$3.4.5$ 练习题

例题 $3.4.1$

设数列 $\{b_n\}$ 有界，令 $a_n=\frac{b_1}{1\cdot 2}+\frac{b_2}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{b_n}{n(n+1)}$ ，$n\in N_{+}$，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛。

证明

取常数 $M>0$ ，使得 $|b_n|⩽M,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 。然后对任意 $p\in {\mathbf{N}}_{+}$ 作估计：

$$\begin{array}{rl}|a_{n+p}-a_n|& ⩽M\left[\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots +\frac{1}{(n+p)(n+p+1)}\right]\\ & =M\left[\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n+p+1}\right)\right]\\ & =M\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p+1}\right)<\frac{M}{n+1}.\end{array}$$

因此对 $\epsilon >0$ , 取 $N=[M/\epsilon ]$ , 就可使 $n>N$ 和 $p\in {\mathbf{N}}_{+}$ 时, 成立 $|a_{n+p}-a_n|<\epsilon$ 。这样就证明了 $\{a_n\}$ 是基本数列。根据 $Cauchy$ 收敛准则知道 $\{a_n\}$ 收敛。

由于 $\{b_n\}$ 除了有界性之外没有任何其他已知性质, 因此 $\{a_n\}$ 谈不上有单调性, 从而第二章的主要方法, 即单调有界数列的收敛定理, 在这里完全失效。可见 $Cauchy$ 收敛准则是一个非常有力的工具。

例题 $3.4.2$

设 $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},n\in N_{+}$ ，证明 $\{S_n\}$ 发散。

证明

写出

$$S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}⩾n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2},$$

可见对 $\epsilon =\frac{1}{2}$ 和任意 $N$ , 在 $n,m>N$ 时, 只要取 $m=2n$ , 不等式 $|S_n-S_m|<\frac{1}{2}$ 就不可能成立。这表明数列 $\{S_n\}$ 不是基本数列, 因此发散。

例题 $3.4.3$

证明数列 $\{\sin n\}$ 发散。

证明

这个证明与例题 $\mathrm{2.2.7}$ 中的 (以几何观察为基础的) 第一个证明类似。从那里的图 $2.2$ 可见, 对每个 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 可以找到正整数 $n_k^{\prime }$ 和 $n_k^{\prime \prime }$ , 使 $\sin n_k^{\prime }⩾\sqrt{2}/2$ , $\sin n_k^{\prime \prime }⩽0$ 。因此, $\sin n_k^{\prime }-\sin n_k^{\prime \prime }>0.5$ 。由于 $n_k^{\prime }$ 和 $n_k^{\prime \prime }$ 可任意大, 因此 $\{\sin n\}$ 不可能是基本数列, 根据 $Cauchy$ 收敛准则知道它一定是发散数列。 □

压缩映射原理

压缩映射的定义

设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上定义, $f([a,b])\subset [a,b]$ , 并存在一个常数 $k$ , 满足 $0<k<1$ , 使得对一切 $x,y\in [a,b]$ 成立不等式 $|f(x)-f(y)|⩽k|x-y|$ , 则称 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一个压缩映射, 称常数 $k$ 为压缩常数。

命题 $3.4.4$（压缩映射原理）

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一个压缩映射，则 (1) $f$ 在 $[a,b]$ 中存在唯一的不动点 $\xi =f(\xi )$ ; (2) 由任何初始值 $a_0\in [a,b]$ 和递推公式 $a_{n+1}=f(a_n),n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 生成的数列 $\{a_n\}$ 一定收敛于 $\xi$ ; (3) 成立估计式 $|a_n-\xi |⩽\frac{k}{1-k}|a_n-a_{n-1}|$ 和 $|a_n-\xi |⩽\frac{k^n}{1-k}|a_1-a_0|$ (即事后估计与先验估计).

