§3.6 数列的上极限和下极限

数列的上、下极限概念是第二章内容的自然延伸。由于其中需要较多的工具，引入的概念和方法也较为精细，因此放在这里讨论。

3.6.1 基本定义

数列的上极限和下极限有几个等价的定义. 其中最直观的是用极限点来定义. 本书将用极限点来定义上、下极限, 其他定义则以命题的形式给出.

1. 数列的极限点就是数列的收敛子列的极限. 这里约定:

若存在正(负)无穷大量的子列, 则将 $+\infty (-\infty )$ 也作为极限点. 因此一个无上界(无下界)数列的极限点中一定有 $+\infty (-\infty )$ . 为区别起见, 称收敛子列的极限为有限极限点, 而将 $+\infty$ 和 $-\infty$ 称为无限极限点.

2. 在上述定义下, 数列必有极限点 (证明见命题 $\mathrm{3.6.1}$).

3. 数列的上极限是数列的最大极限点, 数列的下极限是数列的最小极限点. 这里在比较大小时将 $+\infty ,-\infty$ 都作为数来对待. 这里最大极限点和最小极限点的存在性也就是上、下极限的存在性, 将在命题 $\mathrm{3.6.2}$ 中证明.

4. 从以上定义可以知道, 如果存在上极限 (下极限), 则一定唯一.

5. 数列 $\{x_n\}$ 的上极限记为 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ ，下极限记为 ${\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ 。（在文献中也用记号 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n$ 和 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{x}_n$ 来表示数列 $\{x_n\}$ 的上极限和下极限。）

3.6.2 基本性质

首先列出从上、下极限定义即可得到的简单性质:

1. 从定义即知 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n⩽\overline{{\lim }_{n\to \infty }}{x}_n.$

2. 由于数列收敛的充分必要条件是它的每个子列收敛于同一极限, 因此即有: 数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是它的上极限和下极限均为有限且相等.

3. 类似地可以知道, 数列为正无穷大量 (负无穷大量) 的充分必要条件是它的上极限和下极限都是 $+\infty (-\infty )$ .

4. 以上两点可以综合为: 数列 $\{x_n\}$ 收敛或为有确定符号的无穷大量的充分必要条件是数列的上极限和下极限相等, 而且在这时成立

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n.$$

5. 上、下极限的其他几个简单性质 (证明从略):

(1) ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }(-x_n)=-{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n;$

(2) ${\underline{\lim }}_{n\to \infty }(-x_n)=-{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n;$

(3) 若 $C>0$ , 则 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }(C{x}_n)=C{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ ;

(4) 若 $C<0$ , 则 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }(C{x}_n)=C{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ .

(在这里若出现带确定符号的无穷大量, 则按 $-(+\infty )=-\infty ,-(-\infty )=+\infty$ 等方式来理解.)

下面以命题的形式介绍上、下极限的一些重要性质, 其中包括了它们的等价定义, 这些定义实际上是从几个不同的角度刻画出上、下极限的特性.

命题 $3.6.1$

任何数列必有极限点。

证明

这里只需要应用例题 $\mathrm{3.3.1}$ 的结论, 即任何数列都有单调子列. 如果这个子列有界, 就得到有限极限点; 如果它无界, 就得到无限极限点. □

在上一小节给出的上、下极限定义中并未证明最大极限点和最小极限点的存在性, 因此这样的定义是不完整的. 下一个命题给出上、下极限的第二个等价定义, 证明上、下极限的存在性, 同时还给出它们的显式表示.

命题 $3.6.2$

每个数列 $\{x_n\}$ 都存在上极限和下极限, 且成立公式

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{k⩾n}{\sup }\{x_k\},\text{\hspace{1em}(3.2)}$$$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{k⩾n}{\inf }\{x_k\}.\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

证明

在这里只证下极限的存在性和公式 $(3.3)$ 成立. 在这以后可以利用

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n=-\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}(-x_n)$$

来证明上极限存在和 $(3.2)$ 成立 (这一步请读者完成).

