书中都有证明：

$1$. 函数极限如果存在, 一定唯一.

$2$. 函数极限的局部有界性定理, 即若函数在点 $a$ 有极限, 则函数在点 $a$ 局部有界 (可以在点 $a$ 无定义).

$3$. 函数极限的局部比较定理, 包括局部保号性定理.

$4$. 函数极限的四则运算.

函数极限的其他基本性质, 包括单调函数必有单侧极限 (或广义极限)、$Heine$ 归结原理和 $Cauchy$ 收敛准则等, 将在下面作为基本命题逐个介绍.

$\mathrm{4.2.2}$ 基本命题

下面是单侧极限与非单侧极限之间的重要联系 (它的证明留给读者).

命题 $4.2.1$

设 $a$ 为有限实数, 则 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 的充分必要条件是 $f(a^{-})=f(a^{+})=A$ , 其中 $A$ 可以是有限数, 也可以是无穷大量.

命题 $4.2.2$ (单调函数的单侧极限存在定理)

设 $f$ 在区间 $(a,b)$ 上单调，则 $f(b^{-})={\lim }_{x\to b^{-}}f(x)$ 一定有意义。当 $f$ 单调增加时，如 $f$ 在 $(a,b)$ 上有上界，则 $f(b^{-})$ 为有限数，否则 $f(b^{-})=+\infty$ 。对 $f$ 单调减少有类似的结论成立。

证明

证 不失一般性, 可设 $f$ 单调增加. 考虑函数 $f$ 的值域, 即数集

$$S=\{y\mid \text{存在}x\in (a,b),\text{使}y=f(x)\}.$$

分两种情况讨论.

($1$) 值域 $S$ 有上界. 由确界存在定理, 存在有限数 $\beta =\sup S$ . 我们要证明

$$\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\beta .$$

由上确界定义知, $\forall \epsilon >0$ , 数 $\beta -\epsilon$ 不是数集 $S$ 的上界, 因此存在 $x_0\in (a,b)$ , 使 $f(x_0)>\beta -\epsilon$ . 取 $\delta =b-x_0$ , 则当 $0<b-x<\delta =b-x_0$ 时, 也就是 $x_0<x<b$ 时, 成立

$$\beta -\epsilon <f(x_0)⩽f(x)⩽\beta ,$$

即 $|f(x)-\beta |<\epsilon$ . 因此得到 ${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=f(b^{-})=\beta$ .

($2$) 值域 $S$ 无上界. 这时 $\sup S=+\infty$ . 对任何给定的数 $G>0$ , 都存在 $x_1\in (a,b)$ , 使 $f(x_1)>G$ . 取 $\delta =b-x_1$ , 则当 $0<b-x<\delta =b-x_1$ 时, 也就是 $x_1<x<b$ 时, 成立

$$f(x)⩾f(x_1)>G,$$

因此得到 ${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=f(b^{-})=+\infty .$

$Heine$ 归结原理是函数极限的又一个基本性质, 它是沟通函数极限与数列极限的桥梁. 利用这个原理, 可以将许多函数极限问题归结为数列极限问题去解决, 因此具有独特的重要性. 此外, 它的证明方法也是极限理论中的基本内容.

命题 $4.2.3$ ($Heine$ 归结原理)

设 $a,A\in R$ . 存在极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 的充分必要条件是: 对满足条件 $x_n\ne a,\forall n\in N_{+},{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 的每个数列 $\{x_n\}$ , 都有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ .

证明

证 先证必要性. 既然极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 存在, 因此 $\forall \epsilon >0$ , 有 $\delta >0$ , 使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时, 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ . 如果数列 $\{x_n\}$ 满足定理中所说的条件, 则对上述 $\delta >0$ , 存在 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立 $0<|x_n-a|<\delta$ . 因此也就有

$$\left|f(x_n)-A\right|<\epsilon .$$

这就证明了数列 $\{f(x_n)\}$ 收敛于 $A$ .

再证充分性．这时对每个数列 $\{x_n\}$ ，只要它满足条件 $x_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ， ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ ，数列 $\{f(x_n)\}$ 就一定收敛于 $A$ 。用反证法．如果结论 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 不真，则由对偶法则（见 §$1.4$）知存在一个 ${\epsilon }_0>0$ ，对于每一个 $\delta >0$ ，存在 $x$ 同时满足条件 $0<|x-a|<\delta$ 和 $|f(x)-A|⩾{\epsilon }_0$ 。

取 ${\delta }_n=1/n,$ 将上述 $x$ 记为 $x_n$ ，并对于每一个 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 都这样做，就得到数列 $\{x_n\}$ ，它满足条件

$$0<|x_n-a|<\frac{1}{n},|f(x_n)-A|⩾{\epsilon }_0>0.$$

容易看出两点: ($1$) 这个数列 $\{x_n\}$ 满足定理中对它的全部要求; ($2$) 数列 $\{f(x_n)\}$ 不会收敛于 $A$ , 因此与定理的条件相矛盾.