证明

(注意在这个证明中不需要函数 $f$ 的连续性概念.) 由于 $f([a,b])\subset [a,b]$ , 因此 $\{a_n\}$ 必在 $[a,b]$ 中。根据 $Cauchy$ 收敛准则估计

$$\begin{array}{rl}& |a_n-a_{n+p}|⩽k|a_{n-1}-a_{n+p-1}|⩽k^2|a_{n-2}-a_{n+p-2}|\\ & ⩽\cdots ⩽k^n|a_0-a_p|⩽k^n(b-a).\end{array}$$

可见对 $\epsilon >0$ ，只要取 $N=[\ln (\epsilon /(b-a))/\ln k]$ ，当 $n>N$ 和 $p\in {\mathbf{N}}_{+}$ 时，就有 $|a_n-a_{n+p}|<\epsilon$ 。因此 $\{a_n\}$ 是基本数列，从而收敛。记其极限为 $\xi \in [a,b]$ 。为了证明这个 $\xi$ 是 $f$ 的不动点，需要研究第二个数列 $\{f(a_n)\}$ 。从不等式 $|f(a_n)-f(\xi )|⩽k|a_n-\xi |$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\xi$ 可见，数列 $\{f(a_n)\}$ 收敛于 $f(\xi )$ 。在 $a_{n+1}=f(a_n)$ 两边令 $n\to \infty$ ，就得到 $\xi =f(\xi )$ 。因此 $\xi$ 是 $f$ 的不动点。

如果 $f$ 在 $[a,b]$ 内还有不动点 $\eta$ , 即 $\eta =f(\eta )$ , 则就有 $|\xi -\eta |=|f(\xi )-f(\eta )|⩽k|\xi -\eta |$ 。由于 $0<k<1$ , 只能有 $\xi =\eta$ 。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 内的不动点是唯一的。这样就证明了命题的 (1) 和 (2).

命题之 (3) 的前一式可从估计式

$$\left|a_n-\xi \right|=\left|f\left(a_{n-1}\right)-f(\xi )\right|⩽k\left|a_{n-1}-\xi \right|⩽k\left(\left|a_{n-1}-a_n\right|+\left|a_n-\xi \right|\right)$$

得到:

$$\left|a_n-\xi \right|⩽\frac{k}{1-k}\left|a_n-a_{n-1}\right|.$$

又由上式出发, 利用 $|a_j-a_{j-1}|⩽k|a_{j-1}-a_{j-2}|$ 就可以如下得到 (3) 的后一式:

$$\left|a_n-\xi \right|⩽\frac{k^2}{1-k}\left|a_{n-1}-a_{n-2}\right|⩽\cdots ⩽\frac{k^n}{1-k}\left|a_1-a_0\right|.$$

在 (3) 中的两个不等式在实际计算中很有用处。前一个不等式可以从相继的两次计算估计当前误差, 称为事后估计; 后一个不等式比前一个要粗一些, 但可以用于在计算之前估计要迭代多少次才能达到所要的精度, 称为先验估计。

例题 $3.4.4$

设 $a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ .讨论数列 $\{a_n\}$ 的敛散性，若收敛则求出其极限。

解

这时 $f(x)=\sqrt{2+x}$ 。 取闭区间 $[0,2]$ , 则可实现 $f([0,2])\subset [0,2]$ 。 从

$$|f(x)-f(y)|=|\sqrt{2+x}-\sqrt{2+y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2+y}}$$

知道可取 $k=1/(2\sqrt{2})$ 为压缩常数。 于是数列 $\{a_n\}$ 的收敛性已为压缩映射原理所保证, 而且极限是 $f$ 在 $[0,2]$ 内的唯一不动点 $2$ 。

例题 $3.4.5$

数列 $\{b_n\}$ 由 $b_1=1$ 和 $b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}$ $(n\in {\mathbf{N}}_{+})$ 生成。 讨论数列 $\{b_n\}$ 的敛散性, 若收敛则求出其极限。

解

这里的函数 $f(x)=1+\frac{1}{x}$ 。 观察

$$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{|x-y|}{|xy|},$$

并考虑如何选择区间． 这里要利用函数 $f$ 在 $x>0$ 时单调减少，以及数列的前几项 $b_1=1,b_2=2,b_3=1.5,\cdots$ ． 如果用以 $b_1=1$ 和 $b_2=2$ 为端点的闭区间 $[1,2]$ ，则可以实现 $f([1,2])=[1.5,2]\subset [1,2]$ ． 但在这个区间 $[1,2]$ 上不能取到在 $0$ 和 $1$ 之间的压缩常数。 再尝试以 $b_2=2$ 和 $b_3=1.5$ 为端点的区间 $[1.5,2]$，发现有 $f([1.5,2])\subset [1.5,2]$ ，同时可以估计出

$$|f(x)-f(y)|=\frac{|x-y|}{|xy|}⩽\frac{1}{1.5^2}|x-y|=\frac{4}{9}|x-y|,\forall x,y\in [1.5,2].$$