首先分析公式 $(3.3)$ 的右边. 引入记号

$$b_n=\underset{k⩾n}{\inf }\{x_k\}=\inf \{x_n,x_{n+1},\dots \},n\in {\mathbf{N}}_{+},\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

就可以将 $(3.3)$ 的右边记为 $b={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$ .

这时要区分两种可能的情况.

(1) 如果有某个 $b_n$ 不是有限数, 则从 (3.4) 可见这个 $b_n$ 不可能是 $+\infty$ , 而只能是 $-\infty$ . 这时从 (3.4) 可见数列 $\{x_n\}$ 无下界, 从而推出每个 $b_n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 都是 $-\infty$ . 这时在等式 $(3.3)$ 的右边只能约定为 $b={\lim }_{n\to \infty }{b}_n=-\infty$ . 另一方面, 由于这时 $\{x_n\}$ 无下界, 因此它有一个无限极限点 $-\infty$ . 这就证明了数列 $\{x_n\}$ 的下极限是 $-\infty$ , 同时公式 $(3.3)$ 成立.

(2) 在数列 $\{b_n\}$ 的每一项为有限数时, 从 (3.4) 可见数列 $\{b_n\}$ 一定是单调增加数列. 因此记号 $b={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$ 一定有意义. 这时又要分两种情况来讨论.

($i$) 当 $\{b_n\}$ 无上界时就有 $b=+\infty$ 。从 (3.4) 可见 $b_n⩽x_n$ 。由于 $\{b_n\}$ 是单调增加的正无穷大量，因此可推出 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ 。这时数列 $\{x_n\}$ 的唯一极限点是 $+\infty$ 。因此数列 $\{x_n\}$ 的下极限是 $+\infty$ ，同时公式 $(3.3)$ 成立。

(ii) 最后一种情况是 $b={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$ 为有限数. 这时要分两步来做. 首先, 我们要从数列 $\{x_n\}$ 中寻找一个子列, 使它以 $b$ 为极限. 这样就可以证明 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的一个极限点.

对 $\epsilon =1,$ 因 $\{b_n\}$ 单调增加收敛于 $b$, 就有某个 $b_{k_1}$ 满足 $b-1<b_{k_1}⩽b<b+1.$ 根据 $b_{k_1}=\inf \{x_{k_1},x_{k_1+1},\cdots \}$ ，存在 $x_{n_1}(n_1⩾k_1)$ 满足 $b_{k_1}⩽x_{n_1}<b+1,$ 从而有

$$b-1<x_{n_1}<b+1.$$

同理对 $\epsilon =\frac{1}{2}$ ，有 $k_2>n_1$ ，使 $b_{k_2}$ 满足 $b-\frac{1}{2}<b_{k_2}⩽b<b+\frac{1}{2}$ 。根据 $b_{k_2}=\inf \{x_{k_2},x_{k_2+1},\cdots \}$ ，存在 $x_{n_2}(n_2⩾k_2>n_1)$ 满足 $b_{k_2}⩽x_{n_2}<b+\frac{1}{2}$ ，从而有

$$b-\frac{1}{2}<x_{n_2}<b+\frac{1}{2}.$$

这样归纳地做下去, 就可以得到子列 $\{x_{n_k}\}$ , 对于每个 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 满足

$$b-\frac{1}{k}<x_{n_k}<b+\frac{1}{k}.$$

既然这个子列以 $b$ 为极限, 因此 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的一个极限点.

第二步是要证明 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的最小极限点. 假设 $c$ 是数列 $\{x_n\}$ 的另一个极限点, 则有子列 $\{x_{n_k^{\prime }}\}$ , 成立

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k^{\prime }}=c.$$

在 (3.4) 中令 $n=n_k^{\prime }$ ，就有不等式

$$b_{n_k^{\prime }}⩽x_{n_k^{\prime }}.$$

令 $k\to \infty$ , 就得到 $b⩽c$ . 这样我们就证明了 $b$ 确实是数列 $\{x_n\}$ 的最小极限点. 根据下极限的定义, 可见下极限存在, 同时成立公式 $(3.3)$ .