注

在数列极限中有一个与 $Heine$ 归结原理相似的命题: 数列收敛的充分必要条件是其每个子列收敛于相同极限. 由于数列本身也是一个子列, 因此这个命题的充分性只是空话. 但其必要性的证明与归结原理的证明确有类似之处.

命题 $4.2.4$ ($Heine$ 归结原理的推论)

函数 $f$ 在点 $a$ 存在极限 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ 的充分必要条件是: 对满足条件 $x_n\ne a,\forall n\in N_{+},{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 的每个数列 $\{x_n\}$ ，对应的数列 $\{f(x_n)\}$ 一定收敛.

证明

证 必要性不成问题, 讨论充分性. 为此只要证明, 在命题的条件下, 所得的每个数列 $\{f(x_n)\}$ 都收敛于同一极限, 然后就可用 $Heine$ 归结原理.

用反证法. 假设存在两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ , 分别满足条件 $x_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 和 $y_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$ , 而且有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A_1,\underset{n\to \infty }{\lim }f(y_n)=A_2,A_1\ne A_2.$$

这时我们可以构造一个新的数列 $\{z_n\}$ , 只要令 $z_{2k-1}=x_k,z_{2k}=y_k(k\in {\mathbf{N}}_{+})$ , 就可以知道它满足条件 $z_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+},{\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$ , 但同时 $\{f(z_n)\}$ 发散. 因为它的奇数项子列和偶数项子列收敛于不同极限. 这与本命题条件矛盾. □

函数极限的基本性质, 从极限的唯一性定理到四则运算法则, 一般地说至少可以用两个方法来证明. 第一个方法就是仿照数列极限理论中采用的方法, 第二个方法就是用 $Heine$ 归结原理将问题转化为数列的相应问题去解决. 以下举一个例子来说明后一个方法.

例题 $4.2.1$ (函数极限的除法运算法则)

如果有 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A,{\lim }_{x\to a}g(x)=B,$ 且 $B\ne 0,$ 则成立

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)}=\frac{A}{B}.$$

证明

证 根据 $Heine$ 原理的必要性, 对任意数列 $\{a_n\}$ , 只要满足条件 $a_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ , 就有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)=A\text{和}\underset{n\to \infty }{\lim }g(a_n)=B.$$

应用关于收敛数列的除法运算法则, 知道有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(a_n)}{g(a_n)}=\frac{{\lim }_{n\to \infty }f(a_n)}{{\lim }_{n\to \infty }g(a_n)}=\frac{A}{B}.$$

再根据 $Heine$ 原理的充分性, 既然对满足上述条件的任意数列 $\{a_n\}$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(a_n)}{g(a_n)}=\frac{A}{B},$$

那就得到

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\left(=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)}\right).$$

与数列的情况类似, 可以从函数 $f$ 在点 $a$ 附近的性态本身判定它在点 $a$ 是否收敛. 这就是函数极限的 $Cauchy$ 收敛准则. 在以下证明中我们可以看到 $Heine$ 归结原理是如何起作用的.

命题 $4.2.5$ (函数极限的 $Cauchy$ 收敛准则)

函数 $f$ 在点 $a$ 有极限的充分必要条件是: 对每一个给定的 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得对于在 $O_{\delta }(a)-\{a\}$ 中的每一对点 $x^{\prime },x^{\prime \prime }$ , 满足不等式 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

证明

证 先证必要性. 由函数 $f$ 在点 $a$ 有极限知, 存在 $A$ , 使 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ . 因此对每个给定的 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 当 $0<|x-a|<\delta$ 时, 成立 $|f(x)-A|<\frac{1}{2}\epsilon$ . 于是当 $x_1,x_2\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ 时, 就有

$$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|⩽\left|f\left(x_1\right)-A\right|+\left|A-f\left(x_2\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

再证充分性. 按照 $Heine$ 归结原理的上述推论, 只要证明, 凡满足要求 $x_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+},{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ 的数列 $\{x_n\}$ , 它对应的数列 $\{f(x_n)\}$ 必定收敛.