由于数列 $\{b_n\}$ 从第二项起就进入 $[1.5,2]$ , 因此由压缩映射原理保证了它的收敛性。 极限就是 $f$ 在 $x>0$ 中的唯一不动点 $b=(1+\sqrt{5})/2$ 。

以上两个例题的解法都是去验证压缩映射原理的条件满足。 但实际上往往可以直接应用原理中的思想方法。 例如, 在例题 $\mathrm{3.4.5}$ 中可以先证明从 $n=2$ 起, $b_n\in [1.5,2]$ 成立。 然后得到 (利用公式 $(2.17)$)

$$\left|b_{n+2}-b\right|=\left|\frac{b_n-b}{(b_n+1)(b+1)}\right|⩽\frac{4}{25}|b_n-b|,$$

从而有 $|b_{2k}-b|⩽|b_2-b|\cdot {\left(\frac{4}{25}\right)}^{k-1}$ , 即知道 $\{b_{2k}\}$ 收敛于 $b$ 。 同理可证 $\{b_{2k-1}\}$ 也收敛于 $b$ 。

$1$. 满足以下条件的数列 $\{x_n\}$ 是否一定是基本数列？若回答“是”，请作出证明；若回答“不一定是”，请举出反例：

  (1) 对每个 $\epsilon >0$ , 存在 $N$ , 当 $n>N$ 时, 成立 $|x_n-x_N|<\epsilon$ ;  (2) 对所有 $n,p\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 成立不等式 $|x_{n+p}-x_n|⩽p/n$ ;  (3) 对所有 $n,p\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 成立不等式 $|x_{n+p}-x_n|⩽p/n^2$ ;  (4) 对每个正整数 $p$ , 成立 ${\lim }_{n\to \infty }(x_n-x_{n+p})=0$ .

$2$. 用对偶法则于数列收敛的 $Cauchy$ 收敛准则, 以正面方式写出数列发散的充分必要条件.

$3$. 证明下列数列为基本数列, 因此都是收敛数列:

$$a_n=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!},n\in {\mathbf{N}}_{+};\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$b_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n},n\in {\mathbf{N}}_{+};\text{\hspace{1em}(2)}$$ $$c_n=\frac{\sin 2x}{2(2+\sin 2x)}+\frac{\sin 3x}{3(3+\sin 3x)}+\cdots +\frac{\sin nx}{n(n+\sin nx)},n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

$4$. 设 $a_n=\sin 1+\frac{\sin 2}{2!}+\cdots +\frac{\sin n}{n!},n\in N_{+}$ ，证明：

(1) 数列 $\{a_n\}$ 有界, 但不单调; (2) $\{a_n\}$ 收敛.

$5$. 设从某个数列 $\{a_n\}$ 定义 $x_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k,y_n={\sum }_{k=1}^n|a_k|,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 若数列 $\{y_n\}$ 收敛, 证明数列 $\{x_n\}$ 也收敛. (本题可以看成是上一题和例题 $\mathrm{3.4.1}$ 的推广.)

$6$. 设 $S_n=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots +\frac{1}{n^p},n\in N_{+}$ ，其中 $p⩽1$ ，证明 $\{S_n\}$ 发散.

$7$. 天文学中的 $Kepler$ (开普勒) 方程 $x-q\sin x=a$ ( $0<q<1$ ) 是一个超越方程, 没有求根公式 (见 [15] 的 $22$ 和 $72$ 页). 求近似解的一个方法是通过迭代。取定 $x_1$ , 然后用递推公式 $x_{n+1}=q\sin x_n+a,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 证明这个方法的正确性.

(这个方程是 $Kepler$ 在 $1609$ 年左右研究行星运动规律时得到的方程。从天体力学的角度来分析可以肯定,对每个给定的 $a$ , 方程存在唯一解。这个解没有可用的显式表达式,但可以用近似方法求解。本题就是用迭代生成数列的方法求近似解。在 [14] 第二卷的 $452$ 小节有解的无穷级数表达式.)