命题 $3.6.3$

(1) 有限数 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的下极限的充分必要条件是: 对每个 $\epsilon >0$ , 在邻域 $(b-\epsilon ,b+\epsilon )$ 中有数列中的无限多项, 同时存在 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立不等式 $x_n>b-\epsilon$ ; (2) $+\infty$ 是数列 $\{x_n\}$ 的下极限的充分必要条件是 $\{x_n\}$ 为正无穷大量; (3) $-\infty$ 是数列 $\{x_n\}$ 的下极限的充分必要条件是 $\{x_n\}$ 无下界.

证明

(2) 和 (3) 已包含在下极限的定义和上一命题中, 因此只须证明 (1).

先证 (1) 的必要性. 因为 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的有限极限点, 因此 $b$ 是某一个子列 $\{x_{n_k}\}$ 的极限. 从而对每个 $\epsilon >0$ , 在邻域 $(b-\epsilon ,b+\epsilon )$ 中含有这个子列从某项之后的所有项, 当然也就含有数列 $\{x_n\}$ 中的无限多项. 又可断言数列 $\{x_n\}$ 中满足条件 $x_n⩽b-\epsilon$ 的项至多只有有限个. 否则就可以找出一个子列, 使它的每一项都满足这个不等式. 用凝聚定理于这个子列, 就得到比 $b$ 还要小的极限点, 这与 $b$ 是最小极限点相矛盾. 因此对 $\epsilon >0$ , 有 $N$ , 当 $n>N$ 时, $x_n>b-\epsilon$ .

再证 (1) 的充分性. 令 $\epsilon =1$ , 因在 $(b-1,b+1)$ 中有数列 $\{x_n\}$ 中的无限多项, 可任取其中一项为 $x_{n_1}$ . 再令 $\epsilon =\frac{1}{2}$ , 由于在 $\left(b-\frac{1}{2},b+\frac{1}{2}\right)$ 中含有数列中的无限多项, 因此能取到其中的一项作为 $x_{n_2}$ , 满足 $n_2>n_1$ . 归纳地进行下去, 就可以得到子列 $\{x_{n_k}\}$ , 满足要求

$$\left|x_{n_k}-b\right|<\frac{1}{k},k\in {\mathbf{N}}_{+},$$

因此这个子列收敛于 $b$ . 这就证明 $b$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限点.

任取一个 $b^{\prime }<b$ ，令

$$\epsilon =\frac{b-b^{\prime }}{2},$$

从条件知有 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立不等式 $x_n>b-\epsilon =b^{\prime }+\epsilon >b^{\prime }$ . 因此比 $b$ 小的 $b^{\prime }$ 不可能是极限点.

命题 $3.6.4$

不等式

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}(x_n+y_n)⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{y}_n,\text{\hspace{1em}(3.5)}$$$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}(x_n+y_n)⩾\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{y}_n\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

在右边有意义 (即不是 $+\infty$ 与 $-\infty$ 之和) 时成立.

证1

这里只写出第二个不等式 $(3.6)$ 的证明. 证明的方法是用下极限的表达式 $(3.3)$, 先建立不等式

$$\underset{k⩾n}{\inf }\left\{x_k+y_k\right\}⩾\underset{k⩾n}{\inf }\left\{x_k\right\}+\underset{k⩾n}{\inf }\left\{y_k\right\},\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

然后取极限. 如果其中出现的下确界都是有限数, 可以记 $A={\inf }_{k⩾n}\{x_k\}$ , $B={\inf }_{k⩾n}\{y_k\}$ . 由于对每个 $k⩾n$ , 有 $x_k⩾A$ 和 $y_k⩾B$ , 就有 $x_k+y_k⩾A+B$ . 在这里右边是常数, 左边对 $k⩾n$ 取下确界, 就得到所要的不等式 $(3.7)$. 然后在两边令 $n\to \infty$ , 因为出现在两边的三个数列都是单调增加的, 因此不论是收敛还是正无穷大量都是有意义的. 这样就得到所求证的公式.