对给定的 $\epsilon >0$ , 根据命题的条件, 有 $\delta >0$ , 当 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ 时, 成立 $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$ .

由于 $x_n\ne a,\forall n\in {\mathbf{N}}_{+},{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,$ 所以对上述 $\delta >0$ ，存在 $N$ ，当 $n>N$ 时，成立 $0<|x_n-a|<\delta$ 。因此当 $n,m>N$ 时，就有 $x_n,x_m\in O_{\delta }(a)-\{a\}$ ，并成立

$$\left|f(x_n)-f(x_m)\right|<\epsilon .$$

这就是说数列 $\{f(x_n)\}$ 是基本数列．从关于收敛数列的 $Cauchy$ 收敛准则可见 $\{f(x_n)\}$ 收敛. □

注

可以看出, 必要性部分的证明与数列情况的证明完全一样 (参见命题 $\mathrm{3.4.1}$). 但是充分性部分的证明则是利用 $Heine$ 归结原理转化为数列问题, 然后利用收敛数列的 $Cauchy$ 收敛准则, 因而比数列情况的证明容易得多.

$\mathrm{4.2.3}$ 思考题

$1$. 试就 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 和 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=A$ 两类极限叙述极限的唯一性定理、局部有界性定理、局部保号性定理、比较定理、夹逼定理、$Heine$归结原理和$Cauchy$收敛准则.

$2$. 回答下列有关极限的四则运算法则方面的问题:

($1$) 若 ${\lim }_{x\to a}[f(x)+g(x)]$ 存在, 则当 $x$ 趋于 $a$ 时在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的敛散性之间有何联系?

($2$) 若 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ 存在， ${\lim }_{x\to a}g(x)$ 不存在，则 ${\lim }_{x\to a}f(x)g(x)$ 是否存在？

$3$. 找出下列运算中的错误:

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\sin \frac{1}{x-2}}=\frac{{\lim }_{x\to 2}(x-2)}{{\lim }_{x\to 2}\sin \frac{1}{x-2}}=\frac{0}{{\lim }_{x\to 2}\sin \frac{1}{x-2}}=0;\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\cdot \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x=0\cdot \underset{x\to \infty }{\lim }\sin x=0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

$4$. 对于极限的加法运算法则作出两个证明: ($1$) 用函数极限定义; ($2$) 用 $Heine$ 归结原理.

$5$. 对于各种类型的函数极限中 $A=\infty$ 但不是有确定符号的无穷大量的情况, 夹逼定理不成立. 为什么? 举出反例.

$\mathrm{4.2.4}$ 例题

例题 $4.2.2$

证明: 如果存在极限 ${\lim }_{x\to +\infty }(a\sin x+b\cos x)$ ，则只能是 $a=b=0$.

证1

证1 记 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 。令 $x_n=n\pi ,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，有 $f(x_n)=b(-1{)}^n$ 。由归结原理， $\{f(x_n)\}$ 收敛，因此 $b=0$ 。再令 $x_n^{\prime }=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi ,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，就类似地可得到 $a=0$ 。

证2

证 $2$ 用反证法. 若 $a$ 和 $b$ 不全为 $0$, 则可以将表达式改写如下:

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi ),$$

其中 $\phi$ 为某常数. 取 $x_n=2n\pi +\frac{1}{2}\pi -\phi$ 和 $x_n^{\prime }=2n\pi -\phi$ 分别代入, 并令 $n\to \infty$ , 由 $Heine$ 归结原理知两个极限存在且相等, 由此得到 $\sqrt{a^2+b^2}=0$ , 引出矛盾. $\square$

例题 $4.2.3$

证明函数 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处不收敛.

证1 (用Heine归结原理)

证1(用$Heine$归结原理) 考虑两个均为无穷小量的数列

$$x_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}},y_n=\frac{1}{2n\pi },n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

则有

$$\sin \frac{1}{x_n}=\sin \left(2n\pi +\frac{\pi }{2}\right)=1,\sin \frac{1}{y_n}=\sin 2n\pi =0,n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

因此数列 $\left\{\sin \frac{1}{x_n}\right\}$ 和 $\left\{\sin \frac{1}{y_n}\right\}$ 分别收敛于 $1$ 和 $0$. 根据 $Heine$ 归结原理, 函数 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 不可能有极限.