再考虑在不等式 $(3.7)$ 中出现非有限数的情况。根据下确界的定义，在 $(3.7)$ 中只可能出现 $-\infty$ 。从上一个命题已经知道，下极限为 $-\infty$ 就是数列无下界的情况。这时在命题 $\mathrm{3.6.2}$ 中的公式 $(3.3)$ 的右边只是一种约定的记号，并非极限过程。因此不如直接观察所求证的不等式 $(3.6)$。

分析各种可能性. (1) 若数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都无下界, 则不论不等式 $(3.6)$ 的左边如何, 不等式右边的每一项都是 $-\infty$ , 结论总是成立的. (2) 在两个数列中一个无下界, 另一个不是正无穷大量. 这时不等式 $(3.6)$ 的右边为 $-\infty$ 与一个有限数之和. 只要将这样的和理解为 $-\infty$ , 则不论不等式左边如何, 仍然成立.

证2

这个证明完全依赖于极限点概念. 为简单起见, 只对于所出现的极限点均为有限数的情况写出证明. 记 $A={\underline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n+y_n)$ , $B={\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ , $C={\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n$ . 由于 $A$ 是数列 $\{x_n+y_n\}$ 的极限点, 因此有子列 $\{x_{n_k}+y_{n_k}\}$ 收敛于 $A$ , 即

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{n_k}+y_{n_k})=A.$$

这时可不妨假定 $\{x_{n_k}\}$ 也收敛, 否则由于 $\{x_{n_k}\}$ 为有界数列, 由凝聚定理知它有收敛子列 $\{x_{n_{k_j}}\}$ , 于是可以用 $\{x_{n_{k_j}}+y_{n_{k_j}}\}$ 代替 $\{x_{n_k}+y_{n_k}\}$ 作以下讨论.

在 $\{x_{n_k}\}$ 收敛时, $\{y_{n_k}\}$ 也收敛. 又因为 $B$ 是 $\{x_n\}$ 的最小极限点, $C$ 是 $\{y_n\}$ 的最小极限点, 因此就得到

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}⩾B\text{和}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{n_k}⩾C.$$

将两式相加就有所要的不等式 $A⩾B+C$ .

注

由于下极限可以是 $+\infty$ 或 $-\infty$ , 因此 (3.6) 右边无意义的情况确实可能发生. 这就是在数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 中有一个无下界, 而另一个为正无穷大量的情况. 这时 (3.6) 的左边可以出现各种可能性, 但右边无意义, 因此 (3.6) 不能成立.

命题 $3.6.5$

不等式

$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}(x_n+y_n)⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{y}_n⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}(x_n+y_n)$$

在中间的和式有意义时成立.

合并以上两个命题就得到以下一组不等式:

$$\begin{array}{rl}{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n+{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n& ⩽{\underline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n+y_n)\\ & ⩽{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n+{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n\\ & ⩽{\overline{\lim }}_{n\to \infty }(x_n+y_n)\\ & ⩽{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n+{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n,\end{array}$$

只要假定其中的和式均有意义.

由此又可推出在上、下极限应用中很有用的下列结论.

命题 $3.6.6$

若在数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 中已知 $\{y_n\}$ 收敛, 或为带有确定符号的无穷大量时, 则成立

$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n,\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n+\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n.$$

(在 $\{y_n\}$ 为无穷大量时要求所出现的和式有意义.)

3.6.3 例题

例 $3.6.1$

用上、下极限方法证明 $Cauchy$ 收敛准则的充分性部分.

证1

设 $\{x_n\}$ 是基本数列, 则 $\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,p\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 成立

$$\left|x_n-x_{n+p}\right|<\epsilon .$$

将这个不等式改写为 $x_n-\epsilon <x_{n+p}<x_n+\epsilon$ ，然后固定某一个 $n(>N)$ ，令 $p\to \infty$ 由于不论数列收敛与否，总存在上极限和下极限，因而就有

$$x_n-\epsilon ⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n⩽x_n+\epsilon .$$

上述不等式还表明基本数列的上极限和下极限一定都是有限数 (因此基本数列必有界也已得到). 由上述不等式可推出

$$0⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n-\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n⩽2\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 可任意给定, 可见夹在 0 和 $2\epsilon$ 中间的两个数只能相等. 这样就推出上极限和下极限相等, 因此数列 $\{x_n\}$ 收敛.

证2

设 $\{x_n\}$ 是基本数列. 对每个 $\epsilon >0$ , 存在 $N$ , 当 $n,m>N$ 时, 成立 $|x_n-x_m|<\epsilon$ . 将它改写为 $x_m-\epsilon <x_n<x_m+\epsilon$ , 在后一个不等式中固定 $x_n$ , 令 $m\to \infty$ , 利用命题 $\mathrm{3.6.6}$, 就得到

$$x_n⩽\underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}(x_m+\epsilon )=\underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_m+\epsilon =\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\epsilon .$$

由于这对每个 $n>N$ 成立, 而右边是固定数, 在左边取上极限, 就得到

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n+\epsilon .$$

以上推导还表明 $\{x_n\}$ 的上、下极限都是有限数. 最后, 利用 $\epsilon$ 的任意性, 就有

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n.$$

由于相反方向的不等式总是成立的, 因此成立

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n,$$

即数列 $\{x_n\}$ 收敛.

教科书 [33] 在数列极限一章中就讲授上、下极限, 并用于证明 $Cauchy$ 收敛准则. 其中所用的就是上述第一个证明.

例 $3.6.2$

设数列 $\{b_n\}$ 由 $b_1=1$ 和 $b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}$ 生成. 讨论数列 $\{b_n\}$ 的敛散性, 若收敛则求出其极限.

解

设已证明数列 $\{b_n\}$ 从第二项起不越出区间 $[1.5,2]$. 因此有 $1.5⩽\alpha ={\underline{\lim }}_{n\to \infty }{b}_n⩽\beta ={\overline{\lim }}_{n\to \infty }{b}_n⩽2$ . 在递推公式两边取上极限和下极限, 得到

$$\alpha =1+\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\left(\frac{1}{b_n}\right)=1+\frac{1}{{\overline{\lim }}_{n\to \infty }{b}_n}=1+\frac{1}{\beta }$$

和对称的

$$\beta =1+\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\left(\frac{1}{b_n}\right)=1+\frac{1}{{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{b}_n}=1+\frac{1}{\alpha }.$$

将这两个方程联立, 相减后得到

$$(\alpha -\beta )\left(1-\frac{1}{\alpha \beta }\right)=0.$$

由于 $\beta ⩾\alpha ⩾1.5$ ，即可得到 $\alpha =\beta$ ，即数列收敛.然后再求出极限(从略). □

例 $3.6.3$

设 $y_n=x_n+2x_{n+1},n\in N_{+}$ . 证明: 若 $\{y_n\}$ 收敛, 则 $\{x_n\}$ 也收敛.

证明

由于 $\{y_n\}$ 收敛, 因此它有界. 取正数 $M>0$ 使同时成立 $|x_1|⩽M$ 和 $|y_n|⩽M,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 将递推公式改写为 $x_{n+1}=\frac{1}{2}{y}_n-\frac{1}{2}{x}_n$ , 则有

$$\left|x_{n+1}\right|⩽\frac{1}{2}\left|y_n\right|+\frac{1}{2}\left|x_n\right|.$$

因此, 用数学归纳法可以知道 $|x_n|⩽M$ 对每个 $n$ 成立. 即数列 $\{x_n\}$ 有界.

记 ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n=A,{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=B$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=C,$ 则它们都是有限数．只要证明 $A=B$ ，在 $x_n=y_n-2x_{n+1}$ 两边分别取上极限和下极限，由于 $\{y_n\}$ 收敛，可以利用命题 $\mathrm{3.6.6}$,得到等式 $A=C-2B$ 和 $B=C-2A,$ 由此推出 $A=B$ □

注

有了上、下极限的新工具, 不必知道数列收敛就可以进行上、下极限运算. 请读者将这个方法与过去的方法对比, 并在其他问题上尝试一下. 在第二章中的不少问题都有可能用上、下极限的新工具来做, 以上的两个例题仅供参考.