证2 (用Cauchy收敛准则)

证2（用$Cauchy$收敛准则）用反证法．若函数 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处收敛，则对 $\epsilon =\frac{1}{2}$ ，存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x^{\prime }|$ , $|x^{\prime \prime }|<\delta$ 时，成立

$$|\sin x^{\prime }-\sin x^{\prime \prime }|<\frac{1}{2}.\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

现在令

$$x^{\prime }=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}},x^{\prime \prime }=\frac{1}{2n\pi },$$

其中取正整数 $n$ 充分大, 必可使条件 $0<|x^{\prime }|,|x^{\prime \prime }|<\delta$ 成立. 这时总有 $\sin x^{\prime }=1,\sin x^{\prime \prime }=0$ 成立. 因此 ($4.4$) 不能成立, 引出矛盾.

例题 $4.2.4$

设 $A$ 为有限数. 存在极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 的充分必要条件是: 对每个严格单调增加的正无穷大数列 $\{x_n\}$ ，都有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ .

证明

证 先证必要性. 既然 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 存在, 因此对 $\epsilon >0$ , 有 $M>0$ , 当 $x>M$ 时, 成立 $|f(x)-A|<\epsilon$ . 若 $\{x_n\}$ 满足题设条件, 有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ , 则对于上述 $M>0$ , 存在 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立 $x_n>M$ . 因此就有 $|f(x_n)-A|<\epsilon$ . 这就证明了数列 $\{f(x_n)\}$ 收敛于 $A$ (这时 $\{x_n\}$ 的严格单调增加不起作用).

再证充分性. 这时对每个满足题中所说条件的数列 $\{x_n\}$ (即 $\{x_n\}$ 为严格单调增加的正无穷大量), 成立 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ . 用反证法. 如果结论 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 不真, 则由对偶法则 (见 §$1.4$) 知存在一个 ${\epsilon }_0>0$ , 对于每一个 $M>0$ , 存在 $x$ , 同时满足条件 $x>M$ 和 $|f(x)-A|⩾{\epsilon }_0$ .

任取 $M_1⩾1$ , 得到 $x_1>M_1$ , 满足 $|f(x_1)-A|⩾{\epsilon }_0$ . 然后取 $M_2=\max \{2,x_1\}$ , 得到 $x_2>M_2$ , 满足 $|f(x_2)-A|⩾{\epsilon }_0$ . 归纳地进行下去, 在有了 $x_n$ 后取 $M_{n+1}=\max \{n+1,x_n\}$ , 得到 $x_{n+1}>M_{n+1}$ , 满足 $|f(x_{n+1})-A|⩾{\epsilon }_0$ . 可以看出, 这样取出的数列 $\{x_n\}$ 是严格单调增加的正无穷大量. 但对应的数列 $\{f(x_n)\}$ 不会收敛于 $A$ . 因此与定理的条件相矛盾.

想一想

题 $Heine$ 归结原理的推论在这里也成立. 试证之.

$\mathrm{4.2.5}$ 练习题

$1$. 证明:

($1$) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^k}{a^x}=0(a>1,k>0)$ ; ($2$) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^k}=0(k>0)$ ; ($3$) ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt[x]{a}=1(a>0)$ ; ($4$) ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt[x]{x}=1$ .

$2$. 求 ${\lim }_{y\to +\infty }\frac{\sqrt{1+y^3}}{\sqrt{y^2+y^3}+y}.$

$3$. 求 ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}^{\frac{x-1}{x+2}}.$

$4$. 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$ , 其中 $n$ 为正整数.

$5$. 设已知 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=l,b\ne 0,$ 求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(bx)}{x}$ .

$6$. 证明: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sin x}=1$ .

$7$. 证明: 在区间 $(a,+\infty )$ 上单调有界函数 $f$ 一定存在极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ .

$8$. 设 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上为单调增加函数, 且存在一个数列 $\{x_n\}\subset (a,b)$ , 使得 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=b$ , ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$ . 证明:

($1$) $f$ 在区间 $(a,b)$ 上以 $A$ 为上界; ($2$) ${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=A$ .

$9$. 设 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A>0$ 。证明: 对每个 $c\in (0,A)$ , 存在 $M>0$ , 当 $x>M$ 时, 成立 $f(x)>c$ .

(这是对于极限类型为 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 的保号性定理.)

$10$. 设 $f(a^{-})<f(a^{+})$ . 证明: 存在 $\delta >0$ , 当 $x\in (a-\delta ,a)$ 和 $y\in (a,a+\delta )$ 时, 成立 $f(x)<f(y)$ .

$11$. 试用 $Heine$ 归结原理证明单调函数的单侧极限存在定理.

(这里先要将 $Heine$ 归结原理 (命题 $\mathrm{4.2.3}$) 推广到单侧极限. 注意这时在条件中的数列可限于单调数列.)