例 $3.6.4$

设正数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_{n+m}⩽a_n{a}_m,\forall n,m\in {\mathbf{N}}_{+}$ ，则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln a_n}{n}=\underset{n⩾1}{\inf }\left\{\frac{\ln a_n}{n}\right\}.$$

证明

令 $\alpha ={\inf }_{n⩾1}\left\{\frac{\ln a_n}{n}\right\}$ ，则从命题 $(\mathrm{3.6.2})$ 的公式 $(3.3)$ 可见有

$$\alpha ⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\frac{\ln a_n}{n}.\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

又从 $\alpha$ 为下确界 (即最大下界) 可见, 对 $\epsilon >0$ , 存在 $N$ , 使得

$$\frac{\ln a_N}{N}<\alpha +\epsilon .$$

固定这个 $N$ , 可以将每个正整数 $n$ 写为 $n=mN+k$ , 其中 $0⩽k<N$ . 从题设条件, 有不等式

$$a_n=a_{mN+k}⩽a_N^m{a}_k,$$

取对数后可以得到

$$\frac{\ln a_n}{n}⩽\frac{m}{n}\ln a_N+\frac{1}{n}\ln a_k⩽\frac{mN}{n}(\alpha +\epsilon )+\frac{1}{n}\ln a_k.$$

在这个不等式两边令 $n\to \infty$ ，右边第一项中有极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{mN}{n}=1,$$

而 $a_k$ 最多只取 $N$ 个值, 因此右边的极限是 $\alpha +\epsilon$ . 左边的极限虽然不知道是否存在, 但可利用上极限的保不等式性质 (作为练习题), 在不等式两边取上极限, 从而得到

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\frac{\ln a_n}{n}⩽\alpha +\epsilon .$$

由于 $\epsilon >0$ 的任意性, 就得到

$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\frac{\ln a_n}{n}⩽\alpha .$$

将这个不等式与 (3.8) 合并, 可见 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln a_n}{n}$ 一定有意义, 且等于 $\alpha$ .

注 1

上述结论的意思是: 当 $\alpha$ 为有限数时数列 $\left\{\frac{\ln a_n}{n}\right\}$ 一定收敛, 以 $\alpha$ 为极限, 而当 $\alpha =-\infty$ 时, 这个数列一定是负无穷大量.

注2 又由此可见, 在正数列满足条件 $a_{n+m}⩽a_n{a}_m,\forall n,m\in {\mathbf{N}}_{+}$ 时, 极限 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}$ 一定存在.

注3 与此等价的命题是: 设 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_{n+m}⩽a_n+a_m,\forall n,m\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{n}=\underset{n⩾1}{\inf }\left\{\frac{a_n}{n}\right\}.$$

3.6.4 练习题

1. 求下列数列的上极限和下极限:

$$(1)x_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2},n\in {\mathbf{N}}_{+};$$ $$(3)x_n=n^{(-1{)}^n},n\in {\mathbf{N}}_{+};$$ $$x_n=\sin \frac{n\pi }{4},n\in {\mathbf{N}}_{+}$$ $$(4)x_n={\mathrm{e}}^{n(-1{)}^n},n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

2. 若 $x_n⩾y_n,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明: ${\overline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n⩾{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n$ , ${\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n⩾{\underline{\lim }}_{n\to \infty }{y}_n$ .

3. 对 $\{x_n\}$ , 记 $S_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{x}_k,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明:

$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{x}_n⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{S}_n⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{S}_n⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{x}_n.$$

(可以看出本题的结论蕴涵了 §$2.4$ 中的 $Cauchy$ 命题.)

4. 设 $\{a_n\}$ 为正数列, 证明: ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}⩽1$ 的充分必要条件是对大于 1 的每个数 $l$ 成立 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{l^n}=0$ .

5. 设 $\{a_n\}$ 为正数列, 证明:

$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\frac{a_{n+1}}{a_n}⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\sqrt[n]{a_n}⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\sqrt[n]{a_n}⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

6. 根据极限点的定义直接证明：每个数列的极限点集中必有最大数和最小数 (不要利用命题 $\mathrm{3.6.2}$ 和 $\mathrm{3.6.3}$ 的现成结论).

7. 证明在例题 $\mathrm{3.6.2}$ 中所用到的关于上、下极限的公式.

8. 证明公式 (3.2).

9. 对上极限写出与命题 $\mathrm{3.6.3}$ 对应的结论, 并作出证明.

10. 证明公式 (3.5).

11. 证明命题 $\mathrm{3.6.5}$.